ЗФ_ПР2Полезность
.pdfПолезность и принятие решений в условиях риска
Понятие полезности
Полезность — это мера “удовлетворительности” принимаемого решения.
Полезность позволяет измерить привлекательность или приемлемость принимаемых решений.
Используется как альтернатива максиминному, максимаксному критерию или критерию максимума ожидаемого результата.
Пример
В урне содержится 99 белых шаров и 1 чёрный. Вам предложили сыграть в следующую игру: вы не глядя берете 1 шар из урны, т.е. все шары имеют одинаковую вероятность быть выбранными. Если вы вытянули белый шар, то платите 10 тыс. руб., а если чёрный
– получаете 1 млн. руб. Вы должны решить, играть в такую игру или нет. Табл 1. - Таблица платежей
Используя значения платежей и значения вероятностей 0,99 и 0,01, подсчитаем ожидаемый результат для каждого возможного решения.
ER(играть)=-10000х0,99 + 1000000х0,01=100 ER(не играть)=0х0,99 + 0х0,01=0
Так как ER(играть)> ER(не играть), то в соответствии с критерием максимизации ожидаемого результата выбираем решение «играть».
Платежи, выраженные в денежном эквиваленте, не всегда отражают предпочтительность результата, получаемого от принимаемого решения.
Пример
Игра 1: Потерять или выиграть 1руб. Игра 2: Потерять или выиграть 10 000руб.
Функция полезности
Анализ решений, учитывающий психологические аспекты поведения людей, требует введение специальной функции (функции полезности), которая бы измеряла «привлекательность» денег.
Функция полезности для лица, избегающего риска
Свойства функции полезности
1.Она не убывает, т.к. больше денег всегда предпочтительнее меньшего их количества. 2.Её график выпуклый, т.е. относительная полезность денег не возрастает.
Функция полезности для лица, избегающего риска
1.У вас есть 100$ и вы получили ещё 100$. Полезность денег возрастет на величину:
U(200)-U(100)=0,680-0,524=0,156
2.У вас есть 400$ и вы получили ещё 100$. Полезность денег возрастет на величину:
U(500)-U(400)=0,910-0,850=0,060
Т.е. 100 дополнительных долларов для вас менее привлекательны, если у вас на руках уже есть 400$.
При выигрыше определенной суммы полезность возрастает на меньшую величину, чем величина убывания полезности при потере такой же суммы.
3.При выигрыше $100 при имеющихся $400 полезность возрастает на 0,060.
4.При начальной сумме $400 потерять $100, то полезность уменьшится на величину
U(400)-U(300)=0,850-0,775=0,075, что больше величины 0,060.
Функция полезности для лица, настроенного на риск
При выигрыше определенной суммы денег полезность возрастает на бОльшую величину, чем величина убывания полезности при потере той же суммы денег.
1.У вас есть 200$ и вы получили ещё 100$. Полезность денег возрастет на величину:
U(300)-U(200)=0,590-0,260=0,330
2.У вас есть 200$ и вы потеряли 100$. Полезность денег уменьшится на величину:
U(200)-U(100)=0,260-0,075=0,185
Таким образом, для лица, настроенного на риск, более привлекательным является выигрыш, на проигрыш он обращает значительно меньше внимания.
Функция полезности для лица, нейтрального к риску
Выигрыш или потеря одинаковой суммы денег изменяет значение полезности на одинаковую величину.
Создание функции полезности
Метод оценивания функции полезности, когда известна её форма
За основу обычно берется экспоненциальная функция, т.е. функция для лица, избегающего риска:
Где x − денежная сумма, которой необходимо прописать определенное значение полезности.
Функция зависит от одного неизвестного параметра r, который определяет меру предрасположенности к риску. Чем больше значение r, тем на больший риск может пойти компания или индивид.
1 Способ определения значения параметра r
Определить такую денежную сумму r, чтобы были равнозначны варианты
А) Игра, где с вероятностью 50 на 50 можно было бы выиграть r долларов или потерять r/2 долларов.
Б) Не играть (нулевой платёж).
Пример: Т.е. вариант А (выиграть $100 с вероятностью 0,5 или проиграть $50 с вероятностью 0,5) и вариант Б (не играть) являются равнозначными.
2 Способ определения значения параметра r
Основан на эмпирических данных, собранных Р. Ховардом. Считается, что значение r приблизительно равно 124% от чистой прибыли, 15,7% от капитала и 6,4% от чистых продаж (в денежном эквиваленте).
Таким образом, большие компании имеют более высокое значение r и => меньше избегают риска.
Нахождение оптимального решения с помощью функции полезности
1.Создать новую таблицу платежей, где вместо денежных платежей приводятся эквивалентные им значения полезностей. Именно это значение теперь будет платежом для соответствующей комбинации решения и состояния природы.
2.Вычисляются ожидаемые значения результата (полезности).
3.Выбирается то решение, для которого ожидаемое значение будет наибольшим.
Задание 1
Построить собственную функцию полезности используя заданную экспоненциальную функцию вида 
Примерный внешний вид функции полезности