3. Порядок проведения работы.

3.1. Экспериментальная часть работы состоит в выполнении многократных измерений одной и той же линейной величины несколькими наблюдателями, и с использованием различных средств измерений. Измерения проводятся рычажной скобой, описанной в разделе 2.5. Результаты измерений (15...20 значений в каждой серии) заносятся в таблицу бланка отчета.

3.2. Для каждой серии измерений вычисляется среднее арифметическое , стандартное отклонение и стандартное отклонение среднего с использованием формул (5), (6) и (11).

3.3. Для каждой серии измерений проверяется наличие или отсутствие грубых промахов с использованием -критерия (раздел 2.2). Если грубые промахи обнаружены, то их необходимо исключить из результатов измерений и произвести повторный расчет среднего арифметического , стандартного отклонения и стандартного отклонения среднего , а затем вновь сделать проверку на грубые промахи. Здесь, а также в других расчетах принять доверительную вероятность Р = 0,95.

3.4. Пользуясь формулами (15) и (16) проверить сходимость полученных серий измерений.

3.5. С помощью критерия Фишера (формулы (17) и (18) установить однородность или неоднородность серий измерений.

3.6. Если установлено, что серии измерений - однородные равноточные, то полученные результаты объединяются в один массив, для которого выполняются расчеты по формулам 5, 6 и 11. Окончательный результат записывается в форме доверительного интервала (12).

3.7. Если установлено, что серии измерений - неравноточные, то следует рассчитать среднее взвешенное по формуле (20) и стандартное отклонение по формуле (21), то есть с учетом весовых коэффициентов. Окончательный результат также записывается в форме доверительного интервала (12).

4. Контрольные вопросы.

4.1. Какие погрешности называют случайными?

4.2. Что такое закон распределения вероятности случайной величины?

4.3. Что такое математическое ожидание случайной величины?

4.4. Что характеризует дисперсия случайной величины? Как связаны между собой дисперсия и среднее квадратическое отклонение?

4.5. Что такое доверительный интервал? Доверительная вероятность?

4.6. Как производится проверка результатов многократных измерений на предмет обнаружения грубых промахов?

4.7. Что такое равноточные и неравноточные серии измерений?

4.8. Как производится проверка сходимости серий измерений?

4.9. Как проверяется однородность серий измерений с помощью критерия Фишера?

4.10. Что такое весовые коэффициенты и какие требования к ним предъявляются?

5. Библиографический список

5.1. Бурдун Г.Д., Марков Б.Н. Основы метрологии: Учебн. пособие. - 3-е изд. перераб. и доп. - М.: Изд-во стандартов, 1984.

5.2. Шишкин И.Ф. Основы метрологии, стандартизации и контроля качества: Учебн. пособие. - М.: Изд-во стандартов, 1988.

5.3. Тюрин Н.И. Введение в метрологию / Учебн. пособие. - М.: Издптельство стандартов, 1985.

5. 4. Фрумкин В.Д., Рубичев Н.А. Теория вероятностей в метрологии и измерительной технике. - М.: Машиностроение, 1987.

5.5. Кузнецов В.А., Ялунина Г.В. Метрология (теоретические, прикладные и законодательные основы): Учеб.пособие.-М.: ИПК Издательство стандартов, 1998.- 336с.

Пример заполнения бланка отчета

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ МНОГОКРАТНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

1. Результаты, полученные при многократных измерениях диаметра вала, мм.

Таблица 1

№ п/п	I серия	II серия
1	24,958	24,962
2	24,956	24,951
3	24,965	24,957
4	24,962	24,965
5	24,962	24,966
6	24,960	24,960
7	24,955	24,948
8	24,967	24,963
9	24,968	24,965
10	24,953	24,958
11	24,950	24,955
12	24,959	24,962
13	24,965	24,954
14	24,962	24,957
15	24,960	24,963

2. Определим основные характеристики случайной величины

Параметр	I серия	II серия
1. Среднее арифметическое	24,960	24,959
2. Стандартное отклонение	0,0051	0,0054
3. Стандартное отклонение средних	0,0013	0,0014

3. Произведем проверка отсутствия грубых промахов в каждой серии с использованием - критерия:

для первой серии

для второй серии

Проверяем выполнение условия _р  _т.

Табличное предельно допустимое значение _т находим по таблице 1 Приложения при доверительной вероятности Р = 0,95 и количестве измерений n = 15.

_т =2,493

Условие _р  _т выполняется, следовательно грубых промахов нет.

4. Проверим сходимость серий измерений по условию

,

где среднее квадратическое отклонение средних

.

Проверим условие:

где t = 2,05 – относительный доверительный интервал найденный по таблице 2 Приложения при Р = 0,95 и k = (n_I + n_II) – 2 = 28.

Поскольку условие выполняется, то результаты измерений сходятся.¹

5. Так как результаты измерений сходятся, то проверим однородность дисперсий серий измерений, используя критерий Фишера.

Должно выполняться условие:

F_т = 2,48 – критическое значение F – критерия, выбираемое из таблицы 3 Приложения в зависимости от Р и числа степеней свободы для наибольшей и наименьший дисперсий.

Условие выполняется, следовательно, серии измерений однородны и равноточны и их можно объединить в единый массив и обрабатывать как результаты многократных равноточных измерений.

Определяем , где n = n_I + n_II = 30.

и определяем с использованием формул 6 и 11.

В результате получаем

= 0,0052

= 0,00095

Окончательный результат записываем в форме доверительного интервала:

Значение t выбирается из таблицы 2 Приложения. t = 2,04 при

k = (n_I + n_II) – 1 = 29.

.²

Работу выполнил студент	Принял преподаватель	Дата

П Р И Л О Ж Е Н И Я

ТАБЛИЦА 1 ν-критерий для проверки наличия грубых

промахов в результатах измерения

n	Уровень значимости 1 – P				n	Уровень значимости 1 – P
	0,10	0,05	0,025	0,01		0,10	0,05	0,025	0,01
3	1,406	1,412	1,414	1,414	14	2,297	2,461	2,602	2,759
4	1,645	1,689	1,710	1,723	15	2,326	2,493	2,638	2,808
5	1,731	1,869	1,917	1,955	16	2,354	2,523	2,670	2,837
6	1,894	1,996	2,067	2,130	17	2,380	2,551	2,701	2,871
7	1,974	2,093	2,182	2,265	18	2,404	2,577	2,728	2,903
8	2,041	2,172	2,273	2,374	19	2,426	2,600	2,754	2,932
9	2,097	2,237	2,349	2,464	20	2,447	2,623	2,778	2,959
10	2,146	2,294	2,414	2,540	21	2,467	2,644	2,801	2,984
11	2,190	2,383	2,470	2,606	22	2,486	2,664	2,823	3,008
12	2,229	2,387	2,519	2,663	23	2,504	2,683	2,843	3,030
13	2,264	2,426	2,562	2,714	24	2,520	2,701	2,862	3,051
					25	2,537	2,717	2,880	3,071

P – значение доверительной вероятности

П Р И Л О Ж Е Н И Я

ТАБЛИЦА 2. Распределение Стьюдента

P	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	0,98	0,99	0,999	P
k														k
1	0,158	0,325	0,510	0,727	1,000	1,376	1,963	3,08	6,31	12,71	31,8	63,7	63,7	1
2	142	289	445	617	0,816	1,061	1,336	1,886	2,92	4,30	6,96	9,92	31,6	2
3	137	277	424	584	765	0,978	1,250	1,638	2,35	3,18	4,54	5,84	12,94	3
4	134	271	414	569	741	941	1,190	1,533	2,13	2,77	3,75	4,60	8,61	4
5	132	267	408	559	727	920	1,156	1,476	2,02	2,57	3,36	4,03	6,86	5
6	131	265	404	553	718	906	1,134	1,440	1,943	2,45	3,14	4,71	5,96	6
7	130	263	402	549	711	896	1,119	1,415	1,895	2,36	3,00	3,50	5,40	7
8	130	262	399	546	706	889	1,108	1,397	1,86	2,31	2,90	3,36	5,04	8
9	129	261	398	543	703	883	1,100	1,383	1,833	2,26	2,82	3,25	4,78	9
10	129	260	397	542	700	879	1,093	1,372	1,812	2,23	2,76	3,17	4,59	10
11	129	260	396	540	697	876	1,088	1,363	1,796	2,20	2,72	3,11	4,49	11
12	128	259	395	539	695	873	1,083	1,356	1,782	2,18	2,68	3,06	4,32	12
13	128	259	394	538	694	870	1,079	1,350	1,771	2,16	2,65	3,01	4,22	13
14	128	258	393	537	692	868	1,076	1,345	1,761	2,14	2,62	2,98	4,14	14
15	128	258	393	536	691	866	1,074	1,341	1,753	2,13	2,60	2,95	4,07	15
16	128	258	392	535	690	865	1,071	1,337	1,746	2,12	2,58	2,92	4,02	16
17	128	257	392	534	689	863	1,069	1,333	1,740	2,11	2,57	2,90	3,96	17
18	127	257	392	534	688	862	1,067	1,330	1,734	2,10	2,55	2,88	3,92	18
19	127	257	391	533	688	861	1,066	1,328	1,729	2,09	2,54	2,86	3,88	19
20	127	257	391	533	687	860	1,064	1,325	1,725	2,09	2,53	2,84	3,85	20
21	127	257	391	532	686	859	1,063	1,323	1,721	2,08	2,52	2,83	3,82	21
22	127	256	390	532	686	858	1,061	1,321	1,717	2,07	2,51	2,82	3,79	22
23	127	256	390	532	685	858	1,060	1,319	1,714	2,07	2,50	2,81	3,77	23
24	127	256	390	531	685	857	1,059	1,318	1,711	2,06	2,49	2,80	3,74	24
25	127	256	390	531	684	856	1,058	1,316	1,708	2,06	2,48	2,79	3,72	25
26	127	256	390	531	684	856	1,058	1,315	1,706	2,06	2,48	2,78	3,71	26
27	127	256	389	531	684	855	1,057	1,314	1,703	2,05	2,47	2,77	3,69	27
28	127	256	389	530	683	855	1,056	1,313	1,701	2,05	2,47	2,76	3,67	28
29	127	256	389	530	683	854	1,055	1,311	1,699	2,04	2,46	2,76	3,66	29
30	127	256	389	530	683	854	1,055	1,310	1,697	2,04	2,46	2,75	3,65	30

П Р И Л О Ж Е Н И Я

ТАБЛИЦА 3. Распределение Фишера

При доверительной вероятности 0,95 (обычный шрифт) и 0,99 (жирный шрифт)

	k2	k1 – степени свободы для большей дисперсии																		k2
k2 – степени свободы меньшей дисперсии		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	14	16	20	24	30	40
	1	161	200	216	225	230	234	237	239	241	242	243	244	245	246	248	249	250	251	1
		4052	4999	5403	5625	5764	5889	5928	5981	6022	6056	6082	6106	6142	6169	6208	6234	6258	6286
	2	18,51	19,00	19,16	19,25	19,30	19,33	19,36	19,37	19,38	19,39	19,40	19,41	19,42	19,43	19,44	19,45	19,46	19,47	2
		98,49	99,01	99,17	99,25	99,30	99,33	99,34	99,36	99,38	99,40	99,41	99,42	99,43	99,44	99,45	99,46	99,47	99,48
	3	10,13	9,55	9,28	9,12	9,01	8,94	8,88	8,84	8,81	8,78	8,76	8,74	8,71	8,69	8,66	8,64	8,62	8,60	3
		34,12	30,81	29,46	28,71	28,24	27,91	27,67	27,49	27,34	27,23	27,13	27,05	26,92	26,83	26,69	26,60	26,50	26,41
	4	7,71	6,94	6,59	6,39	6,26	6,16	6,09	6,04	6,00	5,96	5,93	5,91	5,87	5,84	5,80	5,77	5,74	5,71	4
		21,20	18,00	16,69	15,98	15,52	15,21	14,98	14,80	14,66	14,54	14,45	14,37	14,24	14,15	14,02	13,93	13,83	13,74
	5	6,61	5,79	5,41	5,19	5,05	4,95	4,88	4,82	4,78	4,74	4,70	4,68	4,64	4,60	4,56	4,53	4,50	4,46	5
		16,26	13,27	12,06	11,39	10,97	10,67	10,45	10,27	10,15	10,05	9,96	9,89	9,77	9,68	9,55	9,47	9,38	9,29
	6	5,99	5,14	4,76	4,53	4,39	4,28	4,21	4,15	4,10	4,06	4,03	4,00	3,96	3,92	3,87	3,84	3,81	3,77	6
		13,74	10,92	9,78	9,15	8,75	8,47	8,26	8,10	7,98	7,87	7,79	7,72	7,60	7,52	7,39	7,31	7,23	7,14
	7	5,59	4,74	4,35	4,12	3,97	3,87	3,79	3,73	3,68	3,63	3,60	3,57	3,52	3,49	3,44	3,41	3,38	3,34	7
		12,25	9,55	8,45	7,85	7,46	7,19	7,00	6,84	6,71	6,62	6,54	6,47	6,35	6,27	6,15	6,07	5,98	5,90
	8	5,32	4,46	4,07	3,84	3,69	3,58	3,50	3,44	3,39	3,34	3,31	3,28	3,23	3,20	3,15	3,12	3,08	3,05	8
		11,26	8,65	7,59	7,01	6,63	6,37	6,19	6,03	5,91	5,82	5,74	5,67	5,56	5,48	5,36	5,28	5,20	5,11
	9	5,12	4,26	3,86	3,63	3,48	3,37	3,29	3,23	3,18	3,13	3,10	3,07	3,02	2,98	2,93	2,90	2,86	2,82	9
		10,56	8,02	6,99	6,42	6,06	5,80	5,62	5,47	5,35	5,26	5,18	5,11	5,00	4,92	4,80	4,73	4,64	4,56
	10	4,96	4,10	3,71	3,48	3,33	3,22	3,14	3,07	3,02	2,97	2,94	2,91	2,86	2,82	2,77	2,74	2,70	2,67	10
		10,04	7,56	6,55	5,99	5,64	5,39	5,21	5,06	4,95	4,85	4,78	4,71	4,60	4,52	4,41	4,33	4,25	4,17
	11	4,84	3,98	3,59	3,36	3,20	3,09	3,01	2,95	2,90	2,86	2,82	2,79	2,74	2,70	2,65	2,61	2,57	2,53	11
		9,85	7,20	6,22	5,67	5,32	5,07	4,88	4,74	4,63	4,54	4,46	4,40	4,29	4,21	4,10	4,02	3,94	3,86
	12	4,75	3,88	3,49	3,26	3,11	3,00	2,92	2,85	2,80	2,76	2,72	2,69	2,64	2,60	2,54	2,50	2,46	2,42	12
		9,33	6,93	5,95	5,41	5,06	4,82	4,65	4,50	4,39	4,30	4,22	4,16	4,05	3,98	3,86	3,78	3,70	3,61
	13	4,67	3,80	3,41	3,18	3,02	2,92	2,84	2,77	2,72	2,67	2,63	2,60	2,55	2,51	2,46	2,42	2,38	2,34	13
		9,07	6,70	5,74	5,20	4,86	4,62	4,44	4,30	4,19	4,10	4,02	3,96	3,85	3,78	3,67	3,59	3,51	3,42
	14	4,60	3,74	3,34	3,11	2,96	2,85	2,77	2,70	2,65	2,60	2,56	2,53	2,48	2,44	2,39	2,35	2,31	2,27	14
		8,86	6,51	5,56	5,03	4,69	4,46	4,28	4,14	4,03	3,94	3,86	3,80	3,70	3,62	3,51	3,43	3,34	3,26
	15	4,54	3,68	3,29	3,06	2,90	2,79	2,70	2,64	2,59	2,55	2,51	2,48	2,43	2,39	2,33	2,29	2,25	2,21	15
		8,68	6,36	5,42	4,89	4,56	4,32	4,14	4,00	3,89	3,80	3,73	3,67	3,56	3,48	3,36	3,29	3,20	3,12
	16	4,49	3,63	3,24	3,01	2,85	2,74	2,66	2,59	2,54	2,49	2,45	2,42	2,37	2,33	2,28	2,24	2,20	2,16	16
		8,53	6,23	5,29	4,77	4,44	4,20	4,03	3,89	3,78	3,69	3,61	3,55	3,45	3,37	3,25	3,18	3,10	3,01

1 Если условие не выполняется, то результаты серий измерений не подлежат совместной обработке и результат измерений записывается в форме доверительного интервала для каждой серии и . t – выбирается из таблицы 2 Приложения при Р = 0,95 и k_I = n_I -1 и k_II = n_II -1.

2 Если условие не выполняется, то это говорит о том, что серии измерений неравноточны и поэтому каждую серию результатов измерений необходимо оценить с точки зрения степени доверия, определить их «вес» в общей совокупности всех результатов, для получения значения измеряемой величины, наиболее близкого к истинному значению с помощью весовых коэффициентов. С этой целью необходимо определить

1. Весовые коэффициенты серий измерений

2. Среднее взвешенное

3. Стандартное отклонение двух неравноточных серий .

8. Окончательный результат измерений: