mechanics

10

Соотношения (1.12) решают поставленную задачу. Модуль векторов скорости и ускорения найдем, воспользовавшись определением:

От координатного способа можно перейти к векторному, вводя орты соответствующих осей: i , j ,k .

б) Обратная задача: заданы проекции ускорения, необходимо найти проекции вектора скорости и координаты. Начальные условия имеют вид:

Vx (0) Vx 0 ;x(0) x0 .

Поступая, как и в предыдущем случае, найдем:

Аналогично для y, z и Vy ,Vz .

В случае равноускоренного движения вместо (1.13) по аналогии с (1.7) и (1.9) будем иметь:

Уравнение линии, вдоль которой движется тело, называется уравнением траектории. Если из (1.11) исключить время, получим уравнение траектории. Уравнение (1.11) называют уравнением траектории в параметрическом виде.

§4. Естественный способ задания движения

2) вращательное вокруг неподвижной оси, 3) плоское движение, 4) движение вокруг неподвижной точки, 5) свободное движение.

Основными являются первые два вида движений, остальные можно свести к одному из них, или к их совокупности. Рассмотрим первые два вида движений.

1.Поступательное движение. Поступательным движением твердого тела называется такое, при котором все его точки движутся по одинаковым траекториям. Это обозначает, что скорости и ускорения точек в любой момент времени одинаковы. Любая прямая, проведенная между какими-либо точками тела, перемещается параллельно самой себе. Таким образом, это движение полностью характеризуется заданием движения какой-либо одной точки тела, т.е. эта задача сводится к задаче кинематики точки.

2.Вращение вокруг неподвижной оси. Вращательное движение вокруг неподвижной оси - это такое движение, при котором, по крайней мере, две

точки тела остаются все время неподвижными. Прямая, проходящая через эти точки называется осью вращения. Все точки, лежащие на оси вращения неподвижны. Другие точки движутся по окружностям, центры которых лежат на оси вращения.

14

Пусть твердое тело, вращаясь вокруг неподвижной оси ОО’, за время dt совершило бесконечно малый поворот.

Соответствующий угол поворота будем характеризовать вектором d , модуль которого равен углу поворота, а направление определяется правилом правого винта.

Найдем элементарное перемещение любой точки А твердого тела при таком повороте. Положение точки А задается радиус-вектором r , проведенным из точки О на оси вращения. Тогда линейное перемещение конца радиус-вектора r связано с углом поворота d соотношением:

Равенство (1.21) справедливо лишь для бесконечно малого угла поворота, только такие углы можно рассматривать как векторы. Легко показать, что введенный вектор элементарного угла поворота удовлетворяет правилу векторного сложения.

Вектор d , направление которого связано с направлением вращения, называется аксиальным.

Вектор угловой скорости и ускорения можно ввести по аналогии с линейными характеристиками:

Угловая скорость:

dt

По направлению совпадает с d .

15

Изменение угловой скорости со временем характеризуется вектором углового ускорения:

Направление совпадает с направлением d . - аксиальный вектор. Можно ввести проекции и на ось вращения, выбрав положительное ее

направление в соответствии с правилом правого винта.

z и z - алгебраические величины, их знак характеризует направление соответствующего вектора. Таким образом, зная (t) можно, используя (1.24) и (1.25) найти z и z в любой момент времени - аналог прямой задачи, естественно можно поставить и решить обратную задачу.

§6. Связь между линейными и угловыми величинами

Поставим вопрос об определении линейных характеристик вращательного движения. Пусть нас интересует линейная скорость V произвольной точки А твердого тела, совершающего вращение вокруг неподвижной оси OO’ с угловой скоростью . Положение точки А относительно точки О характеризуется радиус-вектором r . Воспользуемся формулой (1.21) поделив обе части на dt :

16

Модуль линейной скорости есть

V rsin ,

где - радиус окружности, по которой движется точка А. Продифференцировав (1.26) по времени, получим:

или

слагаемое (1.27) представляет собой тангенциальное ускорение, второе – нормальное.

17

Покажем, как получается последнее соотношение

или

wn rcos r 2 4rx2 4ry2 ( 2rcos 2rz )2

4rx2 4ry2 2 4r2 (1 cos2 ), rz rcos .

Модуль полного ускорения есть

18

II. ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Пусть имеем две системы отсчета К и К’. Пусть система К’ движется относительно К со скоростью V в направлении оси Х. Оси в К и К’ ориентированы как показано на рисунке. Предполагается, что система К – инерциальная, тогда и К’ -

инерциальная.

Система отсчета, в которой все свободные тела движутся равномерно и прямолинейно - называется инерциальной.

Обобщив результаты изучения хода физических процессов в различных системах отсчета, движущихся друг относительно друга, Галилей сформулировал принцип относительности: во всех инерциальных системах отсчета все механические явления протекают одинаково.

Этот принцип подтверждается всем многообразием приложений классической механики к движению тел, скорости которых значительно меньше скорости света.

Найдем формулы преобразования координат при переходе от К к К’. Движущаяся система координат в каждый момент времени занимает определенное положение относительно неподвижной. Если начала обеих систем совпадают в момент времени t 0, то в момент t начало движущейся системы координат находится в точке x Vt неподвижной системы. Преобразования Галилея предполагают, что для координат и времени систем К и К’ существует такое соотношение, какое существовало бы между ними, если