Lektsii_3_semestra_po_algebre

Доказательство. Ясно, что ( ; )G является полутралинейной формой на пространстве CG. Нам нужно только проверить положительную определенность.

Действительно,

если ≠ 0.

СВОЙСТВО ОРТОГОНАЛЬНОСТИ ХАРАКТЕРОВ

Теорема 1. Пусть φ; — неприводимые комплексные представления конечной группы G. Тогда

7

Однако по ( )

Значит, слагаемые, у которых i ≠ j, будут равны нулю, поэтому вся сумма будет иметь вид

Положим в нем i0 = i, j0 = j и просуммируем по i и j, после чего получим

8

Следствие 2. Пусть

V= V1 Vk

—разложение комплексного пространства V представления φ (группы G) в прямую сумму неприводимых представлений с пространства-

ми V1, . . . , Vk.

Если W — какое-то пространство неприводимого представления , то число слагаемых в разложении V , изоморфных W , равно

( V ; W )G

и не зависит от способа разложения (кратность вхождения W в пространство V ).

Два представления с одним и тем же характером изоморфны.

Доказательство. Как мы отмечали выше,

V = V1 + + Vk ;

поэтому

( V ; W )G = ( V1 ; W )G + + ( Vk ; W )G:

По только что доказанной теореме справа стоит сумма единиц и нулей, причем число единиц совпадает с числом подпространств Vi, изоморфных W .

Но скалярное произведение слева ( V ; W )G вообще не зависит от какого-либо разложения, так что мы уже доказали инвариантность кратности вхождения W в пространство V .

Два пространства V , V ′ представлений группы G с одним и тем же характером = V = V ′ содержат в своих разложениях любое слагаемое, изоморфное данному неприводимому представлению с пространством W , одинаковое число раз, а именно ( ; W )G.

Поэтому в разложениях

1 i k. Следовательно, изоморфны и сами пространства V:V ′.

9

РЕГУЛЯРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ

Определение 3. Регулярным представлением конечной группы G = fg1; : : : ; gng называется n-мерное представление, в котором φ(gi)ek = el, если gigk = gl.

Упражнение 1. Найдите регулярное представление групп Z3, V4.

10

ЛЕКЦИЯ 20

КОЛИЧЕСТВО НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

СУММА КВАДРАТОВ РАЗМЕРНОСТЕЙ

ПРИМЕРЫ

1

КОЛИЧЕСТВО НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

Лемма 1. Пусть — центральная функция на конечной группе G, φ : G ! GL (V ) — неприводимое комлексное представление с характером φ.

Доказательство. Так как — центральная функция, то

∑

φ(g)φ φ(g) 1 = (h)φ(g)φ(h)φ(g 1) =

Итак, φ φ(g) = φ(g)φ для всех g 2 G. Лемма Шура, примененная к случаю = φ , показывает, что φ = E.

Вычисляя след операторов, стоящих в обеих частях этого равенства, находим

φ(e) = dim V = tr E = tr φ =

∑

=(h) tr φ(h) =

h2G

2

Предложение 1. Характеры 1; : : : ; s всех попарно неэквивалентных неприводимых комплексных представлений конечной группы G образуют ортонормированный базис пространства всех центральных функций из G в C.

Доказательство. Как мы уже знаем, система характеров

1; : : : ; s

ортонормирована, и ее можно включить в ортонормированный базис пространства центральных функций XC(G). Пусть — произвольная центральная функция, ортогональная ко всем i:

( i; )G = 0:

Тогда по предыдущей лемме линейный оператор φ(i), отвечающий представлению φ(i) с характером i, равен нулю.

По теореме Машке всякое комплексное представление φ можно разложить в прямую сумму

φ = m1φ(1) + + msφ(s)

неприводимых представлений с некоторыми кратностями m1; : : : ; ms. В

В частности, это относится к линейному оператору , где — регулярное представление.

Но в таком случае будем иметь (обозначая временно единичный элемент группы G символом 1, чтобы избежать сочетания ee)

∑∑

Это верно при любом h 2 G, поэтому = 0 и, следовательно, = 0.

3

Теорема 1. Число неприводимых попарно неэквивалентных комплексных представлений конечной группы G равно числу ее классов сопряженных элементов.

Доказательство. Число классов сопряженности группы G можно интерпретировать как размерность пространства XC(G) всех центральных функций на группе G. Так как характеры различных неприводимых представлений образуют базис этого пространства, то их ровно искомое число.

РАЗМЕРНОСТИ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

Теорема 2. Каждое неприводимое представление φi входит в разложение регулярного представления с кратностью, равной его размерности ni. Порядок jGj и размерности n1; : : : ; nr всех ее неприводимых представлений связаны соотношением

∑r

n2i = jGj:

i=1

Доказательство. Для доказательства рассмотрим более подробно регулярное представление, введенное в пролой лекции.

Обозначим его через

( ; eg j g 2 G C):

Обозначим через Rh матрицу линейного оператора (h) в данном базисе feg j g 2 Gg.

Так как (h)eg = ehg, то все диагональные элементы матрицы Rh при h ≠ e равны нулю и tr Rh = 0.

4

Таким образом,

(e) = jGj; (h) = 0 при h ≠ e:

Пусть теперь (φ; V ) — произвольное неприводимое представление группы G над C. Как мы помним, кратность вхождения φ в равна скалярному произведению ( φ; )G:

Таким образом, мы видим, что каждое неприводимое представление входит в регулярное с кратностью, равное своей размерности.

По предыдущей теореме имеется r попарно неэквивалентных неприводимых представлений

φ1; : : : ; φr

(r — число классов сопряженности группы G), которым соответствуют характеры

1; : : : ; r

размерностей

n1; : : : ; nr:

Таким образом, мы доказали, что

= n1φ1 + + nrφr;

откуда

= n1 1 + + nr r:

В частности,

jGj = (e) = n1 1(e) + + nr r(e) = n21 + + n2r:

ПРИМЕРЫ

5

Пример 1. Найдем все неприводимые комплексные представления группы диэдра Dn.

Для начала найдем все одномерные представления.

Коммутант группы Dn — это подгруппа, порожденная поворотом a для нечетного n, и пдогруппа, порожденная поворотом a2, — для четного n.

Таким образом, для нечетных n фактор-группа по коммутанту изоморфна Z2, поэтому одномерных представлений ровно два: единичное (все элементы Dn отображаются в единицу) и такое, что повороты отображаются в единицу, а отражения — в 1.

Для четных n фактор-группа по коммутанту изоморфна группе V4.

Теперь построим двухмерное неприводимое представление группы

Dn.

Поворот a переведем в матрицу

()

где 1 — это некоторый корень из единицы n-й степени (не равный 1 или 1).

Отражение b переведем в матрицу

()

Тогда полученное отображение

φ : Dn ! GL 2(C)

6