2.3 Универсальное хеширование по алгебраическим кодам

Связь между универсальным семейством хеш-функций и кодовыми схемами впервые была отмечена Биербрауэром, Джохансоном, Кабатиански и Смитом [6]. Вычисление хеш значений с использованием алгебраического кода с кодовым расстоянием заключается в отображении -ичного кодового слова, соответствующего передаваемому сообщению, в значение кодового символа, порядковый номер которого определяется ключевыми данными.

Универсальное хеширование для сообщения , определяется выражением

,(2.2)

где изначения элементов столбцапорождающей матрицы линейного кода .

Параметры универсального хеширования по алгебраическим кодам устанавливает следующая теорема [].

Теорема 2.1. Если существует код, тогда существуетуниверсальное семейство хеш- функций, где

. (2.4)

Замечание 2.2.

1. Справедливо обратное утверждение. Если - хеш семейство, тогда существует код [].

2. Семейство хеш- функций является линейным в силу линейности алгебраических кодов.

3. Если есть линейный код с единицей, то есть содержит кодовые слова константы,, тогда справедливы отношения для вероятности успеха имитационной атаки Р_ими вероятности подменыР_под.

4. Если -линейный код без единицы, тогда Р_им, Р_под. Верхняя граница вероятности навязывания для универсального семейства хеш функций на основе алгебраического кода без единицы определяется относительным кодовым расстоянием, нижняя граница - значностью кода.

5. Вероятность навязывания путем подмены и угадывания сообщений обратно пропорционально зависит от значности кодовых слов и относительного кодового расстояния кода.

6. Верхняя граница вероятности навязывания для универсального семейства хеш функций на основе алгебраического кода достигается на кодах Рида-Соломона (RS), которые являются обобщением кодов БЧХ и не может быть меньше значения, которое обратно пропорционально значности кода.

Универсальный хеш класс с кодами Рида-Соломона эквивалентный полиномиальному хешированию. Отличие заключается в том, что вычисление хеш кода может быть реализовано не только в конечном поле простого числа, но и в расширенном поле Галуа. В ряде случаев это может быть более предпочтительным, так как упрощается разбиение сообщения на слова, которые должны быть приведены к размеру поля вычисления хеша. Анализ показывает, что наиболее приемлемыми значениями для хеширования данных, которые лежат в диапазоне разрядности современных процессоров, являются 2³² и 2⁶⁴ [XX]. Вероятность коллизии возрастает линейно с возрастанием объем данных. Для вероятности коллизии в диапазоне значений 10^-3 (2^-10) 10^-9 (2^-30) размер хешируемых данных должен лежать в диапазоне 2³2²² 32-х разрядных слов.

Для построения универсальных классов хеш функций практический интерес представляют коды большой длины в поле большой размерности и большим относительным кодовым расстоянием.

2.4 Универсальное хеширование по алгеброгеометрическим кодам

Алгеброгеометрический подход к построению кодов по алгебраическим кривым предложен Гоппой В.Д. [].В основу алгеброгеометрического кодирования положено отображение векторного пространства над конечным полем рациональных функций по точкам алгебраической кривой.

Для построения кода по гладкой алгебраической кривойроданад, фиксируются наборы точек,,, эффективный дивизорстепении. С дивизоромассоциируется линейное пространствоиз рациональных функцийнакак множество всех функцийтаких, что порядокв каждой точкеудовлетворяет условию([71] теорема 4).

Алгеброгеометрический код имеет параметры

,(2.6)

и определяется как

. (2.7)

Двойственный код является алгеброгеометрическим с параметрами,.

Рассмотрим представление кода Рида-Соломона в алгеброгеометрической интерпретации.

Пусть алгебраическое покрытие. Точкиопределяются гомогенными координатамиимеют значения,и- особая точка (точка неопределенности). Пусть- рациональные функции, которые определены в каждойс коэффициентами ви которые имеют полюс порядка меньше, чемв точкеи нет других полюсов. Рациональная функцияимеет вид, гдеигомогенные полиномы степени. Алгеброгеометрический код определим как .

Код имеет размерность пространства,,и минимальное расстояние

Таким образом, получим коди по теореме 2.1 -универсальный класс хеш-функций

Важными длинными алгеброгеометрическими кодами являются коды Эрмита (НС) и Судзуки (SC). Коды Эрмита и Судзуки относятся к классу алгеброгеометрических кодов определённых над полем рациональных функций ассоциированным с алгебраической кривой Эрмита и группой Судзуки.

Алгеброгеометрический код Эрмита (НС код) определяется функциональным полем, связанным с проективным многообразием построенным по кривой Эрмита. Кривая Эрмита определяется уравнением

над квадратичным полем .

Число точек кривой , род.

Пусть и . Базис пространства задается функциями вида.

Алгеброгеометрический код имеет параметры и приводит к универсальному хешированию.

Алгеброгеометрический код Судзуки определен над расширенным полем , и имеет параметры

(8)

где род кривой и приводит к универсальному хешированию .

Зависимости вероятности коллизий для универсального хеширования на РС кодах, кодах Эрмита и Судзуки от длины хешируемого сообщения представлены на рис. 2.1 [].

RSh

HCh

SCh



1

0

Рис. 2.1 Зависимости вероятности коллизий универсального хеширования с РС кодами, кодами Эрмита и Судзуки от длины сообщения.

На рис. 2.1 представлены так же, абсолютно лучшие результаты для универсального хеширования по алгеброгеометрическим кодам. Алгеброгеометрические коды Эрмита и Судзуки обеспечивают меньшую вероятность коллизии универсального хеширования по сравнению с алгебраическим РС кодом. Для больших значений это следует прямо из графиков. Для малыхпроигрыш по вероятности коллизии РС коду (RSh) определяется неточной оценкой кодового расстояния кода Эрмита (HCh) и Судзуки (SCh).

В работе [X] представлены результаты зависимости вероятности коллизии для HCh_q хеширования от длины данных и размера поля вычислений для асимптотической границы. Анализ показывает, что хеширование с кодами Эрмита обеспечивает увеличение объёма хешируемых данных в q раз. Для q=2³² объем хешируемых данных может достигать 2³⁹ 32- х разрядных слов, что перекрывает широких диапазон практических приложений. При этом вероятность коллизии ограничивается значением 10^-3 (2^-10). Снижение вероятности коллизии возможно путем увеличения q. Так при q=2⁶⁴ вероятность коллизии снижается по асимптотической границе не меньше чем на 5 порядков до 10^-8.

Коды Эрмита являются конструктивными, реализуются относительно просто в той же арифметике что и RS коды. Универсальные хеш- функции с кодами Эрмита обеспечивают меньшую вероятность коллизии по сравнению с RS кодами.

Утверждение 2.5 []. Основная алгеброгеометрическая граница для вероятности коллизии хеш класса построенного с использованием алгеброгеометрического кода имеет вид

Р_кол, (2.8)

где -скорость кода.

Связь вероятности коллизии с алгеброгеометрическими параметрами кривых устанавливает утверждение 2.6 [].

Утверждение 2.6. Вероятность коллизии при хешировании на основе алгеброгеометрического кода при , где -род алгебраической кривой,определяется границей

. (2.14)

Замечание 2.3.

1.Вероятность коллизииуниверсального хеширования по алгеброгеометрическим кодам определяется алгеброгеометрическими параметрами кривых, а именно отношением рода кривой к числу рациональных точек кривой. Наименьшая верхняя граница вероятности коллизии реализуется по алгеброгеометрическим кодам на кривых, которые удовлетворяют границе Дринфельда-Влэдуца.

2. Оценки вероятности коллизии для низкоскоростного кодирования не являются точными, так как параметры алгеброгеометрических кодов точно определяются при размерности .

Универсальное хеширование по рациональным функциям алгебраических кривых снимает ограничение на точность оценок параметров хеширования по параметрам алгеброгеометрических кодов.