mechanics

Величина, равная сумме произведений элементарных масс материальных точек на квадраты расстояний их до оси вращения, называется моментом инерции системы относительно этой оси.

Соотношение (5.7) показывает, что при вращении системы, момент ее импульса относительно оси вращения равен произведению момента инерции относительно той же оси на угловую скорость.

В случае сплошного тела, сумму в (5.8) следует заменить интегралом по всему объему тела:

I r 2dm .

(V )

Подставляя (5.7) в (5.6а) получим основное уравнение вращательного движения вокруг неподвижной оси:

здесь М - момент внешних сил относительно оси вращения.

Если рассматривается вращение твердого тела или системы материальных точек с неизменной конфигурацией вокруг неподвижной оси, момент инерции I остается неизменным и уравнение (5.9) принимает вид:

dt

63

§18. Теорема Гюйгенса-Штейнера

Найдем связь между моментами инерции относительно двух различных параллельных осей. Она устанавливается теоремой Гюйгенса-Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела относительно оси проходящей через центр масс, параллельно данной и произведения массы на квадрат расстояния между осями.

Докажем эту теорему. Пусть S сечение тела. Будем предполагать, что центр масс находится в точке О и оси, проходящие через точки О и А, перпендикулярны к рисунку. Мысленно разобьем тело на элементарные массы dm . Момент инерции тела найдем, проинтегрировав по всем элементарным

массам. Радиус-вектор элементарной массы dm относительно оси А r r a ,

Умножая обе части равенства (5.11) на dm и интегрируя по всему объему, получим:

Так как ось О проходит через центр масс, последний интеграл в (5.12) обращается в нуль.

64

Интеграл слева дает момент инерции относительно оси А, первый интеграл справа - момент инерции относительно оси О, второй интеграл справа дает полную массу тела. Откуда

Это и есть аналитическое выражение теоремы Гюйгенса-Штейнера.

§19. Примеры вычисления моментов инерции

1. Тонкий однородный стержень, расположенный перпендикулярно оси вращения, проходящей через один из его концов. Длина стержня – l, масса – m.

Направим ось Х вдоль стержня. Стержень будем считать тонким. Выделим элементарную массу dm , имеющую длину dx и расположенную на расстоянии

Х от оси вращения. Причем, поскольку стержень однородный dm m dx . l

Тогда

dI A x2dm m x2dx .

l

Проинтегрировав по всей длине стержня, получим:

Воспользовавшись теоремой Гюйгенса-Штейнера, найдем его момент инерции относительно оси проходящей

Интегрируя это выражение по r в пределах от 0 до R, получим:

Приведем без доказательства еще одну полезную формулу. В случае плоского распределения масс

I z I x I y

где I z - момент инерции относительно оси перпендикулярной к плоскости тела, Ix и I y - моменты инерции относительно взаимно перпендикулярных осей лежащих в этой плоскости.

§20. Тензор инерции

Выясним, как связаны векторы L и в общем случае. Разобьем тело на элементарные массы и, просуммировав их моменты импульса, получим момент импульса тела:

68

Из (5.19) видно, что в общем случае направления L и не совпадают, как это было в случае вращения вокруг закрепленной оси.

Совокупность девяти величин I xx ,I xy ,.......I zz называют тензором второго ранга, а операцию, выражаемую формулами (5.19) называют умножением вектора на тензор Iˆ.

Тензор принято записывать в виде квадратной таблички:

Этот тензор характеризует инертные свойства тела при вращении. Диагональные компоненты Iˆ называются осевыми, а недиагональные -

центробежными моментами инерции. В силу симметрии различными будут только 6 компонент. Такой тензор называется симметричным тензором 2 ранга и может быть приведен к диагональному виду. Тензор Iˆ, приведенный к диагональному, виду называется тензором, приведенным к главным осям.

Главные оси взаимно перпендикулярны и пересекаются в центре инерции тела. Таким образом, компоненты тензора инерции зависят от выбора системы координат.

Уравнения (5.19) в главных осях приводятся к виду:

Lx I x x ,Ly I y y ,Lz I z z .