Определение коэффициента упругости пружины динамическим методом
Этот метод основан на законах колебательного движения груза массой m около положения равновесия. Основной признак колебательного движения – периодичность. Следовательно, смещение x груза из положения равновесия можно записать в виде периодической функции времени:
x = Acos(t + 0),(2.2)где A – амплитуда; = 2/T – циклическая частота, обратно пропорциональная периоду T колебаний; 0 – начальная фаза колебаний.
При смещении x величина силы упругости будет определяться полным удлинением пружины, равным сумме l и x (см. рис. 2.1):
Fyпр = k(l + x). (2.3)Здесь l – удлинение пружины под действием покоящегося груза:
.(2.4)Записав второй закон Ньютона (2.1) в проекциях на ось x (см. рис. 2.1) и учтя выражения (2.3) и (2.4), нетрудно получить дифференциальное уравнение свободных колебаний подвешенного на пружине тела:
,(2.5)где
ax
– проекция
ускорения груза на ось х.
После подстановки
значений
иx
в уравнение
(2.5) получим
m2
= k.(2.6)Зная
циклическую частоту колебаний
и колеблющуюся массу m,
можно определить значение коэффициента
упругости
.
Так как непосредственно измеряется
время, то лучше связать коэффициент
упругости не с частотой, а с периодом
колебаний. Нетрудно показать, что квадрат
периода колебаний груза на пружине
прямо пропорционален его массе и обратно
пропорционален коэффициенту упругости
пружины:
.(2.7)Из последнего равенства видно, что период определяется только свойствами системы (m и k) и не зависит от амплитуды колебаний.
Уравнение (2.7) позволяет графически обработать результаты измерений периода: откладывая по осям соответствующие переменные, можно свести равенство (2.7) к виду y = c + bx и получить при построении графика прямую, по угловому коэффициенту которой можно найти коэффициент упругости k. Подумайте, что следует принять за y, за х, за b, чтобы свести уравнение (2.7) к указанной линейной зависимости.
Выполнение измерений
Поместите на подвеску все 5 грузов, запишите в табл. 2.1 их общую массу с учетом массы подвески.
Нажимая двумя пальцами на верхнюю плоскость груза, оттяните его на любую величину А < l вниз и быстро уберите пальцы вверх.
Выбрав значение N, измерьте время t, за которое груз сделает N полных колебаний, и запишите его в табл. 2.1. Измерения времени с каждым грузом нужно проделать по 3 раза, изменяя число колебаний. Например, N1 = 12, N2 = 20, N3 = 28, или 10, 15, 20 колебаний (по указанию преподавателя).
Подсказка: чтобы сделать три замера, достаточно запустить колебания один раз, потому что период колебаний не зависит от амплитуды, которая постепенно уменьшается вследствие затухания колебаний.
Таблица 2.1
|
NtTT T 2 № п.п. | |||||||||||||
|
m |
1
|
… |
… … … |
… … … |
… … … |
… |
… | ||||||
|
|
2
|
… |
… … … |
… … … |
… … … |
… |
… | ||||||
|
|
…
|
… |
… … … |
… … … |
… … … |
… |
… | ||||||
|
5 |
… |
… … … |
… … … |
… … … |
… |
… | |||||||
Снимите верхний груз и проведите такие же измерения, сохраняя выбранные значения числа колебаний.
Снимите ещё один груз, проведите измерения с тремя оставшимися, затем с двумя и, наконец, с одним, самым тяжёлым грузом. Все показания секундомера и массы грузов запишите в табл. 2.1.