Розділ 3 диференціал функції

§1. Визначення диференціала функції однієї змінної

Як відомо, похідна функції:

. (1)

З визначення границі функції випливає, що якщо , то повинно виконуватися умова, де- як завгодно мале позитивне число, що визначає міру близькостійу точці. З обліком сказаного, рівнянню (1) буде відповідати нерівність:

,

Якщо розкрити цю нерівність, то одержимо:

.

З даної подвійної нерівності можна визначити приріст функції , додавши до лівої і правої частини нерівності похіднупомножену на приріст аргументу:

.

Так, як по визначенню прагне до нуля, ає нескінченно малою величиною, той і їхній добутокявляє собою нескінченно малу величину більш високого порядку, ніжчиокремо. Тому цією величиноюможна знехтувати і записати, що:

, (2)

тобто, приріст функції приблизно дорівнює добутку похідної функціїна нескінченно малий приріст аргументу. Цей добуток одержав самостійну назву – диференціал функції:

, (3)

де - диференціал аргументу.

Отже, диференціал функції дорівнює добутку значення похідноїфункції на приріст аргументу.

Іншим визначенням диференціала функції може бути наступне: диференціалом функції називається величина, пропорційна нескінченно малому збільшенню аргументу, що відрізняється від приросту функціїна нескінченно малу більш високого порядку, аніж(на величину).

З геометричної точки зору диференціал функції в точці дорівнює збільшенню ординати дотичної до кривої в даній точці (дивись рис. 17 (а, б)).

Іншими словами – диференціал представляє головну частину приросту функції і може бути як більшим, так і меншим за приріст функції.

Диференціал функції являє собою також функцію аргументу, тому можна знайти його диференціал, що називаютьдиференціалом другого порядку:

. (4)

Диференціал другого порядку дорівнює добутку другої похідної функції на квадрат диференціала аргументу.

Диференціал п-го порядку можна знайти по формулі:

. (5)

Приклади.

№1.

Знайти приріст і диференціал функції в точціі. Порівняти отримані результати.

Розв’язання.

1. Знайдемо приріст функції:

;

Якщо підставити наші значення в останній вираз, то одержимо:

2. Знайдемо диференціал функції:

;

.

Якщо підставити наші значення в останнє вираження, то одержимо:

.

3. Порівняємо отримані результати:

, тобто у цьому випадку більшена 0,01.

§2. Частинний і повний диференціали для функції багатьох змінних. Диференціали вищих порядків

Якщо функція має дві неперервні частинні похідніі, точастинним диференціалом функції поназивають добуток частинної похідної пона приріст аргументу:

. (6)

Частинним диференціалом функції поназивають добуток частинної похідної пона приріст аргументу:

. (7)

Повним диференціалом функції називають суму частинних диференціалів цієї функції:

. (8)

Приклад.

Знайти частинні і повний диференціали функції в точціприі.

Розв’язання. Знайдемо частинні похідні першого порядку функції:

;

.

Знайдемо частинні диференціали:

;

.

Повний диференціал:

.

§3. Абсолютна та відносна похибка прямого і посереднього (непрямого) виміру. Застосування диференціалів для визначення похибок вимірювань

Прямим називають вимірювання величини, який роблять безпосередньо, за допомогою вимірювальних приладів. Наприклад, вимір довжини – за допомогою лінійки, ваги – за допомогою ваг, температури - за допомогою термометра і т.д.

Однак результати вимірювання майже ніколи не дають точного (істинного) значення величини. Якщо - вимірюване значення величини, то величина:

. (9)

називається абсолютною похибкою прямого вимірювання. Крім того, можна знайти відносну похибку прямого вимірювання:

(10)

Якщо шукана величина пов'язана з вимірюваною величиною відомою функціональною залежністючи, то такі виміри називаютьсяпосередніми (непрямими). У першому випадку шукана величина є функцією однієї змінної, у другому - двох змінних. Наприклад, при вимірюванні площі квадрата ми маємо функцію однієї змінної (довжина сторін), а при вимірюванні площі прямокутника- двох змінних (довжини, ширини).

Абсолютну похибка посереднього (непрямого) вимірювання для функції однієї змінної можна знайти за формулою:

, (11)

де - точне значення величини, а- отримане після того, як результати прямих вимірювань підставлені у формулу. У свою чергу:, тому:

. (12)

Відносну похибкупосереднього (непрямого) вимірювання можна знайти по формулі:

. (13)

Якщо посереднє (непряме) вимірювання є функцією декількох змінних (наприклад, двох), то абсолютна похибка непрямого вимірювання обчислюється за формулою:

. (14)

Відносна похибканепрямого вимірювання для функції двох змінних обчислюється за формулою:

. (15)