Lektsii_3_semestra_po_algebre

является представлением, так как все соотношения на элементы a и b выполняются для образов этих элементов.

Заметим, что мы получили не одно представление, а целый класс представлений:

— если n нечетно, то мы таким способом получим (n 1)=2 не эквивалентных друг другу неприводимых двухмерных представлений (так как для двух не равных друг другу и не обратных друг другу корней n-й степени из единицы 1, 2 следы соответствующих матриц различны —

1 + 1= 1 ≠ 2 + 1= 2);

— если n четно, то получим (n 2)=2 не экививалентных друг другу неприводимых двухмерных представлений (так как представления, для которых = 1 или 1, приводимы).

Сумма квадратов размерностей всех найденных представлений равна порядку группы: для четного n = 2k мы имеем 4 одномерных представления и k 2 двухмерных; для нечетного n = 2k + 1 мы имеем два одмерных представления и k двухмерных.

Значит, мы нашли все неприводимые представления группы Dn.

Пример 2. Теперь найдем все неприводимые представления группы подстановок S4.

Как мы уже знаем (так как коммутант S4 — это подгруппа A4 индекса два), что у группы S4 ровно два одномерных представления: единичное и представление “знак” (четные подставновки переходят в единицу, а нечетные — в 1.

У группы S4 пять классов сопряженных элементов, поэтому у данной группы ест три неприводимых представления размерности, большей одного. С другой стороны, размерности n1; n2; n3 этих представлений удовлетворяют соотношению

n21 + n22 + n23 = 22:

Ясно, что мы должны найти два трехмерных и одно двухмерное представление.

7

Двухмерное представление можно построить из следующего общего соображения.

Представим себе, что есть группа G, а у нее имеется нормальная подгруппа H.

Рассмотрим фактор-группу G1 = G=H.

Любое неприводимое представление группы G1 естественным образом достраивается до неприводимого представления группы G той же размерности: весь смежный класс gH в представлении группы G переходит туда же, куда в исходном представлении группы G′ переходил этот же класс как элемент.

Таким образом, у группы S4 есть представление, продолженное из ее

У группы S3 есть два одномерных представления (которые нам уже не нужны, так как мы их рассмотрели выше), а также одно двухмерное

представление (описанное в предыдущем примере, так как S D ).

3 = 3

Это представление и будет продолжено до двухмерного представления группы S4.

Чтобы найти первое из трехмерных представлений S4, вспомним, что S4 — это группа всех движений правильного тетраэдра.

Так как тетраэдр — трехмерная фигура, то движения записываются трехмерными матрицами, откуда следует, что мы получаем трехмерное представление группы S4.

Остается только показать, что данное представление неприводимо. Действительно, если бы оно было приводимо, то было бы и вполне

приводимо, то есть разложилось бы на два представления: двухмерное и одномерное. Это означает, что у представления существовала бы собственная прямая.

Однако у поворота вокруг оси, проходящей через вершину A тетраэдра ABCD, перпендикулярно плоскости BCD, инвариантна только эта ось, а у поворота вокруг оси, проходящей через B перпендикулярно

8

плоскости ACD, единственная собственная прямая — это именно такая ось. Данные прямые не совпадают, откуда следует, что представление неприводимо.

Второе трехмерное неприводимое представление можно получить из того, что S4 изоморфно группе собственных движений куба. Данное представление неприводимо и тех же самых соображений, что и в предыдущем случае, при этом оно не может быть эквивалентно предыдущему представлению, так как все матрицы, ему соответствующие, обязательно имеют определитель 1 (так как являются собственными движениями), а при движениях тетраэдра возникают отражения, являющиеся несобственными движениями и имеющими определитель 1.

Упражнение 1. Пусть даны две конечные группы G1 и G2, для которых известны все их неприводимые представления. Как найти все неприводимые представления группы G1 G2?

9

ЛЕКЦИЯ 21

ГРУППОВЫЕ АЛГЕБРЫ

РАСШИРЕНИЯ ГАЛУА

1

ГРУППОВЫЕ АЛГЕБРЫ

Пусть K — поле, G — группа.

Рассмотрим множество K[G] всевозможных формальных сумм

∑

gg; g 2 K:

g

По определению

∑∑

gg = gg () g = g 8g 2 G:

gg

Введем операции над рассматриваемыми формальными суммами

∑ ∑ ∑

Такие операции задают на K[G] структуру ассоциативной алгебры. Данную алгебру называют групповой алгеброй группы G над полем K. Базисными элементами пространства K[G] служат формальные про-

изведения 1 g, g 2 G, то есть данная алгебра имеет размерность

dimK K[G] = jGj:

Теорема 1. Существует взаимно однозначное соответствие между K[G]-модулями, являющимися конечномерными векторными пространствами над K, и линейными представлениями группы G.

2

Доказательство. Пусть φ — представление группы G в пространстве V . Продолжим φ по линейности на элементы из K[G], определяя

(∑ ) ∑

φe gg = gφ(g);

и положим (∑ ) ∑

gg v = gφ(g)v для всех v 2 V:

Данная операция вводит на V структуру K[G]-модуля в обычном понимании этого слова.

Заметим, что

(∑ ) ∑ ∑

gg ( v) = gφ(g)( g) = g φ(g)v =

(∑ ) ((∑ ) )

= gφ(g)v = gg v ;

т.е. умножение на скаляры в V и в K[G] согласованы.

нам представление группы G.

В соответствии с этой теоремой пространство представления V группы G часто называют модулем представления группы G или, коротко, G-модулем.

3

В этих терминах инвариантному подпространству U G-модуля V соответствует подмодуль модуля V .

Значит, неприводимому представлению соответствуют простые G-модули.

Прямым суммам представлений — прямые суммы модулей.

Вполне приводимый модуль — это тот, который раскладывается в прямую сумму простых подмодулей.

Лемма Шура в этой терминологии утверждает, что кольцо эндоморфизмов простого C[G]-модуля изоморфно полю C.

Теорема Машке утверждает, что при определенных условиях любой K[G]-модуль раскладывается в прямую сумму простых подмодулей.

РАСШИРЕНИЯ ГАЛУА

Для того, чтобы ввести основные понятия теории Галуа, нам понадобятся некоторые пройденные знания о группах и о расширениях полей.

Если говорить более конкретно, мы будем опираться на два пройденных раньше предложения.

Предложение 1 (повторение). Любое конечномерное расширение поля K — алгебраическое. Это расширение является цепочкой некоторых простых алгебраических расширений.

4

Предложение 2 (повторение). Пусть P ( ) — расширение поля P , полученное присоединением корня неприводимого многочлена h 2 P [x], и φ — гомоморфизм поля P в некоторое поле F .

Тогда гомоморфизм φ продолжается до гомоморфизма : P ( ) ! F ровно столькими способами, сколько различных корней имеет в F многочлен φ(h), полученный из h применением к его коэффициентам гомоморфизма φ.

Определение 1. Пусть L — конечномерное расширение поля K, dimK L = n. Группа автоморфизмов

Aut KL

— это автоморфизмы поля L, действующие на K тождественно. Если

G Aut KL;

обозначим через LG подмножество L, состоящее из всех элементов L, инвариантных относительно G (не сдвигающихся при автоморфизмах из G).

Лемма 1. Множество LG является полем.

Доказательство. Очевидная проверка.

Предложение 3. Имеет место

j Aut KLj n:

Если jGj = n (то есть G = Aut KL), то LG = K.

5

Доказательство. Пусть расширение L поля K есть последовательность l простых расширений K = L0 L1 Ll 1 Ll = L, где dim Li=Li 1 = mi. Тогда n = m1 : : : ml. При каждом из расширений автоморфизм (уже продолженный на Li) может продолжиться на Li+1 не более чем mi+1 способами. Таким образом, всего способов продолжить тождественный автоморфизм на K на поле L — не более n.

jGj dimLG L dimK L = n:

Если же jGj = j Aut KLj = n, то поле L является расширением поля LG K, при этом размерность L над LG не меньше порядка G, т.е. не меньше n. С другой стороны, эта размерность не больше n, так как K содержится в LG.

Значит,

dimLG L = dimK L;

откуда

LG = K:

Предложение 4. Если LG = K, то для любых полей P и Q таких, что

K P Q L;

всякий гомоморфизм

φ : P ! L

над K продолжается до гомоморфизма

: Q ! L

ровно dimP Q способами.

6

Доказательство. Пусть LG = K. Для любого элемента 2 L пусть

f 1; : : : ; mg

—его G-орбита. Тогда

∏m

f = (x i) 2 LG[x] = K[x]

i=1

есть минимальный многочлен элемента над K.

Действительно, любом автоморфизм g 2 G индуцирует перестановку корней этого многочлена, которая не меняет сам многочлен, поэтому коэффициенты многочлена f не меняются ни от одного автоморфизма g 2 G. Так как LG = K, то f 2 K[x].

С другой стороны, если существовал бы многочлен h(x) 2 K[x] меньшей степени и содержащий в качестве корня, то все элементы вида g , g 2 G также должны были являться его корнями.

Значит, f(x) — минимальный многочлен элемента над K.

По построению он разлагается на различные линейные множители в

L[x].

Докажем теперь утверждение предложения.

Ясно, что можно доказывать это утверждение для простого расширения от P к Q, Q = P ( ).

Пусть h — минимальный многочлен элемента над P .

Тогда h делит минимальный многочлен f элемента над K в кольце

P [x].

Следовательно, φ(h)jf в кольце φ(P [x]) (так как φ(f) = f). Значит, он разлагается на различные линейные множители в L[x].

По предложению 2 гомоморфизм φ продолжается до гомоморфизма : Q ! L ровно deg h = dimP Q способами.

Предложение 5. Если LG = K, то j Aut KLj = n.

7