Исследование характеристик аналоговой цепи

Дана аналоговая пассивная цепь:

Рис. 1. Схема аналоговой цепи

Для цепи заданы параметры:

R₁=1000 Ом

R₂=4000 Ом

С₁=1,5 мкФ

C₂=0,5 мкФ

Воспользуемся символическим методом расчёта электрических цепей.

Рис. 2. Схема для расчёта аналоговой цепи

Применим метод «двух узлов». Узел a – заземлим, его потенциал будет равен нулю. Найдём потенциал узла c.

Ток, протекающий через резистор R₂:

Далее найдём потенциал в точке b. Так как , а,

Получим частотную передаточную функцию цепи:

Код в Matlab:

clc;clear;

R1=1000;

R2=4000;

C1=1.5*10^(-6);

C2=0.5*10^(-6);

Wa0=(R2*C2)^2;

Wa1=R2*C2;

Wb0=C1*R1*(R2*C2)^2;

Wb1=C2*R2*(C2*R2+2*C1*R1+C2*R1);

Wb2=2*C2*R2+C1*R1+C2*R1;

Wanalog=tf([Wa0 Wa1 0], [Wb0 Wb1 Wb2 1])

Подставив значения параметров R и C, получим:

Так как преобразования Фурье и Лапласа имеют схожий вид, можно выполнить замену p=jω. Тогда передаточная функция аналоговой цепи:

Найдём для этой передаточной функции нули и полюса.

Код в Matlab:

disp('Полюса:');

disp(pole(Wanalog));

disp('Нули:');

disp(zero(Wanalog));

Нули:

p=0; p=-500

Полюса:

p=-1000; p=-500; p=-1000/3

Исходя из найденных значений, можем записать передаточную функцию в виде:

Этой передаточной функции соответствует дифференциальное уравнение:

Получим логарифмические амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики для этого фильтра:

Амплитудно-частотная характеристика:

Фазо-частотная характеристика:

Построим графики этих характеристик:

Код в Matlab:

figure(1);

bode(Wanalog,'g');

grid on;

Рис. 3. Логарифмические частотные характеристики аналогового фильтра

Для проверки предыдущих вычислений можно сравнить полученную выше ЛАЧХ с ЛАЧХ, полученной при непосредственном моделировании электрической цепи в пакете Electronics Workbench:

Рис. 4. Моделирование электрической цепи в пакете Electronics Workbench

Получим импульсную переходную функцию этого фильтра.

Для этого разложим передаточную функцию на простые дроби:

Найдём коэффициенты:

C₀=1,5

C₁=-0,5

С помощью обратного преобразования Лапласа, найдём ИПФ:

Построим в системе Matlab график ИПФ:

Код в Matlab:

figure(2);

impulse(Wanalog,'g');

grid on;

Рис. 5. График импульсной переходной функции аналогового фильтра.

Расчёт цифровой цепи методом Эйлера.

Для получения передаточной функции цифрового фильтра необходимо произвести замену , где T_d - интервал дискретизации.

По ЛАЧХ аналогового фильтра найдём частоту, при которой происходит ослабление амплитуды в 10 раз (-20дБ). Примем её за ширину спектра.

ω_max=6580,668 рад/с

f_max= =1047,346 Гц

Возьмём частоту дискретизации в 5 раз больше ширины спектра:

f_d=5f_max=5236,730 Гц

Тогда период дискретизации:

T_d= =0,00019096 с

Выбрав период дискретизации, можно найти коэффициенты передаточной функции и разностного уравнения:

Код Matlab:

clc;clear;

Td=0.00019096; %Период дискретизации

A=2/3*10^3;

%Полюса аналоговой передаточной функции

p0=1000;

p1=1000/3;

u=(1+Td*(p0+p1+Td*p0*p1));

%Коэффициенты передаточной функции цифровой цепи

b0=A*Td/u

b1=-A*Td/u

a1=(-2-Td*(p0+p1))/u

a2=1/u

b=[b0 b1];

a=[1 a1 a2];

Полученные коэффициенты:

b₀ = 0,1005

b₁ = -0,1005

a₁ = -1,7798

a₂ = 0,7894

Передаточная функция:

Разностное уравнение:

Найдём нули и полюса этой передаточной функции:

Код Matlab:

[q,p]=tf2zpk(b,a);

disp('Нули');

disp(q);

disp('Полюса');

disp(p);

figure(4);

zplane(b,a);

Нули:

z=0; z=1

Полюса:

z=0,9402; z=0,8397

Рис. 6. Карта нулей и полюсов цифрового фильтра, полученного методом Эйлера при T_d=0,00019096 с

Получим амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики этого фильтра. Для этого в передаточной функции произведём замену .

Амплитудно-частотная характеристика:

Фазо-частотная характеристика:

Код Matlab:

w=logspace(1,5,10000);

figure(1);

Wd=(b0+b1*exp(-1i*w*Td))./(1+a1*exp(-1i*w*Td)+a2*exp(-2*1i*w*Td));

%Построение графиков ЛАЧХ и ЛФЧХ цифровой цепи

subplot(2,1,1), loglog(w,abs(Wd),'b'), grid on, xlabel('w (Rad/s)'), title('MAGNITUDE - |H(w)|');

hold on;

subplot(2,1,2), semilogx(w,180/pi*angle(Wd),'b'), grid on, xlabel('w (Rad/s)'), title('PHASE - arg [H(w)] (deg)');

hold on;

figure(2);

%Построение графиков ЛАЧХ аналоговой и цифровой цепи на одном полотне Wa=A*1i*w./(1i*w+p0)./(1i*w+p1);

loglog(w,abs(Wd),'b');

hold on;

loglog(w,abs(Wa),'g');

hold on;

grid on; xlabel('w (Rad/s)'); title('MAGNITUDE - |H(w)|'); axis([0 10^5 10^(-2) 1]);

Рис. 7. ЛАЧХ аналогового фильтра (обозначена зелёным) и соответствующего ему цифрового фильтра, полученного методом Эйлера при T_d=0,00019096 с (обозначена синим)

Рис. 8. ЛАЧХ и ЛФЧХ цифрового фильтра, полученного методом Эйлера при T_d=0,00019096 с

Рис. 9. Амплитудно-частотная характеристика (не в логарифмическом масштабе) аналогового фильтра (обозначена зелёным) и соответствующего ему цифрового фильтра, полученного методом Эйлера при T_d=0,00019096 с (обозначена синим)

Как видно из полученных графиков (рисунки 7 и 9), частотные характеристики цифрового фильтра по форме почти точно повторяют характеристики аналогового прототипа на участке [0; ], то есть [0; 1,645·10⁴] рад/c. Далее идёт периодическое повторение характеристики цифрового фильтра.

Импульсная переходная функция цифрового фильтра может быть получена за счёт обратного Z-преобразования его передаточной функции. Мы получим её с помощью пакета Matlab.

Код Matlab:

N=0.012/Td;

n=0:(N-1);

h=impz(b,a,N);

figure(3);

title('Impulse Response h(n*Td) - impz');

hold on;

xlabel('n');

ylabel('h(n*Td)');

plot(n,h,'b');

grid on;

Рис. 10. Импульсная переходная функция цифрового фильтра, полученного методом Эйлера при T_d=0,00019096 с

По рисунку 10 видно, что ИПФ цифрового фильтра очень близка по форме к ИПФ аналогового и отличается, в первую очередь, на величину вещественного коэффициента.

Теперь возьмём частоту дискретизации в 10 раз больше ширины спектра:

f_d=10f_max=10473,460 Гц

Тогда период дискретизации:

T_d= =0,00009548с

Найдём коэффициенты передаточной функции и разностного уравнения:

b₀ = 0,0563

b₁ = -0,0563

a₁ = -1,8820

a₂ = 0,8847

Передаточная функция:

Разностное уравнение:

Нули:

z=0; z=1

Полюса:

z=0,9692; z=0,9128

Рис. 11. Карта нулей и полюсов цифрового фильтра, полученного методом Эйлера при T_d=0,00009548 с

Получим амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики этого фильтра. Для этого в передаточной функции произведём замену .

Амплитудно-частотная характеристика:

Фазо-частотная характеристика:

Рис. 12. ЛАЧХ аналогового фильтра (обозначена зелёным) и соответствующего ему цифрового фильтра, полученного методом Эйлера при T_d=0,00009548 с (обозначена синим)

Рис. 13. ЛАЧХ и ЛФЧХ цифрового фильтра, полученного методом Эйлера при T_d=0,00009548 с

В результате сравнения графиков на рисунках 7 и 12, 8 и 13 можно сделать вывод, что при уменьшении периода дискретизации различия между частотными характеристиками цифрового фильтра и его аналогового прообраза становятся несколько меньше. Также у частотных характеристик цифрового фильтра увеличивается период.

Импульсная переходная функция:

Рис. 14. Импульсная переходная функция цифрового фильтра, полученного методом Эйлера при T_d=0,00009548 с

Из сравнения ИПФ при разных периодах дискретизации (рис. 10 и рис. 14) видно, что при уменьшении T_d в несколько раз, во столько же раз уменьшается амплитуда ИПФ.