Примеры
Пример 6.1. Случайная величина X распределена по закону, определяемому плотностью вероятности вида
Определить
константу с,
функцию распределения F(x),
математическое ожидание, дисперсию
величины Х,
а также вероятность ее попадания в
интервал 
.
Решение. Вначале вычислим значение константы с из условия нормировки (6.4). Условие нормировки представляет собой интегральное уравнение, из которого можно определить неизвестный параметр плотности вероятности. Для этого определим значение интеграла в левой части условия нормировки:
.
Из условия нормировки следует:
.
Плотность вероятности примет вид
Определим функцию распределения F(x). Так как плотность вероятности задана различными формулами на разных интервалах, то и ее первообразную - функцию распределения – будем искать по формуле (6.3) для каждого интервала в отдельности.
Для
:
,
для
:
,
для
:
.
Окончательно имеем
Вычислим
вероятность
по формуле (6.2):
.
Так
как правый край интервала
больше, чем
,
то
.
Вычислим математическое ожидание СВ по формуле (6.5):
Дисперсию случайной величины СВ вычислим по формуле (6.6):
Пример
6.2. Определить
по правилу
диапазон
возможных значений СВ X
из примера 6.1.
Решение. Вычислим среднее квадратическое отклонение СВ по формуле (6.7):
Оценим диапазона значений X по формуле (6.8):
Как
видим, получился интервал, полностью
охватывающий точный диапазон значений
СВ
,
который можно определить по свойству
1 плотности вероятности.
Задача 7. Закон распределения функции случайного аргумента Условия вариантов задачи
В задачах 7.1-7.40 (условия приведены в табл. 7.1) случайная величина Х распределена равномерно на интервале [a,b]. Построить график случайной величины Y=(X) и определить плотность вероятности g(y).
Таблица 7.1
|
Вариант |
|
a |
b |
|
7.1 |
|
-1 |
4 |
|
7.2 |
|
0 |
10 |
|
7.3 |
|
-3 |
2 |
|
7.4 |
|
-6 |
4 |
|
7.5 |
|
-4 |
1 |
|
7.6 |
|
-1 |
2 |
|
7.7 |
|
-1 |
2 |
|
7.8 |
x4 |
-2 |
1 |
|
7.9 |
|
-2 |
2 |
|
7.10 |
|
-2 |
1 |
|
7.11 |
|
-4 |
6 |
|
7.12 |
|
-3 |
7 |
|
7.13 |
|
1 |
5 |
|
7.14 |
|
-4 |
6 |
|
7.15 |
|
0 |
0,75 |
|
7.16 |
|
0 |
/2 |
|
7.17 |
|
/6 |
/3 |
|
7.18 |
|
-/4 |
/2 |
|
7.19 |
ex |
0 |
1 |
|
7.20 |
|
-1 |
2 |
|
7.21 |
|
1 |
2 |
|
7.22 |
x1/3 |
-1 |
8 |
|
7.23 |
|
-8 |
1 |
|
7.24 |
|
-/2 |
/3 |
|
7.25 |
|
-/6 |
/2 |
|
7.26 |
|
0 |
1,5 |
|
7.27 |
|
0 |
4 |
|
7.28 |
|
-1 |
4 |
|
7.29 |
|
1 |
2 |
|
7.30 |
|
-1 |
16 |
|
7.31 |
|
-3 |
2 |
|
7.32 |
|
-1 |
2 |
|
7.33 |
|
-2 |
2 |
|
7.34 |
|
-3 |
7 |
|
7.35 |
|
0 |
0,75 |
|
7.36 |
|
-/4 |
/2 |
|
7.37 |
|
1 |
2 |
|
7.38 |
|
-/2 |
/3 |
|
7.39 |
|
0 |
4 |
|
7.40 |
|
-1 |
16 |
1/3
1/4
1/4