Lektsii_3_semestra_po_algebre

Пример 2. Группа SL n(F) имеет n-мерное точное представление над полем F, при котором каждая матрица переходит тождественно в себя.

Пример 3. Произвольная конечная циклическая группа Zn имеет ровно n разных комплексных одномерных представлений: образующий переходит в корень n-й степени из единицы.

Пример 4. Построим двухмерное точное представление группы кватернионов Q8:

()

НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

Определение 2. Пусть φ : G ! GL (V ) — некоторое конечномерное представление группы G. Подпространство U пространства V называется инвариантным для представления φ, если для любого g 2 G подпространство U является инвариантным для оператора φ(g).

5

Пример 5. Если рассматривать представление их первого примера (представление группы Sn мономиальными матрицами), то инвариантным подпространством является прямая, натянутая на вектор e1 + e2 + + en. Действительно, так образ любой подстановки 2 Sn переставляет базисные векторы соответственно данной подстановке, то

φ( )(e1 + + en) = e (1) + + e (n) =

= e1 + e2 + + en:

Пример 6. Рассмотрим теперь представление группы Q8 из четвертого примера.

Предположим, что у этого представления есть нетривиальное (не равное 0 и всему пространству V ) представление. Так как все представление двухмерно, то данное инвариантное пространство должно быть одномерно, то есть его векторы — собственные для всех образов φ(g), g 2 Q8.

У оператора φ(i) = diag [i; i] собственные прямые — это только e1 и e2 . Однако обе эти прямые не являются инвариантными для опера-

тора ( )

0 1 φ(j) = 1 0 :

Значит, у данного представления есть только тривиальные инвариантные подпространства.

Определение 3. Если у представления φ : G ! GL (V ) есть нетривиальное инвариантное подпространство, то оно называется приводимым. В противном случае представление φ называется неприводимым. Представление называется вполне приводимым, если пространство V раскладывается в прямую сумму инвариантных относительно φ подпространств, на которых φ является неприводимым (т. е. представление φ является прямой суммой неприводимых представлений).

6

Пример 7. Любое одномерное представление группы неприводимо. Как мы видели выше, приведенное двухмерное представление группы Q8 неприводимо.

Примером приводимого представления может служить двухмерное представление группы целых чисел Z, при котором

()

1 n

n 7! 0 1 :

Вполне приводимое представление группы Z4:

Определение 4. Два линейных представления

φ : G ! GL n(K) и : G ! GL n(K)

называются эквивалентными (изоморфными, подобными), если существует невырожденное линейное отображение C 2 GL n(K) такое, что

φ ◦ A = A ◦ :

Предложение 2. Отношение эквивалентности представлений действительно является отношением эквивалентности.

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП

7

Предложение 3. Если группа G абелева, а поле F алгебраически замкнуто, то неприводимыми над F представлениями группы G являются только одномерные представления.

Доказательство. Так как группа G абелева, то все операторы φ(g), g 2 G коммутируют.

Однако множество коммутирующих операторов всегда имеет общий собственный вектор, то есть у данного представления (если оно не одномерно) есть собственная инвариантная прямая.

Таким образом, лишь одномерные представления могут быть неприводмы.

На всякий случай напомним, как доказывается, что у множества коммутирующих операторов есть общий собственный вектор.

Если два оператора A и B коммутируют, поле F алгебраически замкнуто, рассмотрим некоторое собственное подпространство V A оператора A с собственным значением .

Рассмотрим некоторый вектор v 2 V A.

Тогда

BA(v) = B( v) = B(v) = A(B(v)):

Таким образом,

B(v) 2 V A;

то есть подпространство V A — инвариантно и для оператора B. Значит, у оператора B на этом подпространстве есть собственный

вектор u, который автоматически окажется собственный и для A.

Для произвольного множества векторов доказательство аналогично.

8

Пример 8. Над полем R действительных чисел утверждение предыдущего предложения не будет выполняться: у абелевой группы Zn (n > 2) можно рассмотреть двухмерное представление, при котором

Это представление, очевидно, будет неприводимо.

Опишем теперь все неэквивалентные неприводимые представления конечно порожденной абелевой группы A над полем комплексных чисел.

Как мы уже знаем, все они одномерны.

При этом группа A раскладывается в прямую сумму конечных и бесконечных циклических групп.

Пусть, для определенности,

A = kZ Zn1 Znm:

Обозначим образующие бесконечных циклических групп через a1; : : : ; ak, а образующие групп Zn1 , . . . , Znm — через b1; : : : ; bm.

Понятно, что нам требуется построить все различные гомоморфизмы из группы A в группу C .

Для этого нужно задать гомоморфизм на образующих. Образующие a1; : : : ; ak переводятся в произвольные элементы груп-

пы C , а элементы b1; : : : ; bm должны при гомоморфизме переходить в корни их единицы степеней n1; : : : ; nm, соответственно (ni вариантов для каждого bi).

Далее отображение однозначно продолжается до гомоморфизма.

Заметим в скобках, что если группа A была конечна, то у нее будет ровно jAj различных комплексных неприводимых представлений.

Лемма 2. Для любого одномерного представления φ группы G (над произвольным полем) коммутант группы G содержится в ядре φ.

9

Доказательство. Так как группа C абелева, то одномерное представление группы G — это гомоморфизм из некоторой группы в абелеву группу. Как мы знаем, в этом случае ядро гомоморфизма содержит коммутант.

Таким образом, чтобы построить все одномерные представления группы G, нужно рассмотреть группу A — фактор группы G по ее коммутанту и построить все одномерные представления этой абелевой группы, что мы уже умеем делать.

10

ЛЕКЦИЯ 18

УНИТАРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

ТЕОРЕМА МАШКЕ

ЛЕММА ШУРА

1

УНИТАРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

Определение 1. Квадратная комплексная матрица A называется унитарной, если AA = E, где A = AT . Представление φ : G ! GL n(C) называется унитарным, если для любого элемента g 2 G матрица φ(g) унитарна.

Предложение 1. Пусть на пространстве V = Cn представления φ : G ! GL (V ) конечной группы G задана некоторая эрмитова (полуторалинейная положительно определенная) форма (u; v). Рассмотрим форму (ujv), получающуюся из (u; v) “усреднением” по G:

∑

(ujv) := jGj 1 (φ(g)u; φ(g)v):

g2G

Тогда форма (ujv) также является эрмитовой.

Доказательство. Очевидно, что данная форма полуторалинейна. Докажем ее положительную определенность. Действительно,

∑

(uju) = jGj 1 (φ(g)u; φ(g)u) > 0:

g2G

Предложение 2. Всякое линейное комплексное представление конечной группы эквивалентно унитарному представлению.

2

Доказательство. Рассмотрим на пространстве V представления φ форму из предыдущего предложения. Нам нужно только доказать, что каждая матрица φ(g), g 2 G, унитарна. Унитарная матрица — это такая, которая сохраняет длины векторов в комплексном пространстве, поэтому нам нужно доказать, что матрица φ(g) сохраняет длину любого вектора, т. е. сохраняет его скалярный квадрат. Иначе говоря,

(φ(g0)ujφ(g0)u) = (uju):

Действительно,

∑

(φ(g0)ujφ(g0)u) = jGj 1 (φ(g)φ(g0)u; φ(g)φ(g0)u) =

ТЕОРЕМА МАШКЕ

Теорема 1 (теорема Машке, легкий вариант). Каждое линейное комплексное представление конечной группы G вполне приводимо.

Доказательство. Пусть у пространства V представления φ есть инвариантное подпространство U. Благодаря предыдущему предложению мы можем считать представление унитарным. Тогда рассмотрим подпространство U?.

Из курса линейной алгебры мы знаем, что

V = U U?:

3

Значит, нам остается только доказать, что U? также инвариантно. Пусть v 2 U?, тогда (ujv) = 0 для всех u 2 U. Рассмотрим u 2 U и

(ujφ(g)v) = (φ(g 1)ujv) = 0:

Значит, φ(g)v ортогонально любому u 2 U, т.е. φ(g)v 2 U?. Таким образом, U? инвариантно.

Далее мы можем естественным образом воспользоваться индукцией по размерности пространства представления.

Теорема 2 (теорема Машке, общий случай). Каждое линейное представление конечной группы G над полем K характеристики, не делящей jGj (в частности, нулевой), вполне приводимо.

Доказательство. Пусть U — инвариантное относительно φ подпространство во всем пространстве представления V .

Рассмотрим прямую сумму

V = U U′;

где U′ — произвольным образом выбранное дополнение к U. Вообще говоря, U′ не является φ-инвариантным.

Возьмем оператор проектирования : V ! U′, определенный соотношением

v = u

для всякого вектора v = u + u′. Имеем

v v 2 U; (U) = 0; 2 = :

Возьмем теперь “усредненный” линейный операто

G = 1 ∑φ(h) φ(h 1) jGj

h2G

(деление на jGj по условию возможно).

4