Лабораторная работа №5 Анализ построенной модели регрессии на гетерокедастичность остатков

Практические рекомендации по выполнению расчетов

с помощью табличного редактора MS Excel

Представлены данные о доходах по акциям x и балансовой прибыли y по 11 предприятиям одной отрасли, ден. ед.

x	3	4	5	7	8	10	11	12	15	20	30
y	12	13	20	19	31	24	41	28	52	55	103

Необходимо:

1. Проверить гипотезу о наличии гетерокедастичности в линейной регрессии с помощью теста ранговой корреляции Спирмена при доверительной вероятности 0,95.

2. Проверить гипотезу о гетерокедастичности с помощью теста Гольфельда-Квандта.

3. Дайте график зависимости остатков регрессии от фактора x.

4. При положительных тестах на гетерокедастичность оцените ее количественно с помощью теста Уайта.

5. Попытаться сгладить гетерокедастичность с помощью обобщенного метода наименьших квадратов.

Решение.

1) Суть проверки заключается в том, что в случае гетерокедастичности абсолютные остатки коррелированны со значениями фактора. Эту корреляцию можно измерить с помощьюкоэффициента ранговой корреляции Спирмена:

,

где d – абсолютная разность между рангами и. Статистическая значимость коэффициентаоценивается по критерию Стьюдента. Расчетное значениеt-критерия вычисляется по формуле:

.

Данная величина сравнивается с критической величиной при и числе степеней свободы. Если, то корреляция междуистатистически значима, т.е. имеет место гетерокедастичность остатков. В противном случае принимается гипотеза об отсутствии гетерокедастичности остатков.

Прежде всего найдем уравнение линейной регрессии.

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,970082893
R-квадрат	0,941060819
Нормированный R-квадрат	0,934512021
Стандартная ошибка	6,777232983
Наблюдения	11
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F
Регрессия	1	6600,258	6600,258	143,6998
Остаток	9	413,378	45,93089
Итого	10	7013,636
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	-0,525438344	3,681329	-0,14273	0,889647
x	3,230238574	0,269468	11,98748	7,77E-07

Уравнение регрессии .

Чтобы рассчитать параметр ,составим вспомогательную таблицу. Рангом величин, выстроенных в упорядоченный ряд, называется их порядковый номер по возрастанию. Переменная x в условиях уже упорядочена. Ранги остатков предстоит найти либо вручную, либо с помощью функции Ранг.

	x	y		Остатки		Ранг x	Ранг	d	d2
	3	12	9,165277	2,834723	2,834723	1	2	1	1
	4	13	12,39552	0,604484	0,604484	2	1	1	1
	5	20	15,62576	4,374245	4,374245	3	5	2	4
	7	19	22,08623	-3,086233	3,086233	4	3	1	1
	8	31	25,31647	5,683528	5,683528	5	6	1	1
	10	24	31,77695	-7,77695	7,77695	6	9	3	9
	11	41	35,00719	5,992811	5,992811	7	7	0	0
	12	28	38,23743	-10,237428	10,237428	8	11	3	9
	15	52	47,92815	4,071855	4,071855	9	4	5	25
	20	55	64,07934	-9,07934	9,07934	10	10	0	0
	30	103	96,38173	6,61827	6,61827	11	8	3	9
Среднее				-3,18182E-06
Сумма									60

Тогда коэффициент ранговой корреляции Спирмена равен . Для оценки его статистической значимости найдем расчетное значение критерия Стъюдента. По функцииСТЬЮДРАСПОБР (вероятность 0,05, степеней свободы ) находим соответствующее критическое значение Стьюдента. Делаем вывод о наличии гетерокедастичности в остатках регрессии.

2) Применим тест Гольдфельда-Квандта для подтверждения гетерокедастичности остатков.

В расчетной таблице разделим исходные данные на две примерно равные группы (верхнюю и нижнюю).

x	y		Остатки
3	12	9,165277	2,834723
4	13	12,39552	0,604484
5	20	15,62576	4,374245
7	19	22,08623	-3,086233
8	31	25,31647	5,683528
10	24	31,77695	-7,77695
11	41	35,00719	5,992811
12	28	38,23743	-10,237428
15	52	47,92815	4,071855
20	55	64,07934	-9,07934
30	103	96,38173	6,61827

Построим линейную регрессию по каждой группе.

Для верхней группы

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,890348
R-квадрат	0,79272
Нормированный R-квадрат	0,723627
Стандартная ошибка	3,986411
Наблюдения	5
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F
Регрессия	1	182,3256	182,3256	11,47317
Остаток	3	47,67442	15,89147
Итого	4	230
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	1,418605	5,488159	0,258485	0,812752
Переменная X 1	3,255814	0,961209	3,387207	0,042863

Из всего объема данных нам необходима только остаточная дисперсия , которая в протоколе регрессии обозначена как остатокSS. .

Для нижней группы

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,964861689
R-квадрат	0,930958079
Нормированный R-квадрат	0,913697599
Стандартная ошибка	8,389255527
Наблюдения	6
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	3795,982	3795,982	53,93582	0,00183
Остаток	4	281,5184	70,37961
Итого	5	4077,5
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%
Y-пересечение	-8,661290323	8,753454	-0,98947	0,378445	-32,9648
Переменная X 1	3,622119816	0,493201	7,344101	0,00183	2,252774

.

Расчетное значение теста получается как отношение большей остаточной дисперсии к меньшей. . Критической значение теста получаем по функции FРАСПОБР, в которой число степеней свободы равно

, в данном случае оно равно 6,59. Поскольку расчетное значение больше критического, остатки признаются гетерокедастичными.

3) Применим тест Уайта, чтобы количественно оценить зависимость дисперсии остатков от значений фактора x.

В эконометрических исследованиях достаточно часто выдвигается гипотезы о том, что

• остатки пропорциональны значениям фактора x: ;

• дисперсия остатков прямопропорциональна самим значениям x, т.е. ;

• зависимость между дисперсией остатков и значениями фактора x квадратичная .

Параметры этих регрессии можно найти МНК. Составим расчетную таблицу.

x	y		Остатки
3	12	9,165277	2,834723	8,035654487
4	13	12,39552	0,604484	0,365400906
5	20	15,62576	4,374245	19,13401932
7	19	22,08623	-3,086233	9,52483413
8	31	25,31647	5,683528	32,30249053
10	24	31,77695	-7,77695	60,4809513
11	41	35,00719	5,992811	35,91378368
12	28	38,23743	-10,237428	104,8049321
15	52	47,92815	4,071855	16,58000314
20	55	64,07934	-9,07934	82,43441484
30	103	96,38173	6,61827	43,80149779

Для регрессии пользуемсяСервис/Анализ данных/Регрессия/…Поставить флажок «Константа-нуль».

Получаем протокол

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,304158793
R-квадрат	0,092512571
Нормированный R-квадрат	-0,01859854
Стандартная ошибка	6,104515756
Наблюдения	10
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	34,19047	34,19047084	0,917493	0,366182
Остаток	9	335,386	37,26511262
Итого	10	369,5765
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	0	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д
Переменная X	-0,172201879	0,179778	-0,957858421	0,363156

Результат неудовлетворительный, коэффициент детерминации всего 0,09.

Аналогично строим регрессию , взяв в качестве входного интервалаY  столбец . Получаем протокол

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,864535947
R-квадрат	0,747422404
Нормированный R-квадрат	0,636311293
Стандартная ошибка	26,25750385
Наблюдения	10
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	18362,0291	18362,0291	26,632614	0,000862939
Остаток	9	6205,108576	689,4565085
Итого	10	24567,13768
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	0	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д
Переменная X 1	3,990668767	0,773283573	5,160679613	0,0005945

В данном уравнении достаточная степень детерминации – 0,74, кроме того значимость по критерию Фишера не превосходит допустимые 5% ошибки в расчетах. Принимаем гипотезу о том, что дисперсия остатков прямопропорциональна самим значениям x.

Для проверки гипотезы о квадратичной зависимости решают методом определителей систему уравнений (см. ЛРНелинейная регрессия):

Определяют индекс корреляции . О наличии или отсутствии гетерокедастичности судят по величинеF-критерия Фишера для функции ,. При выполнении условияимеет место гетерокедастичность остатков и количественно она выражена значением. По данному расчету предположение о квадратичной зависимости дисперсии остатков от значенийx не проверяем (поскольку принята гипотеза ).

5) Улучшим модель, смягчив гетерокедастичность, пользуясь обобщенным методом наименьших квадратов. Если , тогда сами остатки пропорциональны.

Чтобы избавиться от этого, разделим уравнение линейной регрессии на. Получим преобразованное уравнение регрессии, в котором можно сделать замену переменной:

. Пусть ,,.Тогда .

Построим вспомогательную таблицу

x	y	X	z	Y
3	12	1,732051	0,577350269	6,92820323
4	13	2	0,5	6,5
5	20	2,236068	0,447213595	8,94427191
7	19	2,645751	0,377964473	7,181324987
8	31	2,828427	0,353553391	10,96015511
10	24	3,162278	0,316227766	7,589466384
11	41	3,316625	0,301511345	12,36196513
12	28	3,464102	0,288675135	8,082903769
15	52	3,872983	0,25819889	13,42634227
20	55	4,472136	0,223606798	12,29837388
30	103	5,477226	0,182574186	18,80514114

Протокол регрессионного анализа имеет вид:

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,986894
R-квадрат	0,9739597
Нормированный R-квадрат	0,8599553
Стандартная ошибка	1,9415488
Наблюдения	11
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F
Регрессия	2	1268,921	634,4607182	168,3092927
Остаток	9	33,92651	3,769611932
Итого	11	1302,848
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	0	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д
X	3,02343	0,296117	10,21024561	3,00843E-06
z	1,8246585	2,72558	0,669456856	0,520006975

Получаем уравнение регрессии .Или .

Показатели статистической значимости уравнения регрессии улучшены. Увеличился коэффициент детерминации с 94% до 97%. Существенно уменьшилась остаточная дисперсия с 413 ед. до 33 ед.

Задание для самостоятельной работы

По своим данным лабораторной работы №1 выполнить анализ гетерокедастичности остатков. А именно:

1. Проверить гипотезу о наличии гетерокедастичности в линейной регрессии с помощью теста ранговой корреляции Спирмена при доверительной вероятности 0,95.

2. Проверить гипотезу о гетерокедастичности с помощью теста Гольфельда-Квандта.

3. Оцените количественно гетерокедастичность остатков, если она присутствует.

4. При наличии гетерокедастичности, применить обобщенный МНК для ее сглаживания.