mechanics

80

VII. КОЛЕБАНИЯ

Рассмотрение колебательного движения проведем на примере механических колебаний и начнем с простейшего из них - гармонического колебания.

Гармоническое колебание будем рассматривать как одномерное движение

где F kx - квазиупругая сила. Это потенциальная сила с потенциалом

потенциальную энергию можно разложить в ряд Тейлора:

U (0) 0 - этого можно достичь соответствующим выбором начала отсчета

энергии, dU 0 , так как для существования колебательного движения dx

необходимо существование положения равновесия, то есть в этом положении U (x) имеет экстремум (в случае устойчивого положения равновесия это min). Слагаемым ~x3 можно пренебречь в случае малых отклонений от положения равновесия. Учет этого слагаемого приводит к ангармонизму.

2

Таким образом, для малых отклонений U (x) kx2 , а сила квазиупруга

F kx , тогда:

81

m

- уравнение свободных гармонических колебаний.

По классификации это линейное, однородное, дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решение в общем виде можно записать:

возвращающая сила на единицу смещения и на единицу массы. Видно, что частота колебаний не зависит от амплитуды. x0 – амплитуда колебаний:

максимальное отклонение от положения равновесия, 2 0 - частота.

период свободных гармонических колебаний, 0t - фаза колебаний, - начальная фаза колебаний.

Решение можно представить в иной форме:

x(t) V0 sin 0t .0

1) и 2) соответствуют двум различным способам возбуждения колебаний: либо отклонение от положения равновесия, либо сообщение энергии в положении равновесия.

В общем случае

x( 0 ) x0 ; x( 0 ) V0 ,

x( t ) x0 cos 0t V0 sin 0t.

0

83

§26. Механическая энергия тела при гармонических колебаниях

Рассмотрим изменения кинетической и потенциальной энергии тела в процессе гармонических колебаний.

x( t ) Acos( 0t ),

x( t ) A 0 sin( 0t ).

Подставив два последних выражения в соотношение (7.7), получим:

Амплитудные значения равны между собой, что следует из закона сохранения энергии:

Изобразим энергетическую диаграмму, дающую зависимость кинетической и потенциальной энергии колеблющегося тела от величины его смещения от положения равновесия.

Все рассмотрение было проведено на примере колебаний груза на пружине. Всякая система, совершающая колебательное движение, называется осциллятором.

Это есть уравнение простого гармонического колебания, его решение имеет вид:

A cos( 0t ) .

При начальных условиях:

0 0 ; ( 0 ) m ,

получим:

Период колебаний математического маятника:

не зависит от амплитуды в случае малых отклонений, однако, в общем случае это не так.

Рассмотрим более строгую теорию математического маятника.

Период колебаний можно определить исходя из закона сохранения энергии. Сила тяжести потенциальна, сила натяжения, хотя и не потенциальна, но в данном случае работы не совершает, так как перпендикулярна к скорости, таким образом, при движении математического маятника энергия сохраняется.

86

Это уже уравнение первого порядка и хотя оно нелинейное, можно сразу записать его решение в интегральной форме. Таким образом, применение закона сохранения энергии понижает порядок уравнения. Значение постоянной определим из начальных условий

(0) 0; (0) m ,

const mgl(1 cos m ) 2mgl sin2 2m .

Подставляя это в (7.14) найдем:

Разделим переменные и проинтегрируем:

87

Показать самостоятельно, что при малых углах, то есть sin из (7.15) получится решение (7.13а).

Учитывая, что из нулевого положения до максимального математический маятник отклоняется за четверть периода, напишем:

Поскольку 0 2 , получим:

T0

Этот интеграл через элементарные функции не выражается. Его можно

свести к интегралу вида 2 d , который называется эллиптическим

0 1 k 2 sin2

интегралом 1 рода. Его значения приведены в соответствующих таблицах. Но его можно представить в виде ряда, тогда:

T T0 (1 14 sin2 2m 649 sin4 2m ...) .

Таким образом T f ( m ) , то есть период начинает зависеть от амплитуды, а, следовательно, и F ( m ) .

88

§28. Понятие о фазовом портрете

Фазовая плоскость - это плоскость изменения переменных p и x или V и x. Графическая зависимость импульса (скорости) от координаты называется фазовым портретом системы. Энергия в случае гармонического осциллятора сохраняется:

E p2 kx2 ,

2m 2

или

образом, фазовым портретом гармонического осциллятора является эллипс.

§29. Фазовый портрет математического маятника

Энергия математического маятника есть:

E ml 2 2 mgl(1 cos ) .

2

Характер движения будет зависеть от значения полной механической энергии маятника. Очевидно, что при E 2mgl - движение будет колебательным, при E 2mgl - вращательным, то есть маятник будет вращаться вокруг точки подвеса.

Уравнение фазовых траекторий получим из выражения для полной энергии:

Видно, что для малых колебаний sin , фазовые кривые имеют вид эллипсов, как и для гармонического осциллятора. Таким образом, замкнутые кривые, вокруг точки (0,0) соответствуют значениям энергии, допускающим периодическое движение вокруг положения равновесия. Замкнутые кривые вокруг точек ( 2 n ,0) физического смысла не имеют. Кривая на фазовой плоскости, отделяющая колебательное движение от вращательного, называется сепаратрисой. Ей соответствует E 2mgl

Эта зависимость изображена на рисунке жирными линиями.

Как видно из (7.17) при E 2mgl график будет изображаться не замкнутыми кривыми, расположенными выше и ниже сепаратрис. Эти кривые характеризуют вращение маятника в заданном направлении.