Lektsii_3_semestra_po_algebre

Покажем, что

что и приводит к искомому равенству.

Теперь положим

W = G(V ) = f Gv j v 2 V g:

Благодаря соотношению

φ(g) G = Gφ(g)

имеем

φ(g)w = φ(g) Gv = Gφ(g)v = Gv′ = w′ 2 W

для всякого w 2 W , так что векторное подпространство W V также является φ-инвариантным подпространством.

Осталось показать, что V = U W — прямая сумма подпространств.

Так как

φ(h 1)v φ(h 1)v 2 U;

то

v φ(h) φ(h 1)v =

= φ(h) (φ(h 1)v φ(h 1)v) 2 φ(h)U = U

(применяем инвариантность U).

5

и мы получаем

v = u + w; где w = Gv 2 W;

т.е.

V = U + W:

Осталось доказать, что

U \ W = 0:

Так как

φ(h 1)U U ) φ(h 1)U = 0 )

) φ(h) φ(h 1)U = 0 ) G(U) = 0;

откуда следует

v Gv = u 2 U ) G(v Gv) = 0;

поэтому Gv = 2Gv для всех v 2 V . Это значит, что G — проектирование

на W вдоль U:

G(U) = 0; 2G = G:

Пусть теперь

v 2 U \ W;

тогда Gv = 0, поскольку v 2 U, и v = Gv′, поскольку v 2 G(V ) = W . Используя предыдущие соотношения, получаем

0 = Gv = G( Gv′) = 2Gv′ = Gv′ = v;

откуда следует, что

U \ W = 0:

6

Однозначности разложения на неприводимые компоненты, конечно же, не будет.

Например, если φ(g) — единичный оператор для всех g 2 G, то любое прямое разложение пространства V в сумму одномерных подпространств будет разложением на неприводимые компоненты, а таких разложений бесконечно много.

Однако если мы сгруппируем все изоморфные неприводимые компоненты:

V = U1 Us;

где

U1 = V1 V1 = n1V1;

: : : : : : : : : : : :

Us = V1 Vs = nsVs;

то такое разложение уже будет иметь однозначный вид (докажем это позже).

Замечание 1. Почти один и тот же пример демонстрирует, что теорема Машке перестает быть верной, если либо группа G бесконечна, либо характеристика поля делит порядок группы.

Именно, рассмотрим группу G = Z и ее двухмерное представление

()

1 n

n 7! 0 1 :

Мы уже упоминали выше, что оно приводимо, но не вполне приводимо.

Теперь рассмотрим поле характеристики p и группу G = Zp с пред-

Оно также является приводимым, но не вполне приводимым.

7

ЛЕММА ШУРА

Теорема 3 (лемма Шура). Пусть

φ: G ! GL (V ) и : G ! GL (W )

—два неприводимых представления группы G,

: V ! W

—линейное отображение такое, что

(g) = φ(g) 8g 2 G:

Тогда

а) если представления φ и не эквивалентны, то = 0;

б) если V = W , φ = , представления комплексны, то = E.

Доказательство. а) Если представления φ и не эквивалентны, то — не изоморфизм.

1. Пусть у есть ненулевое ядро U V . Тогда для любого u 2 U(u) = 0. Рассмотрим φ(g)u = u′. Так как

u′ = φ(g)u = (g) u = 0;

то φ(g)u 2 U. Значит, U — инвариантное подпространство.

Таким образом, ядро может быть ненулевым только при = 0.

2. Пусть образ не совпадает со всем W . Обозначим этот образ через U W , пусть u 2 U. Тогда

(g)u = (g) u′ = (φ(g)u′) 2 U:

Таким образом, U — инвариантное подпространство.

б) То же самое, но надо вычесть E, где — собственное значение для .

8

ЛЕКЦИЯ 19

СЛЕДСТВИЯ ЛЕММЫ ШУРА

ХАРАКТЕРЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ ХАРАКТЕРОВ

РЕГУЛЯРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ

1

СЛЕДСТВИЯ ЛЕММЫ ШУРА

Предложение 1. Пусть φ : G ! GL (V ) и : G ! GL (W ) — два неприводимых комплексных представления конечной группы G порядка jGj и : V ! W — произвольное линейное отображение.

Тогда усредненное отображение

~ = 1 ∑ (g) φ(g) 1 jGj

g2G

обладает следующими свойствами:

а) если φ и не эквивалентны, то e = 0; б) если V = W , φ = , то ~ = E, = dimtr V .

Доказательство. Нужно лишь проверить, что отображение ~ удовлетворяет условиями леммы Шура:

По лемме Шура вытекают сразу оба утверждение, причем уточнение по поводу константы следует из соотношений

2

Нам понадобится матричная формулировка этого предложения. Выберем в пространствах V , W какие-нибудь базисы:

V = ei j i 2 I ; W = fj j j 2 J :

Отождествим наши отображения φ и с соответствующими матрицами в заданных базисах:

Заметим, что отображение : V ! W в предложении совершенно произвольно. Например, мы можем взять

ji = 0 при (j; i) ≠ (j0; i0); j0;i0 = 1:

Тогда первому утверждению предложения будет отвечать соотношение

Теперь пусть V = W , φ = .

Следствие 1. В матричной формулировке пункта (б) предыдущего предложения выполнено соотношение

3

Доказательство. Так как в предыдущей задаче было произвольным эндоморфизмом пространства V , то снова выберем = Ej0;i0 . Тогда

g2G

ХАРАКТЕРЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

Определение 1. Характером произвольного комплексного конечномерного линейного представления φ : G ! GL (V ) группы G называется функция

φ : G ! C;

определенная соотношением

φ(g) = tr φ(g); g 2 G:

Лемма 1. Характеры эквивалентных представлений совпадают.

4

Доказательство. Это утверждение совершенно очевидно, так как следы сопряженных матриц совпадают:

tr (ABA 1) = tr ((AB)(A 1)) = tr (A 1AB) = tr B:

Предложение 2. Пусть φ — характер комплексного линейного представления φ : G ! GL (V ). Тогда

а) φ(e) = dim V ;

б) φ(hgh 1) = φ(g) для всех g; h 2 G;

в) φ(g 1) = φ(g) для любого элемента g 2 G конечного порядка;

г) прямой сумме φ = φ1 φ2 представлений отвечает характер

φ = φ1 + φ2 .

Доказательство. а) Единичный элемент группы G всегда отображается в единичную матрицу, след которой равен размерности пространства.

б) Также следует из того, что у сопряженных матриц след совпадает.

в) Если элемент g 2 G имеет конечный порядок, то φ(g) обязательно диагонализируем, так как его жорданова нормальная форма не может содержать жордановых клеток размера, большего одного:

то есть ни одна степень этой клетки не будет единичной матрицей, так как на месте (1; 2) у нее всегда будет стоять ненулевой элемент n n 1.

5

Если матрица φ(g) диагонализируема, то можно считать, что она диагональна. При это на диагонали стоят корни n-ой степени из 1, т.е. числа вида

cos + i sin :

Обратные элементы имеют вид

cos i sin = cos + i sin :

Таким образом, если

φ(g) = ADA 1; D = diag [z1; : : : ; zm];

то

φ(g 1) = φ(g) 1 = AD 1A 1 = ADA 1:

Тогда ясно, что φ(g 1) = φ(g).

г) Очевидно.

Определение 2. Пространство CG — это множество всех функций из группы G в поле C, снабженное структурой векторного пространства. Функция их CG называется центральной, если она постоянна на сопряженных классах группы G.

Лемма 2. Если группа G конечна, то скалярное произведение

превращает CG в эрмитово пространство.

6