§7. Схема дослідження функції

Часто виникає необхідність побудови графіків функціональних залежностей. У ряді випадків, коли залежність задана складеною функцією, побудова графіка дуже проблематична. Разом з тим, для грубої оцінки досить знати координати точок екстремумів кривої (якщо вони є), її напрямок між екстремумами, точки перегину й інтервали опуклості й угнутості.

Таким чином, можна запропонувати наступний алгоритм дослідження функції:

1) знайти область визначення функції;

2) дослідити функцію на парність;

3) визначити інтервали монотонності функції і знайти точки екстремуму;

4) знайти інтервали опуклості, угнутості і точки перегину;

5) знайти точки перетину графіка з осями координат, розв’язавши рівняння і;

6) при необхідності визначити поводження функції в околі точок розриву і на нескінченності;

7) нанести всі отримані точки на координатну площину і, з огляду на результати аналізу, побудувати графік.

Приклад.

Побудувати графік функції .

Розв’язання. Знайдемо область визначення функції. .

1. Досліджуємо функцію на парність.

. Функція непарна.

2. Визначимо інтервали монотонності функції і точки екстремуму.

а) Знайдемо першу похідну .

б) Знайдемо критичні точки:

;

;

;

;

.

в) Визначимо знаки першої похідної на інтервалах і:

;

;

.

На інтервалахіпохідна більше нуля, тому на цих інтервалах функція буде строго зростати. На інтерваліпохідна менше нуля, тому на цьому інтервалі функція буде строго спадати.

г) У точці похідна змінює знак із плюса на мінус, тому в цій точці буде максимум. У точціпохідна змінює знак з мінуса на плюс, тому в цій точці буде мінімум.

д) Знайдемо значення функції в точках екстремуму.

;

.

3. Знайдемо інтервали опуклості й угнутості та точки перегину.

а) Знайдемо другу похідну .

б) Визначимо точки, у яких друга похідна дорівнює нулю чи не існує, для цього треба розв’язати відносно рівняння. Точка розбиває область існування функції на інтервали: і.

в) Визначимо інтервали опуклості й угнутості. Для цього визначаємо знак другої похідної в будь-якій точці з кожного інтервалу.

;

.

На інтервалі друга похідна менше нуля, тому крива опукла, а на інтервалі друга похідна менше нуля, тому функція угнута.

г) Знайдемо значення функції в точці перегину: .

4. Знайти точки перетину графіка з осями координат:

а) з віссю , розв’язавши рівняння:

;

;

;

б) з віссю , підставив в рівняння:

.

5. Нанесемо всі одержані точки на координатну площину і, з огляду на результати аналізу, побудуємо графік (дивись рис. 16).

§8. Функція багатьох змінних. Частинні похідні функції багатьох змінних. Частинні похідні вищих порядків

На практиці часто доводиться розв’язувати задачі, у яких розглядаються функції більш ніж однієї змінної. Наприклад, з курсу середньої школи відомі формули для знаходження площі прямокутника: (деі- довжини сторін), об’єму паралелепіпеда:(деі- довжини сторін основи, а- висота). Дані формули задають функції двох і трьох змінних (,.

Способи задання функції багатьох змінних.

Функції багатьох змінних, як і функція однієї змінної, можуть бути задані у вигляді таблиці, а також аналітично у вигляді формули. Наприклад, функція двох змінних може бути представлена у вигляді:

. (13)

Графічне представлення функції більш ніж двох змінних є проблематичним. Скажімо, функція має двомірне представлення, а функція- тримірна. Є свої труднощі і при знаходженні похідних від таких багатомірних функцій, тому, при диференціюванні функцій багатьох змінних знаходять так звані частинні похідні. При цьому знаходять по черзі похідні по кожному з аргументів, вважаючи при цьому, що всі інші змінні фіксовані і розглядаються як постійні.

Частинною похідною першого порядку функції по аргументуназивають границю:

, (14)

якщо вона існує.

Вираз називаютьчастинним приростом функції по .

Частинною похідною першого порядку функції по аргументуназивають границю:

, (15)

якщо вона існує.

Вираз називаютьчастинним приростом функції по .

Повний прирістфункції двох змінних можна представити у вигляді формули:

. (16)

За аналогією з функцією однієї змінної, для якої ми визначали похідні вищих порядків, для функції двох і більш змінних так само можна знайти аналогічні похідні. Це, так називані, частинні похідні вищих порядків. Так, для функції двох аргументівіможна визначити (передбачається, що всі похідні існують) чотири частинних похідних другого порядку:

; ;

(17,18,19,20)

; .

Частинні похідні івідрізняються порядком диференціювання і називаються змішаними похідними другого порядку. Аналогічно визначаються частинні похідні більш високих порядків.

Приклади

№1.

Знайти частинні похідні другого порядку функції .

Розв’язання.

1. Знайдемо частинні похідні першого порядку:

;

.

2. Знайдемо частинні похідні другого порядку:

;

.

3. Знайдемо змішані похідні:

;

.