7. Выбор числа измерений

Цель любого измерения – это получение результата измерений с оценкой истинного значения измеряемой величины. Для чего проводится обработка результатов измерений. В большинстве случаев обработка результатов измерений проводится с помощью вероятностно – статистических методов, известных из курсов теории вероятности и математической статистики.

Вопрос, сколько измерений необходимо произвести, чтобы считать их результаты вполне надежными, однозначного решения не имеет. Все зависит от целей организуемых измерений, ответственности их результатов для оценки состояния объекта измерений, а также от степени исключения систематических погрешностей измерений. Здесь возможны четыре варианта.

1 Однократные измерения (1 – 3 измерения) допустимы только в порядке исключения, так как они по существу не позволяют судить о достоверности измерительной информации.

2 Если принять, что в погрешности результата измерений роль систематической погрешности пренебрежимо мала по сравнению со случайной погрешностью, то при определении необходимого количества измерений следует исходить из возможности проведения статистической обработки результатов измерений. Уже при 25 … 30 измерениях оценки их результатов являются достоверными.

3 Если метрологически объект измерений предварительно не исследовался, и кроме расчетных значений величин о нем мало что известно, то число измерений должно быть увеличено до 50 … 100.

4 Если необходимо установить закон распределения оцениваемых величин число измерений необходимо увеличить на порядок (500 … 1000).

Главная цель увеличения числа измерений состоит в уменьшении случайности результата измерений, и следовательно, в наилучшем приближении результата к истинному значению величины. Но увеличивать число измерений с целью нахождения истинного значения величины бессмысленно, так как оно не зависит от организации измерений, а существует независимо от того, проводятся они или нет.

2.9 Статистические параметры распределения результатов измерений. Законы распределения случайных величин

Производя оценку истинного значения измеряемой величины по результатам измерений, мы пользуемся методами теории вероятностей, применяемыми для оценки неизвестных параметров функции распределения случайной величины. Основными статистическими параметрами распределения случайных величин являются: среднее арифметическое значение измеряемой величины , диапазон рассеянияR, дисперсия и среднее квадратическое отклонение s_х.

Среднее арифметическое значение - это сумма действительных значений, деленная на их число:

, (2)

где x₁, x₂,….x_n – действительные значения измеряемой величины;

n – число измерений.

Среднее арифметическое значение определяет положение центра группирования и является оценкой математического ожидания.

Диапазон распределения значений измеряемой величины R – разность между наибольшим и наименьшим значениями:

, (3)

где x_max и x_min – набольшее и наименьшее значения измеряемой величины.

Диапазон распределения значений измеряемой величины характеризует только разброс значений около центра группирования.

Другая статистическая характеристика распределения значе­ний измеряемой величины показывает, как тесно группируются отдельные значения вокруг средней арифметической или как они рассеиваются вокруг этой средней. За меру рассе­яния принимают сумму квадратов отклонений отдельных значений от сред­него арифметического, деленную на число измерений, уменьшенное на еди­ницу. Эту меру называют дисперсией и обозначают через .

. (4)

Вместо дисперсии часто применяют среднее квадратическое отклонение (СКО)s_х. Оно имеет ту же размерность, что и средняя арифметичес­кая и определяется по фор­муле:

(5)

И дисперсия и СКО являются характеристиками рассеивания. СКО характеризует ширину области рассеивания значений случайной величины. Чем меньше ширина области рассеивания, тем точнее проведены измерения, и наоборот.

Наглядное представление о характере распределения дают так называемые кривые распределения, которые в зависимости от способа построения делятся на гистограммы распределения, эмпирические кривые или полигоны распределения и теоретические кривые распределения (рис. 6).

При построении кривых распределения по оси абсцисс откладывают или сам результат измерения x_i или его отклонения Δx_i от среднего арифметического . По оси ординат для построения гистограмм и полигонов распределения откладывают относительную частоту, равную

, (6)

где n_xi – частота или число измерений, попадающих в один и тот же интервал; N – общее число измерений.

Рисунок 6 - Гистограмма (1), полигон (3) и

теоретическая кривая (2) распределения

При построении теоретической кривой распределения по оси ординат откладывают плотность вероятности y случайной величины. Таким образом, теоретическая кривая отражает закон распределения вероятности случайной величины. Законом распределения вероятности случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

На гистограмме или полигоне распределения площадь в пределах интервала равна относительной частоте, а на теоретической кривой – вероятности появления результата измерения в данном интервале.

Под вероятностью какого-либо события (например, попадания случайной величины в пределы от а до в) понимается количественная оценка возможности возникновения данного события. Вероятность может принимать значения от 0 до 1. Вероятность, равная 0, соответствует заведомо недостоверному событию. Вероятность, равная 1, заведомо достоверному событию.

Помимо кривой распределения закон распределения может представляться аналитически в виде функции распределения.

Закон распределения обладает рядом свойств. Рассмотрим два из них:

1 Вероятность появления значения случайной величины в заданном интервале численно равна площади под кривой распределения в том же интервале, т.е.

P (a < x < b) = (7)

2 Полная площадь под кривой распределения, охватывающая всю совокупность случайных величин численно равна 1.

P (-< x <+) = = 1 (8)

Математическое ожидание случайной величины представляет собой абсциссу центра тяжести фигуры, лежащей под кривой распределения. Математическое ожидание определяется по уравнению

М_x = (9)

При практических расчетах пользуются теоретическими кривыми распределения, полученными аппроксимацией гистограмм или эмпирических кривых распределения. Для аппроксимации наиболее часто используют следующие законы распределения.

1 Закон нормального распределения (закон Гаусса)(рис.7).

Рисунок 7- Закон нормального распределения

Нормальный закон распределения величины х представляется плотностью распределения

(10)

Это наиболее распространенный закон распределения случайных величин имеет место, когда из большого числа факторов ни один не является доминирующим, а каждый играет относительно малую роль в общей совокупности. Закон нормального распределения часто имеет место при обработке деталей, особенно на станках-автоматах, а также при измерении размеров универсальными средствами измерения.

Для определенного распределения М(х) и σ — величины постоянные. Они являются параметрами гауссовского распределения. Как видно, кривая распределения имеет характерную колоколообразную форму. Максимальная ордината кривой, равная , соответствует точкеx = M(x) — центру распределения. Точка перегиба кри­вой располагается на расстоянии от центра распределения (как показано на рис. 7а). По мере удаления от точкиМ(х) плотность распределения умень­шается, и при кривая асимптотически приближается к оси абсцисс.

Площадь под кривой Гаусса равна 1, или 100 % всех значений случайной величины в генеральной совокупности. Так как площадь под кривой всегда должна оста­ваться равной единице, то при увеличении кривая опускается вниз, одно­временно растягиваясь вдоль оси абсцисс. Напротив, при уменьшениикри­вая вытягивается вверх, одновременно сжимаясь с боков.

Между трехсигмовыми границами [М(х)-3; М(х)+3] находится 99,73 % всех измерений, т.е. практически все значения. Только 0,27 % значений лежит за этими границами. Это означает, что при проведении 270 измерений в среднем 1 измерение будет лежать за трехсигмовыми границами. Поэтому, зная стандартное отклонение и математи­ческое ожидание случайной величины, подчиняющейся гауссовскому закону распределения, можно ориентировочно указать интервал ее практически воз­можных минимальных и максимальных значений. И если какое-либо значе­ние появляется за пределами трехсигмового участка, то с большой вероятно­стью его можно считать чисто случайным. Так как вероятность появления такого события очень мала (1/270), то следует считать, что рассматриваемое событие является практически невозможным. Такой способ оценки диапазо­на возможных значений случайной величины известен в математической ста­тистике под названием правила трех сигм.

2 Закон равной вероятности. Он характерен для случайных величин, на которые оказывает влияние резко доминирующий фактор, равномерно изменяющийся в пространстве или во времени (рис. 8а). Описывается следующим уравнением

. (11)

3 Закон равнобедренного треугольника или Симпсона. Этому закону подчиняются случайные величины, на которые оказывают суммарное влияние два резко доминирующих фактора (рис. 8б).

а б

Рисунок 8 – Законы распределения случайных величин:

а – закон Симпсона; б – закон равной вероятности

При аппроксимации тот или иной закон выбирают как из общих соображений о законе распределения, так и исходя из формы изображений эмпирического распределения, которая может помочь в предварительном выборе теоретической кривой распределения. Окончательное заключение о правильности выбора закона распределения случайной величины, делают после определения соответствия экспериментальной и теоретической кривых распределения по одному из критериев согласия, согласно ГОСТ 11.006 – 74 «Прикладная статистика. Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим».