1.3 Заняття 2. Двійкова арифметика і основні функції алгебри логіки

1.3.1 Мета заняття. Вивчити особливості виконання арифметичних операцій над двійковими і шістнадцятковими| числами в прямому і зворотному кодах

1.3.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи студентів

Двійкова арифметика, або дії над двійковими числами, використовує правила, задані таблицями складання, віднімання і множення:

Складання Віднімання Множення

0 + 0 = 0 0 - 0 = 0 0 · 0 = 0

0 + 1 = 1 1 - 0 = 1 0 · 1 = 0

1 + 0 = 1 1 - 1 = 0 1 · 0 = 0

1 + 1 =10 10 - 1= 1 1 · 1 = 1

запозичення запозичення

у старший у старший

розряд розряд

Складання двійкових чисел подібно до складання десяткових. В обох випадках операції починаються з обробки найменших значущих цифр, розташованих у крайній справа позиції. Якщо результат складання найменших значущих цифр двох доданків не поміщається у відповідному розряді результату, то відбувається перенесення. Цифра, яка переноситься в сусідній зліва розряд, додається до вмісту останнього.

Складання цифр будь-яких однойменних розрядів може спричинити перенесення в більш старший розряд. Перенесення виникає, якщо результат складання цифр однойменних розрядів більше 9 при використанні десяткової арифметики, і більше 1 у разі двійкової системи числення.

Схожість операцій десяткового і двійкового складання показана на прикладі нижче.

	Десяткова	Двійкова
	арифметика	арифметика
Перенесення (одиниці)	11	1111111
Доданок (перший)	099	01100011
	+	+
Доданок (другий)	095	01011111
Сума	19410	110000102

Для того, щоб переконатися в правильності результату, можна або перевести число 194 з десяткової системи в двійкову, або байт числа 11000010 подати у розгорненому вигляді і порівняти результати:

19410 = 110000102 ; 11000010 = 1·27 +1·2⁶ +0·2⁵ +0·2⁴ +0·2³ +0·2² +1·2¹ +0·2⁰ =194₁₀.

Двійкове віднімання також відрізняється від десяткового лише особливостями порозрядних операцій. Якщо вміст розряду зменшуваного менше вмісту однойменного розряду від'ємника, то здійснюється позичання одиниці з сусіднього старшого розряду. Це відбувається у тому випадку, коли з нуля віднімається одиниця. Завдяки позиці в однойменному розряді результату виходить одиниця, оскільки вага позики дорівнює 2. Приклад двійкового і десяткового віднімання, коли зменшуване більше за від'ємник, показаний нижче.

	Десяткова	Двійкова
	арифметика	арифметика
Позичання (одиниці)	1	11
Зменшуване	109	01101101
	-	-
Від'ємник	049	00110001
Різниця	06010	001111002

Під час підготовки до практичних занять з даної теми необхідно також ознайомитися з функціями алгебри логіки. Функцією алгебри логіки є та, яка однозначно визначає відповідність кожного двійкового набору 0 або 1.

Умовно позначають завершення якої-небудь події (наприклад, наявність високого рівня напруги в якій-небудь точці схеми) символом 1. Цей символ називають логічною одиницею (щоб не сплутати його з двійковою цифрою 1). Відсутність якої-небудь події позначимо символом 0, званим логічним нулем.

Таким чином, кожному сигналу на вході або на виході двійкового елемента ставиться у відповідність логічна змінна, яка може приймати лише два значення: стан логічної одиниці (подія істинна) і стан логічного нуля (подія помилкова). Позначимо логічну змінну символом x, так що x =1, якщо x R0, і x = 0, якщо x R1.

Різні логічні змінні можуть бути зв'язані функціональними залежностями вираз у =f (x₁,x₂) вказує на функціональну залежність логічної змінної від логічних змінних x₁ і x₂, званих аргументами (або вхідними змінними). За будь-якої складності логічного зв'язку між логічною функцією та її аргументом, цей зв'язок завжди можна подати у вигляді сукупності простих логічних операцій.

До останніх належать: заперечення (операція "НІ"); логічне множення (операція "І"); логічне складання (операція "АБО").

Запереченням називається такий логічний зв'язок між вхідною логічною змінною x і вихідною логічною змінною у, при якій істинно тільки тоді, коли x помилково, і, навпаки, у помилково тільки тоді, коли істинно x. Представимо дану функціональну залежність у вигляді табл. 1.8, 1.9, 1.10. Подібні таблиці, що відображають відповідність усіх можливих комбінацій (наборів) значень двійкових аргументів значенням логічної функції, називаються таблицями істинності.

Таблиця 1.8 Таблиця 1.9 Таблиця 1.10

х	у		х	х	у		х	х	у
0	1		0	0	0		0	0	0
1	0		0	1	0		1	0	1
			1	0	0		0	1	1
			1	1	1		1	1	1

Операція "НІ" Операція "І" Операція "АБО"

За допомогою логіко-математичної символіки логічна функція НЕ змінної у записується як y = і читається "у є не x". Якщо, наприклад, x – твердження про наявність сигналу високого рівня в якій-небудь точці схеми, то у відповідає твердженню про наявність сигналу низького рівня (сигнал високого рівня відсутній).

Логічним множенням декількох змінних називається така функція, яка істинна тільки тоді, коли одночасно істинні всі змінні, що помножуються (табл. 1.9). Операція І між двома змінними x₁ і x₂ може позначатися як

y = x₁ • x₂ або y = x₁ x₂ і читається: "у є x₁ і x₂ ".

Логічним складанням декількох змінних називається така функція, яка помилкова тільки тоді, коли одночасно помилкові всі доданки змінні (табл. 1.10). Операція АБО позначається знаком V. Наприклад, операція АБО між двома змінними x₁ і x₂ позначається y = x₁ V x₂ і читається: "у є x₁ або x₂ ".

Логічні операції І та АБО називаються відповідно кон'юнкцією і диз'юнкцією.

Існує і ряд інших елементів, що реалізовують прості логічні функції. До їх числа, наприклад, належать елементи підсумовування за модулем два, що реалізовують функцію нерівнозначності двох змінних ("Що Виключає АБО"):

Таблиця істинності та умовне позначення такого елемента наведені на рис. 1.1. Функція нерівнозначності рівна одиниці лише у разі, коли змінні x₁ і x₂ мають різні значення.

x1	x2	у
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

а) б)

Рисунок 1.1 – Таблиця істинності (а) і умовне позначення елемента нерівнозначності (б)

Рівняння, відповідне логічній функції що "Виключає АБО", може бути записано у такому вигляді:

Під час з'єднання логічних елементів утворюються пристрої, схеми яких називаються логічними. Якщо в логічній схемі зворотні зв'язки відсутні, то такі схеми називаються комбінаційними. Комбінаційні схеми реалізують функції, значення яких у даний момент часу визначаються лише сукупністю значень вхідних змінних у цей самий момент часу і не залежать від попередніх значень вхідних змінних. Про такі схеми говорять, що вони не мають властивостей пам'яті (передісторія не впливає на результат перетворення).