mechanics

41

Рассмотрим случай, когда скорость газовой струи относительно ракеты не меняется

Выражение (3.13) было впервые получено для случая нерелятивистского движения К.Э. Циолковским (1857-1935 гг.) и носит его имя.

Задача. Каким должно быть отношение масс, чтобы сообщить ракете первую космическую скорость 8 км/с, при Vотн 1 км/с

то есть масса топлива в 2980 раз превосходит полезную массу - m0 . Если Vотн 2 км/с.

42

IV. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ

Работой силы F на перемещении dr называется скалярное произведение

В общем случае, если материальная точка проходит конечный путь 1-2, его можно разбить на бесконечно малые участки и просуммировать:

Интеграл в (4.2) нужно брать вдоль траектории, по которой движется тело,

закону Ньютона

dt

В нерелятивистском случае p mV , тогда при m const

V1 и V2 - начальная и конечная скорости частиц. Величина

называется кинетической энергией частицы. Тогда (4.4) можно переписать в виде A K2 K1 , то есть работа силы при перемещении частицы равна приращению кинетической энергии этой частицы. Это есть теорема об изменении кинетической энергии. Ее легко обобщить на случай системы материальных точек.

Кинетической энергией системы называется сумма кинетических энергий частиц, составляющих эту систему. Тогда приращение кинетической энергии системы равно суммарной работе всех сил, действующих на систему материальных точек.

Здесь очень важно слово “всех”, то есть и внешних и внутренних, в отличие от второго закона Ньютона, где речь идет только о внешних силах, так как внутренние компенсируются.

Выражение (4.3) позволяет обобщить понятие работы на случай релятивистской механики, если воспользоваться релятивистским выражением для импульса:

2

p 2 V 2( m02 p2 ) . c

44

Откуда

Подставляя (4.6) в (4.3) получим:

Проинтегрируем (4.6а):

часть, связанная с движением, называется релятивистской кинетической энергией. Выразим K через скорость:

Формула (4.8) дает выражение для кинетической энергии в релятивистской механике, очевидно в пределе V<<c, оно должно переходить в обычное выражение (4.5). Разложив знаменатель, получим:

45

то есть с точностью до первых неисчезающих слагаемых, релятивистское выражение для кинетической энергии, переходит в классическое, поправки к

§14. Закон сохранения энергии

Рассмотрим работу силы тяжести при перемещении тела из точки 1 в точку

2:F (0,0, mg) . Тогда

dA Fz dz mgdz,

Таким образом, работа силы тяжести не зависит от пути, она определяется только начальным и конечным положением тела, такие силы называются консервативными или потенциальными. Можно дать другое определение: если то сила потенциальна.

В поле потенциальных сил можно ввести понятие потенциальной энергии в данном положении - это работа, совершаемая консервативными силами при переходе

системы из рассматриваемого положения в нулевое. Тогда

46 то есть работа равна убыли потенциальной энергии. В дифференциальной

Учитывая, что dA dK получим dK = -dU , или

d (K U ) 0,

откуда

K U const .

Полученный результат можно сформулировать следующим образом: в поле консервативных сил механическая энергия сохраняется.

Таким образом, если в замкнутой системе действуют только потенциальные силы, то механическая энергия сохраняется. Не всякая сила потенциальна, следовательно, механическая энергия может не сохраняться.

Если задан закон F (r ) , то говорят, что задано силовое поле. Силовые поля бывают консервативные и неконсервативные. Условие консервативности приведено выше.

В качестве примера рассмотрим потенциальную энергию гравитационного притяжения двух материальных точек. Сила, действующая между ними, есть:

F Mm2 , r

- гравитационная постоянная. Это консервативные силы, так как они относятся к центральным силам. Будем считать, что M неподвижно, а m перемещается из бесконечности в данную точку, тогда

По определению, эта работа равна убыли потенциальной энергии:

Принимая U 0 и подставляя (4.13) в (4.14) получим:

U Mm . r

Эта энергия отрицательна, этот факт имеет простое объяснение. Максимальной энергией обладают притягивающиеся тела при бесконечном расстоянии между ними. В этом положении потенциальная энергия считается равной нулю. Во всяком другом положении она меньше, то есть отрицательна.

§15. Силы и потенциальная энергия

Взаимодействие тел можно описывать либо с помощью сил, либо с помощью потенциальной энергии как функции координат, взаимодействующих тел.

Естественно, что описание на языке сил обладает большей общностью, так как оно применимо и к непотенциальным силовым полям.

Зная силу как функцию координат материальных точек системы можно вычислить потенциальную энергию рассматриваемой системы. Такая задача решается интегрированием. Пример приведен выше. Можно поставить и обратную задачу: вычислить действующие силы по заданной потенциальной энергии как функции координат взаимодействующих частиц. Эта задача решается дифференцированием.

49 Таким образом, если потенциальная энергия U (x, y, z) известна, то вычисление составляющих силы Fx , Fy , Fz сводится к вычислению частных

производных.

Пример. Измеряя потенциальную энергию сжатой пружины, нашли, что она равна U 12 kx2 , где x - удлинение, k - постоянная

величина. Закрепим один конец пружины, ось ОХ направим вдоль пружины, тогда сила, с которой пружина будет действовать на прикрепленное к другому ее концу тело:

Fx dU kx .

dx

Знак минус указывает на то, что сила направлена противоположно смещению. Соотношения (4.18) можно объединить в одно:

где символ grad или обозначает векторный дифференциальный оператор:

Он называется еще оператором Гамильтона, в результате его действия на скалярную функцию получается вектор.