mechanics

30

Задачи второго типа много сложнее и являются основными в механике. Их решение сводится к интегрированию дифференциальных уравнений, для однозначного решения которых необходимо задать начальные условия.

§10. Применение основного закона динамики

Взаимодействие тел определяет вид сил. В механике основными видами сил являются следующие:

а) сила тяжести (постоянная сила) – mg ; б) сила вязкого трения - V ;

в) сила упругости - kr ;

д) сила Лоренца – q V B .

Рассмотрим движение тел при наличии тех или иных сил.

1. F 0 . Свободное тело, действие на него всех сил скомпенсировано.

dp 0 , при m const , V const , то есть в этом случае тело движется dt

равномерно и прямолинейно.

Может быть F 0 , но Fx 0, тогда вдоль оси Х движение равномерно, а в других направлениях нет (движение тела брошенного под углом к горизонту).

2. F const . Равноускоренное движение. При m const имеем

dV F w const . dt m

31

Получаем дифференциальное уравнение, решая его, как в случае обратной задачи кинематики с учетом начальных условий r (0) r0 ,V (0) V0 , получим:

V (t) V0 wt,

r (t) r0 V0t wt 2 . 2

На рисунке вектор r (t) представлен в виде суммы трех векторов r0 ,V0t и

2

w2t . Причем учтено, что все три вектора могут быть направлены как угодно.

К такому типу движения относится движение в однородном поле тяжести тела, брошенного под углом к горизонту со скоростью V0 . Спроектировав полученные соотношения на координатные оси, получим систему уравнений, описывающих рассматриваемое движение.

32

2

начальной точке траектории, gt2 - противоположно оси OY. Действие силы

тяжести как бы сносит тело вниз. Чем больше время, тем больше снос. Если исключить время, получим уравнение траектории:

Очевидно, это парабола со смещенной из начала координат вершиной и обращенными вниз ветвями.

Аналогично рассматривается движение заряда в однородном электрическом поле. Сила, действующая на заряд q есть F qE .

3. Рассмотрим движение под действием переменных сил. 3.а. Силы, зависящие от времени F F (t) .

Откуда видно, что для получения решения в явном виде сила должна быть задана. Определение r (t) после того как V (t) найдено труда не представляет.

3.б. F F (V ) .

Начнем с силы Лоренца F‘ q V B .

Здесь q - заряд частицы, B - индукция магнитного поля. Из уравнения видно, что ускорение все время в процессе движения перпендикулярно к

скорости dV w V . Такая сила меняет только направление скорости, но не ее dt

величину. Частица движется по окружности с постоянной по модулю

34

3.в. Рассмотрим силы, зависящие от положения тела: F F (r ) . В качестве примера рассмотрим силу упругости: F kr .

Учитывая что V dr , получим уравнение второго порядка dt

m d 2r kr . dt 2

В одномерном случае

m d 2 x kx dt 2

или

m dV kx . dt

В этом уравнении три неизвестных величины V , x , t . Чтобы разделить

переменные исключим из него время, учитывая что V dx , выразим отсюда dt

dt : dt dx и подставим его в последнее уравнение:

V

mVdV kxdx .

Проинтегрировав с учетом начальных условий V (0) V0 ,x(0) x0 , получим:

V V02 k (x2 x02 ) . m

35

Это зависимость скорости от координаты. Чтобы найти V (t), необходимо

сначала определить x(t) , решив уравнение V dx , подставив сюда найденное

Второй закон Ньютона, записанный в форме (3.1) сохраняется в неизменном виде в теории относительности, если подставить в него релятивистское выражение для импульса:

m0 - масса покоя.

Рассмотрим частицу в ускорителе и запишем второй закон Ньютона:

Если бы импульс был пропорционален скорости (P~V), то период обращения электрона был

36

бы постоянным, при заданном B. Однако эксперимент показывает, что при больших энергиях период увеличивается с увеличением энергии. Чтобы он

теорию относительности.

§11. Движение системы тел

Рассмотрим систему двух взаимодействующих материальных точек. Из опыта известно, что силы взаимодействия F12 и F21 , направлены вдоль прямой, соединяющей эти точки. Ньютон сформулировал закон (третий):

Силы взаимодействия двух материальных точек равны по величине, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти материальные точки.

Одну из сил называют действием, другую противодействием. Тогда третий закон Ньютона можно сформулировать таким образом:

Всякому действию, соответствует равное и противоположно направленное противодействие.

В случае системы произвольного числа материальных точек взаимодействие сводится к попарному взаимодействию между материальными точками. Пусть Fik - сила, с которой i-тая материальная точка, действует на k-тую, причем

Fik Fki . В таком понимании третий закон Ньютона позволяет перейти от механики отдельной частицы к механике системы материальных точек.

Силы, действующие на материальные точки системы, можно разделить на внутренние и внешние. Внутренние силы - это силы взаимодействия между материальными точками самой системы Fik . Внешние силы - это такие, с которыми на материальные точки системы действуют внешние тела.

38

Если Fi (e) 0. а Fix(e) 0, то отсюда следует, что сохраняется Х- компонента импульса.

Закон сохранения импульса является следствием однородности пространства и надлежащим образом обобщенный, является фундаментальным законом природы не знающим исключений.

Движение тел определяется силами взаимодействия. Основные типы взаимодействий в природе:

1.Гравитационное – дальнодействующее.

2.Электромагнитное – дальнодействующее.

3.Сильное – короткодействующее.

4.Слабое – короткодействующее.

§12. Теорема о движении центра масс

В нерелятивистской механике, где m f (V ) количество движения системы p m1V1 m2V2 ... mnVn может быть выражено через скорость ее центра масс.

Центром масс или центром инерции системы называется такая

Продифференцируем (3.7) по времени и умножим на m mi .

mR m1r1 m2 r2 ... mn rn ,

или

mV m1V1 m2V2 ... mnVn ,

где V R - скорость центра масс системы, таким образом:

39

Подставляя (3.8) в (3.6) получим:

dV (e) . m F i

dt

Отсюда следует: центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна суммарной массе всей системы, а действующая сила - геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему. Это утверждение называется теоремой о движении центра масс.

§13. Реактивное движение.

Уравнение Мещерского, формула Циолковского

Рассмотрим движение тела с переменной массой на примере ракеты, которая движется в поле внешних сил. Ракета с большой скоростью выбрасывает вещество (газы), воздействуя на него с большой силой. Выбрасываемое вещество с той же, но противоположно направленной силой действует на ракету и сообщает ей ускорение в противоположном направлении.

Пусть m(t) - масса ракеты в произвольный момент времени t , V (t) - ее скорость соответственно. Импульс ракеты mV . Через

время dt будет: (m dm)(V dV ) , при этом газ получил импульс Vгаз dmгаз . Из второго закона Ньютона изменение количества движения, равно импульсу силы: