Lektsii_3_semestra_po_algebre

Доказательство. Предположим, что у конечного поля F из q = pn элементов мультипликативная группа не является циклической.

F — это абелева группа. Если она не является циклической, то существует число s < q 1 такое, что zs = 1 для любого z 2 F .

Это означает, что все элементы поля F являются корнями многочлена

xs+1 x:

Таким образом, у многочлена степени < q есть q корней, что невозможно.

АЛГЕБРЫ И АЛГЕБРЫ С ДЕЛЕНИЕМ

Определение 1. Алгеброй над полем K называется множество A с операциями сложения, умножения и умножения на элементв поля K, обладающими следующими свойствами:

1)относительно сложения и умножения на элементы поля A является векторным пространством;

2)относительно сложения и умножения A есть кольцо;

3)( a)b = a( b) = (ab) для любых 2 K, a; b 2 A.

Пример 1. Всякое расширение L поля K является алгеброй над K.

Множество функций F(X; K) функций на множестве X со значениями в поле K является алгеброй над K относительно обычных операций сложения и умножения функций и умножения функции на число. Эта алгебра коммутативна, ассоциативна и обладает единицей (тождественно равная единице функция).

Кольцо квадратных матриц над полем является алгеброй над этим полем.

4

Определение 2. Ассоциативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент имеет обратный, называется телом. Алгебра, являющаяся телом, называется алгеброй с делением.

Всякое тело D можно рассматривать как алгебру с делением над своим центром

Z(D) := fz 2 D j 8a 2 D za = azg;

который, очевидно, является полем.

Если D — алгебра с делением над полем K, 1 — ее единица, то элементы вида 1, 2 K, образуют подкольцо, изоморфное K и содержащееся в центре Z(D) алгебры D.

Обычно эти элементы отождествляют с соответствующими элементами поля K. При таком соглашении K Z(D). Алгебра называется центральной, если она совпадает со своим центром.

АЛГЕБРА КВАТЕРНИОНОВ

Алгебра кватернионов H была открыта Гамильтоном в 1843 г.

Она порождается над R элементами i и j, удовлетворяющими соот-

ношениям

i2 = 1; j2 = 1; ij = ji:

Легко видеть, что базис алгебры H над R составляют элементы

1; i; j; k = ij;

причем элементы i; j; k попарно антикоммутируют, их квадраты равны

1.

Покажем, что алгебра кватернионов является алгеброй с делением.

5

Для этого для любого кватерниона

q = a + bi + cj + dk; a; b; c; d 2 R

определим сопряженный кватернион по формуле

q = a bi cj dk:

Легко видеть, что отображение q 7!q, которое называется стандартной инволюцией, является антиавтоморфизмом алгебры H:

q1q2 = q1 q2

(по линейности достаточно проверить это равенство на базисных элементах).

Число

N(q) = qq = a2 + b2 + c2 + d2 2 R

называется нормой кватерниона q.

Ясно, что q обратим тогда и только тогда, когда N(q) ≠ 0 (и в этом случае q 1 = q=N(q)).

Однако, как мы видим, кватернион обратим всегда, когда он ненулевой.

Значит, алгебра кватернионов является алгеброй с делением.

ТЕОРЕМА ФРОБЕНИУСА

Предложение 1. В ассоциативной алгебре A с единицей размерности n над полем K каждый элемент является корнем многочлена a 2 K[x] степени n.

Элемент a 2 A обратим тогда и только тогда, когда a(0) ≠ 0. Если в A нет делителей нуля, то A — алгебра с делением. Если при

этом поле K алгебраически замкнуто, то n = 1 и A = K.

6

Доказательство. Так как алгебра A конечномерна, то элементы

1; a; a2; : : :

не могут быть все линейно независимыми над K. Значит, найдется унитарный многочлен

a(x) = xm + 1xm 1 + + m

наименьшей степени m n с коэффициентами i 2 K такой, что a(a) = 0.

Если m ≠ 0, то соотношение a(a) = 0, переписанное в виде

( )

m1(am 1 + 1am 1 + + m 1) a = 1;

показывает, что a — обратимый элемент.

Обратно, предположим, что a 2 A не является делителем нуля, ноm = 0. Тогда

(am 1 + 1am 2 + + m 1)a = 0 =)

=) am 1 + 1am 2 + + m 1 = 0;

что противоречит минимальности a(x). Значит, m ≠ 0.

В частности, все элементы A, не являющиеся делителями нуля, обратимы.

Если поле K алгебраически замкнуто, то

a(x) = (x c1) : : : (x cm); ci 2 K;

откуда

(a c1)b = 0; b = (a c2) : : : (a cm) ≠ 0:

Отсутствие делителей нуля оставляет только одну возможность: m = 1,

ac1 = 0, т.е. a = c1 2 K. Так как это верно для любого элемента a 2 A,

то A = K.

7

Теорема 4 (теорема Фробениуса). Над полем R существует только три конечномерные ассоциативные алгебры с делением: R, C и H.

Прежде, чем доказывать теорему, исследуем аддитивную структуру алгебры с делением A.

Как мы видели, у каждого элемента из A есть некоторый минимальный аннулирующий многочлен a(t), из рассуждений прошлого предложения видно, что он обязательно неприводим.

Так как многчлены мы рассматриваем над полем R, то неприводимые многочлены имеют вид

В первом случае a 2 R. Если это не так, то положим b = a , получим тогда

Для дальнейшего доказательства нам понадобится лемма.

Лемма 3. Подмножество

A′ = fu 2 A j u2 2 R; u2 0g

является векторным подпространством в A.

8

Доказательство. Ясно, что если u 2 A′, 2 R, то u 2 A′, поэтому достаточно убедиться, что из u; v 2 A′ следует u + v 2 A′ для двух произвольных непропорциональных векторов u; v.

Сначала проверим, что линейная зависимость

u = v + ; ; 2 R;

невозможна.

В самом деле, по условию uv ≠ 0, и

u2 = < 0; v2 = < 0:

Поэтому

u = v + =) = u2 = ( v + )2 = 2 + 2 v + 2:

Так как v 2= R, то = 0, т.е. или = 0, или = 0.

Если = 0, то u 2 R, а если = 0, то u пропорционально v. Обе возможности были исключены.

Итак, линейная независимость u; v 2 A′ приводит к линейной независимости 1; u; v. Оба элемента u+ v, u v — корни квадратных уравнений, т.е.

(u + v)2 = p(u + v) + q; (u v)2 = r(u v) + s; p; q; r; s 2 R:

Используя соотношения

(u v)2 = u2 (uv + vu) + v2; u2 = ; v 2 = ;

будем иметь

+ + (uv + vu) = p(u + v) + q;

+ (uv + vu) = r(u v) + s:

Складывая, находим

(p + r)u + (p r)v + (q + s 2 2 ) = 0:

Но, как мы видели, u; v; 1 линейно независимы, поэтому p = r = 0. Значит, (u + v)2 = q 2 R, а так как u + v 2= R, то q < 0. Это и значит,

что u + v 2 A′, т.е. A′ — подпространство в A.

9

ЛЕКЦИЯ 17

ТЕОРЕМА ФРОБЕНИУСА

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП

НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП

1

ТЕОРЕМА ФРОБЕНИУСА

Предложение 1. В ассоциативной алгебре A с единицей размерности n над полем K каждый элемент является корнем многочлена a 2 K[x] степени n.

Элемент a 2 A обратим тогда и только тогда, когда a(0) ≠ 0. Если в A нет делителей нуля, то A — алгебра с делением. Если к

тому же поле K алгебраически замкнуто, то n = 1 и A = K.

Теорема 1 (теорема Фробениуса). Над полем R существует только три конечномерные ассоциативные алгебры с делением: R, C и H.

Доказательство. Сначала исследуем аддитивную структуру алгебры с делением A.

Как мы видели, у каждого элемента из A есть некоторый минимальный аннулирующий многочлен a(t), из рассуждений прошлого предложения видно, что он обязательно неприводим.

Так как многчлены мы рассматриваем над полем R, то неприводимые многочлены имеют вид

В первом случае a 2 R. Если это не так, то положим b = a , получим тогда

Для дальнейшего доказательства нам понадобится лемма.

2

Лемма 1. Подмножество

A′ = fu 2 A j u2 2 R; u2 0g

является векторным подпространством в A.

Теперь мы можем перейти к доказательству самой теоремы.

Для u 2 A′ запишем

u2 = q(u);

где q(u) 2 R+.

Кроме того, q(u) = 0 , u = 0. Очевидно, что

q( u) = 2q(u)

и

f(u; v) := q(u + v) q(u) q(v) = (uv + vu)

— симметричная билинейная форма на A, отвечающая положительно определенной квадратичной форме q.

Если A = R, то рассуждения заканчиваются.

С точностью до изоморфизма получаем равенство

R[i] = C = R + Ri:

Если A = C, то наши рассуждения заканчиваются.

Теперь предположим, что A — шире, чем комплексные числа (как мы видели, мы можем считать, что C A).

В этом случае A′ — шире, чем Ri, поэтому можно выбрать элемент j ? Ri, q(j) = 1.

3

Следовательно, k 2 A′ и k ? i; j. Значит, 1; i; j; k линейно независимы

и

R + Ri + Rj + Rk = H

— алгебра кватернионов.

Если A шире, чем алгебра кватернионов, то существует l 2 A′ такое, что q(l) = 1 и l ? i; j; k. Другими словами,

li = il; lj = jl; lk = kl:

Однако в силу ассоциативности умножения в A первые два соотношения дают

lk = l(ij) = (li)j = (il)j = i(lj) = i(jl) = (ij)l = kl:

Получается противоречие. Значит,

A = H:

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП: ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ

Определение 1. Пусть G — группа, F — поле. Тогда любой гомоморфизм φ : G ! GL n(F) = GL (V ) называется n-мерным представлением группы G над полем F. Если поле F — это поле комплексных чисел, то представление называется комплексным. Если ядро гомоморфизма φ тривиально, то представление называется точным.

Пример 1. Для группы G = Sn и любого поля F можно рассмотреть точное n-мерное представление этой группы, при котором подстановкапереходит в матрицу

( i (i)):

4