posobie-fa-2015
.pdfУРАЛЬСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ
ПЕРВОГО ПРЕЗИДЕНТА РОССИИ Б. Н. ЕЛЬЦИНА
П.Ю. Глазырина
М.В. Дейкалова
Л.Ф. Коркина
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ
Екатеринбург Издательство Уральского федерального университета
2015
Эту страницу заполнят в редакции
Предисловие
Вучебном пособии собраны задачи по основным разделам линейного функционального анализа (теории нормированных пространств и теории операторов), читаемого студентам математико-механического факультета Уральского федерального университета.
Вначале пособия приведены классические нормированные пространства, изучаемые в курсе функционального анализа. Далее представлено 19 тем, в каждой из которых дана краткая сводка необходимого теоретического материала, а также приведены образцы решения некоторых задач. В теме 18 собраны задачи для итогового контроля, решение которых требует знания предшествующих тем. В конце пособия приведены ответы к задачам и список литературы, использованной при их составлении. Эти же книги могут быть полезны при решении задач.
При составлении пособия были использованы методические разработки по функциональному анализу, составленные в прошлые годы на кафедре математического анализа
итеории функций Уральского государственного университета им. А. М. Горького.
Условные обозначения, принятые в пособии:
-Советуем запомнить
*Советуем обратить внимание
,Окончание решения примера
+Начало формулировки задания, относящегося к нескольким задачам
OЗадача повышенной трудности
Классические пространства
-P – поле вещественных чисел R или поле комплексных чисел C:
-ℓmp (1 6 p < 1) – пространство векторов x = f kgmk=1,k 2 P, наделенное нормой
x = |
( m j kjp)1=p : |
|
||||
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
- cm – пространство векторов x = f kgkm=1, |
k 2 P, с нормой |
|||||
|
|
x |
|
= max |
: |
|
|
|
16k6m j kj |
|
|
||
* Пространство cm будем обозначать также ℓm . |
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
- ℓp (1 6 p < 1) – пространство последовательностей |
||||||
x = f kg = f kgk1=1, |
|
|
|
|
1 |
j kjp < 1, с нор- |
k 2 P, таких, что |
||||||
|
|
|
|
|
k=1 |
|
мой |
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
( 1 j kjp)1=p : |
|
||
x = |
|
|||||
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
- m – пространство |
ограниченных |
последовательностей |
||||
x = f kg = f kgk1=1, |
k 2 P, с нормой |
|
|
x = sup j kj:
k2N
* Пространство m будем обозначать также символом ℓ1.
-c – пространство сходящихся последовательностей x = f kg = f kg1k=1, k 2 P, с нормой
x = sup j kj:
k2N
4
-c0 – пространство сходящихся к нулю последовательностей x = f kg = f kg1k=1, k 2 P; с нормой
x = max j kj:
k2N
-s – пространство последовательностей x = f kg = f kg1k=1;k 2 P; с метрикой
(x; y) = |
1 |
1 |
|
j k |
|
kj |
|
; y = = 1 ; |
|
: |
∑ |
|
|
j |
|
|
j |
|
|||
|
2k |
k |
k |
f kg f kgk=1 |
k 2 |
P |
||||
|
k=1 |
1 + |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-C[a; b] – пространство функций x: [a; b] ! P, непрерывных на [a; b], с нормой
x = max jx(t)j:
t2[a;b]
-Ck[a; b] – пространство функций x: [a; b] ! P, k раз непрерывно дифференцируемых на [a; b], с нормой
∑k
x = max jx(ℓ)(t)j:
t2[a;b]
ℓ=0
- e 6
Lp[a; b] (1 p < 1) – пространство функций x: [a; b] ! P, непрерывных на [a; b], с нормой
(∫ b )1=p
x = jx(t)jp dt :
a
-Пусть E – измеримое по Лебегу подмножество R.
Lp(E) (1 6 p < 1) – пространство измеримых по Лебегу функций x: E ! P таких, что jx(t)jp суммируема на E,
с нормой
(∫ )1=p x = jx(t)jp dt :
E
Функции x и y определяют один и тот же элемент Lp(E), если x(t) = y(t) для почти всех t 2 E, т. е. x и y эквивалентны.
5
- Пусть E – измеримое по Лебегу подмножество R.
L1(E) – пространство измеримых по Лебегу функций
x: E ! P таких, что ess sup jx(t)j < 1, с нормой
t2E
x = ess sup jx(t)j:
t2E
Функции x и y определяют один и тот же элемент L1(E), если x(t) = y(t) для почти всех t 2 E.
Величина ess sup (существенный супремум) функции x на множестве E определяется следующим образом:
ess sup |
x(t) |
= inf |
M > 0 : mes |
t |
2 |
E : |
j |
x(t) |
> M |
g |
= 0 |
: |
t2E j |
j |
{ |
f |
|
|
j |
|
|
} |
В большинстве задач этого пособия E = [a; b].
* m e
Для пространств ℓp , ℓp, Lp[a; b], Lp(E), если в задаче границы для индекса p не указаны явно, задачу нужно решить для всех p, 1 6 p < 1. Нормы в этих пространствах будем часто обозначать p:
Пространство L1(E) будем обозначать также L(E).
- P; j j – поле P с естественной метрикой
j j(x; y) = jx yj:
-X; T – произвольное непустое множество X с тривиальной метрикой
T (x; y) = |
1; |
x ̸= y; |
{ |
0; |
x = y: |
Тема 1. Метрические и линейные нормированные пространства, топология метрических пространств
Определение 1.1. Пусть X – непустое множество. Отображение : X2 ! R называется метрикой на X, если для любых x; y; z 2 X
1)(x; y) = 0 () x = y;
2)(x; y) = (y; x);
3)(x; y) 6 (x; z) + (z; y):
Определение 1.2. Если – метрика на X, то пара X;
называется метрическим пространством.
Определение 1.3. Пусть X – линейное пространство над полем P. Отображение : X ! R называется нормой на X, если для любых x; y 2 X и 2 P
1)x = 0 () x = 0;
2)x = j j x ;
3)x + y 6 x + y :
Определение 1.4. Если – норма на линейном пространстве X, то пара X; называется нормированным пространством.
* Норму в пространстве X иногда будем обозначать X ; метрику – X : Там, где это не вызывает непонимания, вместоX; или X; будем писать метрическое (нормированное) пространство X.
Определение 1.5. Пусть X; – метрическое пространство, a 2 X, r > 0:
3Множество B(a; r) = fx 2 X : (x; a) < rg называется открытым шаром c центром в точке a радиуса r:
7
3Множество B[a; r] = fx 2 X : (x; a) 6 rg называется замкнутым шаром c центром в точке a радиуса r:
3Множество S[a; r] = fx 2 X : (x; a) = rg называется сферой c центром в точке a радиуса r:
Определение 1.6. Пусть X; – метрическое пространство. Последовательность fxng X называется сходящейся, если существует точка x0 2 X такая, что
|
(xn; x0!) n |
|
0: |
|
|
|
|
|
!1 |
|
|
Точка x0 называется |
пределом |
последовательности fxng. |
|||
В этом случае пишут |
|
|
|
|
|
xn |
|
x0 или |
|
xn |
x0: |
|
|
||||
!n |
!1 |
|
|
!n |
!1 |
|
|
|
|
Определение 1.7. Пусть X; – метрическое пространство, M X:
3Точка x0 2 M называется внутренней точкой множества M, если
9 r > 0 B(x0; r) M:
3 Точка x0 2 X называется предельной точкой множества M, если
()
8 r > 0 M \ B(x0; r) n fx0g ≠ :
◦
* Множество внутренних точек множества M обозначают M и называют внутренностью множества M; множество предельных точек обозначают M′:
Определение 1.8. Пусть X; – метрическое пространство, M X:
8
3Множество M называется ограниченным в X; , если оно содержится в некотором шаре. В частности, множество M называется ограниченным в нормированном пространстве
X; , если
9 r > 0 8 x 2 M x 6 r:
3Множество M называется открытым, если каждая его точка является внутренней точкой этого множества, т. е.
8 x 2 M 9 r > 0 B(x; r) M:
3Множество M называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки, т. е. если M′ M:
3Множество M = M [ M′ называется замыканием множества M:
3Диаметром множества M называется величина
diam M = supf (x; y): x; y 2 Mg:
3Расстоянием от точки x0 2 X до множества M называется величина
(x0; M) = inff (x0; y): y 2 Mg:
Если существует элемент y 2 M такой, что (x0; y) = = (x0; M); то говорят, что расстояние от x0 до M достигается (на элементе y).
3Расстоянием между множествами A; B X называется величина
(A; B) = inff (x; y): x 2 A; y 2 Bg:
Пример 1.1. Доказать замкнутость множества
M = {x 2 C1[0; 1]: x′ ( |
1 |
) = 2} |
|
||
2 |
в пространстве C1[0; 1]:
9
|
|
Решение. Пусть x0 2 M′: Нам предстоит проверить, что |
||||||||||||||||||||||||||||||||
x0′ |
( |
1 |
) = 2: Для всякого " > 0 существует элемент x" ̸= x0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
такой, |
что |
x" |
2 M \ B(x0; "). В |
частности, для "n |
= |
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
(n 2 N) существует xn |
̸= x0 : |
xn |
2 M \ B (x0; |
1 |
) : |
Имеет |
||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
место свойство xn′ |
( |
1 |
) = 2 и справедливы оценки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0′ ( |
2) |
n′ |
|
|
|
|
6 t2[0;1] j |
0 |
|
|
|
n |
j |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||
|
|
x |
(2) |
(t) |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
x |
1 |
|
|
|
max |
|
x |
|
x (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ max |
x0′ (t) |
|
xn′ (t) |
j |
= |
|
x0 |
xn |
|
< |
|
: |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
[0;1] j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
lim x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
x0′ ( |
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= n!1 |
n′ (2) = 2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
т. е. x0 |
2 M: Таким образом, M′ |
M, |
т. е. множество |
M |
||||||||||||||||||||||||||||||
замкнуто. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
Пример 1.2. Доказать, что множество
{}
M = x 2 ℓ1 : k > 1
открыто в пространстве ℓ1 над полем R.
Решение. Пусть x0 = f k0g 2 M: Тогда klim k0 = 0 и |
||||
k0 > 1 для всех k 2 N. Следовательно, |
|
!1 |
||
|
|
|||
9 N 2 N 8 k > N |
k0 > |
1 |
; |
|
|
||||
2 |
||||
а значит |
|
|
|
|
a = inf 0 > |
1: |
|
|
|
k |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|