posobie-fa-2015.pdf

УРАЛЬСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ

ПЕРВОГО ПРЕЗИДЕНТА РОССИИ Б. Н. ЕЛЬЦИНА

П.Ю. Глазырина

М.В. Дейкалова

Л.Ф. Коркина

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ

Екатеринбург Издательство Уральского федерального университета

2015

Эту страницу заполнят в редакции

Предисловие

Вучебном пособии собраны задачи по основным разделам линейного функционального анализа (теории нормированных пространств и теории операторов), читаемого студентам математико-механического факультета Уральского федерального университета.

Вначале пособия приведены классические нормированные пространства, изучаемые в курсе функционального анализа. Далее представлено 19 тем, в каждой из которых дана краткая сводка необходимого теоретического материала, а также приведены образцы решения некоторых задач. В теме 18 собраны задачи для итогового контроля, решение которых требует знания предшествующих тем. В конце пособия приведены ответы к задачам и список литературы, использованной при их составлении. Эти же книги могут быть полезны при решении задач.

При составлении пособия были использованы методические разработки по функциональному анализу, составленные в прошлые годы на кафедре математического анализа

итеории функций Уральского государственного университета им. А. М. Горького.

Условные обозначения, принятые в пособии:

-Советуем запомнить

*Советуем обратить внимание

,Окончание решения примера

+Начало формулировки задания, относящегося к нескольким задачам

OЗадача повышенной трудности

Классические пространства

-P – поле вещественных чисел R или поле комплексных чисел C:

-ℓmp (1 6 p < 1) – пространство векторов x = f kgmk=1,k 2 P, наделенное нормой

x = sup j kj:

k2N

* Пространство m будем обозначать также символом ℓ1.

-c – пространство сходящихся последовательностей x = f kg = f kg1k=1, k 2 P, с нормой

x = sup j kj:

k2N

4

-c0 – пространство сходящихся к нулю последовательностей x = f kg = f kg1k=1, k 2 P; с нормой

x = max j kj:

k2N

-s – пространство последовательностей x = f kg = f kg1k=1;k 2 P; с метрикой

-C[a; b] – пространство функций x: [a; b] ! P, непрерывных на [a; b], с нормой

x = max jx(t)j:

t2[a;b]

-Ck[a; b] – пространство функций x: [a; b] ! P, k раз непрерывно дифференцируемых на [a; b], с нормой

∑k

x = max jx(ℓ)(t)j:

t2[a;b]

ℓ=0

- e 6

Lp[a; b] (1 p < 1) – пространство функций x: [a; b] ! P, непрерывных на [a; b], с нормой

(∫ b )1=p

x = jx(t)jp dt :

a

-Пусть E – измеримое по Лебегу подмножество R.

Lp(E) (1 6 p < 1) – пространство измеримых по Лебегу функций x: E ! P таких, что jx(t)jp суммируема на E,

с нормой

(∫ )1=p x = jx(t)jp dt :

E

Функции x и y определяют один и тот же элемент Lp(E), если x(t) = y(t) для почти всех t 2 E, т. е. x и y эквивалентны.

5

- Пусть E – измеримое по Лебегу подмножество R.

L1(E) – пространство измеримых по Лебегу функций

x: E ! P таких, что ess sup jx(t)j < 1, с нормой

t2E

x = ess sup jx(t)j:

t2E

Функции x и y определяют один и тот же элемент L1(E), если x(t) = y(t) для почти всех t 2 E.

Величина ess sup (существенный супремум) функции x на множестве E определяется следующим образом:

В большинстве задач этого пособия E = [a; b].

* m e

Для пространств ℓp , ℓp, Lp[a; b], Lp(E), если в задаче границы для индекса p не указаны явно, задачу нужно решить для всех p, 1 6 p < 1. Нормы в этих пространствах будем часто обозначать p:

Пространство L1(E) будем обозначать также L(E).

- P; j j – поле P с естественной метрикой

j j(x; y) = jx yj:

-X; T – произвольное непустое множество X с тривиальной метрикой

Тема 1. Метрические и линейные нормированные пространства, топология метрических пространств

Определение 1.1. Пусть X – непустое множество. Отображение : X2 ! R называется метрикой на X, если для любых x; y; z 2 X

1)(x; y) = 0 () x = y;

2)(x; y) = (y; x);

3)(x; y) 6 (x; z) + (z; y):

Определение 1.2. Если – метрика на X, то пара X;

называется метрическим пространством.

Определение 1.3. Пусть X – линейное пространство над полем P. Отображение : X ! R называется нормой на X, если для любых x; y 2 X и 2 P

1)x = 0 () x = 0;

2)x = j j x ;

3)x + y 6 x + y :

Определение 1.4. Если – норма на линейном пространстве X, то пара X; называется нормированным пространством.

* Норму в пространстве X иногда будем обозначать X ; метрику – X : Там, где это не вызывает непонимания, вместоX; или X; будем писать метрическое (нормированное) пространство X.

Определение 1.5. Пусть X; – метрическое пространство, a 2 X, r > 0:

3Множество B(a; r) = fx 2 X : (x; a) < rg называется открытым шаром c центром в точке a радиуса r:

7

3Множество B[a; r] = fx 2 X : (x; a) 6 rg называется замкнутым шаром c центром в точке a радиуса r:

3Множество S[a; r] = fx 2 X : (x; a) = rg называется сферой c центром в точке a радиуса r:

Определение 1.6. Пусть X; – метрическое пространство. Последовательность fxng X называется сходящейся, если существует точка x0 2 X такая, что

Определение 1.7. Пусть X; – метрическое пространство, M X:

3Точка x0 2 M называется внутренней точкой множества M, если

9 r > 0 B(x0; r) M:

3 Точка x0 2 X называется предельной точкой множества M, если

()

8 r > 0 M \ B(x0; r) n fx0g ≠ :

◦

* Множество внутренних точек множества M обозначают M и называют внутренностью множества M; множество предельных точек обозначают M′:

Определение 1.8. Пусть X; – метрическое пространство, M X:

8

3Множество M называется ограниченным в X; , если оно содержится в некотором шаре. В частности, множество M называется ограниченным в нормированном пространстве

X; , если

9 r > 0 8 x 2 M x 6 r:

3Множество M называется открытым, если каждая его точка является внутренней точкой этого множества, т. е.

8 x 2 M 9 r > 0 B(x; r) M:

3Множество M называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки, т. е. если M′ M:

3Множество M = M [ M′ называется замыканием множества M:

3Диаметром множества M называется величина

diam M = supf (x; y): x; y 2 Mg:

3Расстоянием от точки x0 2 X до множества M называется величина

(x0; M) = inff (x0; y): y 2 Mg:

Если существует элемент y 2 M такой, что (x0; y) = = (x0; M); то говорят, что расстояние от x0 до M достигается (на элементе y).

3Расстоянием между множествами A; B X называется величина

(A; B) = inff (x; y): x 2 A; y 2 Bg:

Пример 1.1. Доказать замкнутость множества

в пространстве C1[0; 1]:

9

Пример 1.2. Доказать, что множество

{}

M = x 2 ℓ1 : k > 1

открыто в пространстве ℓ1 над полем R.