4. Реализация матричной формы вычисления перемещений

Вычисление перемещений т. K будем проводить в матричной форме, для чего применим соответствующую формулу Мора:

,

(2.5)

где – матрица-столбец искомых перемещений;– направляющая матрица, каждый столбец которой описывает одну направляющую эпюру, ссылаясь на ординаты контролируемых сечений (символ Т означает операцию транспонирования матрицы); – грузовая матрица-столбец, которая описывает грузовую эпюру;– матрица податливости (квадратная), описывающая жесткостные свойства каждого участка расчетной схемы между контролируемыми сечениями.

4.1.Разработка схемы дискретизации.

Формированию матриц предшествует составление схемы дискретизации ЗРС, которая включает нумерацию контролируемых сечений и правило знаков ординат для каждого участка ЗРС (рис. 2.30).

Контролируемые сечения назначаются по данным грузовой эпюры M(рис. 2.11) и направляющих эпюр(рис. 2.21),(рис. 2.25) и(рис. 2.29). Так, участки с законом изменения изгибающего моментаM=constзадаются одним сечением, участки с линейным законом изменения изгибающего момента задаются двумянеповторяющимисясечениями, а с параболическим – тремя. Кроме того, если в узле сходится несколько участков, то сечение каждого из них должно иметь свой собственный номер.

Рис. 2.30

На рис. 2.30 участки пронумерованы римскими цифрами, а контролируемые сечения – латинскими. Правило знаков принято так, чтобы большинство значений было положительным.

Рис. 2.30

4.2.Матричная форма представления направляющих и грузовой эпюр.

Элементами направляющей матрицы являются ординаты нанаправляющихэпюрах изгибающих моментов. Причем первый столбецэтой матрицы составляют ординаты, снятые с направляющей эпюры (рис. 2.21), второй столбец –ординаты, снятые с направляющей эпюры (рис. 2.25) и, наконец, третий столбец –ординаты, снятые с направляющей эпюры (рис. 2.29). Количество строк в матрице соответствует числу контролируемых сечений на схеме дискретизации.Таким образом, размер направляющей матрицы равен 10×3 (10 строк и 3 столбца).

Грузовая матрица формируется по тем же правилам, но ее элементы являются ординатами на грузовой эпюре изгибающих моментов. Размер этой матрицы 10×1.

;.

4.3. Построение матрицы податливости.

Формирование матрицы податливости осуществляется последовательностью чисто формальных приемов, поскольку для каждого участка на схеме дискретизации вид матрицы является предопределенным.

Формирование матрицы включает следующие шаги:

1. Составление матрицы для участка:

• с законом изменения изгибающего момента M=constпо формуле

;

• с линейным законом изменения изгибающего момента по формуле

;

• с параболическимзаконом изменения изгибающего момента по формуле

,

где – длина участка;– модуль упругости материала (будем считать его одинаковым для всех участков,);– момент инерции сечения.

• В рассматриваемом примере выполнение этого шага дает следующие выражения для матриц участков:

;;;

;.

2. Определение наибольшего общего знаменателя для всех составленных матриц и приведение их к этому знаменателю.

• В данном примере наибольшим общим знаменателем является значение , соответствующее матрицами, составленным для горизонтальных участков ЗРС, на которых момент инерции равен(см. рис. 2.5).

Результат приведения всех матриц к наибольшему общему знаменателю выглядит следующим образом:

;;;

;.

3. Внесение коэффициента при ав числителе каждой матрицыпод знак матрицы путем перемножения его с каждым элементом стандартной матрицы– для линейного участка или– для параболического (эта операция соответствует правилу умножения матрицы на скалярный множитель).

• В результате выполнения этого шага для задачи примера получаем следующие выражения:

;;;

;.

Необходимо отметить, что получившиеся в итоге матрицы имеют общий множитель.

4. Составление матрицы податливости .

Полученные матрицы по порядку располагают на диагонали матрицы, а общий для всех матрицмножитель является множителем при матрице.

• Выполняя этот шаг, получаем матрицу податливости размером 10×10. Слева и сверху дана нумерация контролируемых сечений. Отсутствующие элементы матрицы имеютнулевыезначения.

4.4. Приемы минимизации размеров матриц.

4.4.1.Способ вычеркивания в матрицах нулевых строк.

Внимательное рассмотрение направляющей и грузовойматриц показывает, что строка с номером 1одновременно в обеих матрицахимеет нулевые значения. В таком случае эту строку можно вычеркнуть из сравниваемых матриц, а из матрицы податливостивычеркнуть не только строку с этим номером, но и соответствующий столбец. Такая операция позволяет уменьшить размеры матриц до соответственно10×3,10×1 и10×10. В результате получаем:

;;

4.4.2.Способ вычеркивания в матрицах одной из пары одинаковых строк.

Если продолжать сравнение строк направляющей и грузовойматриц, то можно обратить внимание, что в этих матрицах имеются пары строк, состоящие из одинаковых элементов, причем эти строки должны соответствоватьсмежным сечениям в ЗРС. Такими строками являются пары 5–6 и 8–9. В каждой паре одну из строк (например, строки 6 и 9) можно вычеркнуть из обеих матриц.

Но эти строки (и столбцы) нельзя вычеркивать из матрицы ! С этой матрицей поступают иначе: цифры, находящиеся на пересечении строк и столбцов с соответствующими номерами складывают, а результат размещают в строке с оставляемым номером (в примере – это 5 и 8), уменьшая тем самым размер и этой матрицы. На стр. 13 овалами выделены те элементы матрицы податливости, которые складываются при выполнении этой операции. Таким образом, минимальные размеры матриц становятся, соответственно7×3,7×1 и7×7.

В результате уменьшения размеров матриц способом вычеркивания одной из пары одинаковых строк получаем:

;;

.

4.5. Вычисление искомых перемещений точки K .

Формула (2.5) раскрывает матричную форму для вычисления искомых перемещений т.K. В соответствии с этой формулой для определения перемещений сеченияKнеобходимо выполнить следующие шаги:

1. Записать направляющую матрицу в транспонированном виде.

Если элементы строк матрицы расставлены в столбцы, а элементы столбцов расставлены в строки, то полученная матрица называется транспонированнойки обозначается.

2. Умножить транспонированную направляющую матрицу на матрицу податливости.

3. Умножить полученную в предыдущем пункте матрицу на грузовую матрицу.

4. Записать полученные значения перемещений т. K (,,).

;;.

1.9167 0.8125 2.25

Здесь – перемещение т.K вдоль оси X; – перемещение т.K вдоль оси Y; – угол поворота т.K относительно оси Z.

Итак, основная задача примера решена – мы располагаем значениями перемещений т. Kоси заданной расчетной схемы. Положительные значения полученных перемещений означают то, что, задавая направляющие нагрузки в виде единичных сил, мы «угадали» истинное направление перемещений.