Metod-mech-lab1_003
.pdf
60
Тогда, учитывая условие
имеем: |
|
cos 2 cos 2 cos 2 1, |
|
(13.28) |
||
|
|
|
|
|
||
R2 x2 |
y2 |
z2 ( x cos y cos z cos )2 |
|
|
||
( y2 z2 ) cos2 ( x2 z2 ) cos2 |
( x2 y2 ) cos2 |
(13.29) |
||||
2xy cos cos 2xz cos cos |
2 yz cos cos . |
|
||||
Умножив |
найденное выражение |
для R2 на dm, получим после |
||||
интегрирования выражение для момента инерции: |
|
|
||||
In( , , ) cos2 ( y2 z2 )dm cos2 ( x2 z2 )dm cos2 ( x2 y2 )dm |
|
|||||
|
m |
m |
|
m |
(13.30) |
|
2cos cos xydm 2cos cos xzdm 2cos cos yzdm. |
||||||
|
||||||
|
|
m |
m |
m |
|
|
Коэффициенты при квадратах направляющих косинусов – моменты инерции относительно координатных осей. Обозначим их Ix, Iy, Iz. Величины
Ixy xydm; |
Ixz xzdm; |
I yz yzdm |
(13.31) |
m |
m |
m |
|
получили название центробежных моментов инерции (при дискретном распределении масс вместо интегралов используются суммы вида (13.22,а)). Окончательно можно записать:
In Ix cos2 I y cos2 Iz cos2 2Ixy cos cos |
(13.32) |
|
2Ixz cos cos 2I yz cos cos . |
||
|
Для нахождения зависимости момента инерции тела от направления оси, проходящей через некоторую точку О, выполним следующее мысленное построение. От точки О по оси n , момент инерции относительно которой равен I n , отложим отрезок длиной
r |
|
1 |
|
(13.33) |
|
|
|
|
|||
I n |
|||||
|
|
|
|
и найдем геометрическое место концов этих отрезков, отложенных по всевозможным направлениям. Замечая, что координаты конца отрезка выражаются через направляющие косинусы равенствами
x r cos , y r cos , z r cos , |
(13.34) |
после подстановки в формулу (13.33) значения момента инерции из (13.32) получаем уравнение геометрического места точек:
Inr2 Ix x2 I y y2 Iz z2 2Ixy xy 2Ixz xz 2I yz yz 1. |
(13.35) |
Это уравнение эллипсоида, который дает наглядное представление о значениях моментов инерции тела для различных осей, проходящих через точку О (рис. 13.8).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
61 |
|
z |
|
|
Отсутствие в уравнении линейных членов |
|||||
|
|
|
указывает, что начало координат совпадает с |
||||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
центром эллипсоида. Наличие в уравнении |
|||||
|
|
|
|
членов |
с |
произведениями |
координат |
||
|
|
|
|
обусловлено несовпадением осей с осями |
|||||
|
|
|
|
эллипсоида. Если произвести |
преобразование |
||||
|
|
0 |
|
координат, |
|
повернув |
оси |
координат до |
|
|
|
y |
совпадения с осями эллипсоида, коэффициенты |
||||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
при произведениях координат обратятся в нули, |
||||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
и каноническое уравнение эллипсоида по |
|||||
х |
|
|
|
отношению к этим осям будет иметь вид: |
|||||
|
|
|
I x' x' |
2 I y' y' 2 I z' z' 2 1. |
|
(13.36) |
|||
|
|
Рис. 13.8 |
|
|
|||||
|
|
|
Коэффициенты |
I x' , I y' , I z' |
– моменты |
||||
|
|
|
|
||||||
инерции тела по отношению к новым осям координат x' , y' , z' . Оси симметрии
эллипсоида инерции называются главными осями инерции тела для данной точки. Главные оси инерции – это три взаимно перпендикулярные направления, проходящие через данную точку, относительно которых моменты инерции тела имеют экстремальное значение. Главные оси инерции и главные моменты инерции для центра масс называются, соответственно, главными центральными осями и моментами инерции тела.
Для однородного симметричного тела главные центральные оси совпадают с осями симметрии. Итак, по отношению к главным осям инерции центробежные моменты инерции обращаются в нули, и тогда
I n I x cos 2 I y cos 2 I z cos 2 , (13.37) где , , есть углы, которые составляет ось On с главными осями инерции
для данной точки.
Коэффициенты уравнения (13.32) играют роль своеобразных составляющих момента инерции в данной системе координат. Обозначив
I x I11 , I y I 22 , I z I 33 , I xy I12 |
I 21 , I yz I 23 I 32 , I xz I13 |
I 31 , |
(13.38) |
|||
их можно представить в виде таблицы |
|
|
|
|
|
|
I11 |
I12 |
I13 |
|
|
|
|
|
I22 |
I23 |
|
( i, k 1, 2, 3) . |
|
(13.39) |
Iik I21 |
, |
|
||||
|
I32 |
I33 |
|
|
|
|
I31 |
|
|
|
|
||
Совокупность девяти величин Iik |
называют |
тензором инерции тела |
||||
относительно точки О, а сами эти величины – компонентами этого тензора. |
||||||
Может оказаться, что все недиагональные элементы тензора инерции |
||||||
равны нулю, т.е. |
I x |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|||||
I |
|
0 |
I y |
0 |
|
(13.40) |
|
. |
|||||
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
I z |
|
|||
62
Тогда оси тела, совпадающие с осями координат, являются главными осями инерции. Тензор в этом случае приведен к диагональному виду, а вектор
L совпадает с . Теория приводит к результату: через любую точку твердого тела можно провести три взаимно перпендикулярные главные оси. Если оси проведены через центр масс тела, то они называются центральными осями.
Рекомендуемая литература
1.Сивухин Д.В. Общий курс физики / Д.В. Сивухин. - М.: Наука, 1989. - Т.1: Механика. - С. 248 – 265, 320 - 329.
2.Матвеев А.Н. Механика и теория относительности / А.Н. Матвеев. – М.: Высш. шк., 1976. – С. 300 - 307.
3.Савельев И.В. Курс общей физики / И.В.Савельев. – М.: Наука, 1982. - Т.1: Механика. Молекулярная физика. - С. 134 - 150.
4.Стрелков С.П. Механика / С.П. Стрелков. – М.: Наука, 1975. – С. 217 - 218, 227 - 239.
5.Иродов И.Е. Механика. Основные законы / И.Е. Иродов. - М.: Лаборатория базовых знаний, 2000. – С. 177 – 189.
6.Физический практикум. Механика и молекулярная физика / Под ред. В.И. Ивероновой. – М.: Наука, 1967. – С. 102 – 105.
63
РАБОТА №14
ГИРОСКОП
Цель: изучить вынужденную прецессию гироскопа.
Приборы и принадлежности: гироскоп (установка).
Описание установки
Общий вид установки представлен на рис. 14.1 и на рис. 14.2. В основании 1, снабженном ножками с регулируемой высотой, укреплена стойка 2. На стойке установлен кронштейн 3, на котором закреплен фотоэлектрический датчик 4 и внешняя неподвижная втулка цилиндрического шарнира 5. Этот шарнир позволяет поворачиваться вокруг вертикальной оси
4
3
2
1
Рис. 14.1
64
11 |
12 |
6 |
8
5
Рис. 14.2
10
9
7
13
14
15
электродвигателю 6, а также используется для подачи тока к электродвигателю и к фотоэлектрическому датчику 7. Внутренняя подвижная втулка цилиндрического шарнира жёстко соединена с кронштейном 8, в котором на полуосях установлен корпус электродвигателя. На вал двигателя насажен маховик 9, защищенный экраном 10. С противоположной стороны из корпуса двигателя выходит рычаг 11 с делениями, на котором можно перемещать и закреплять груз 12. Угол поворота электродвигателя вокруг вертикальной оси (угол прецессии) можно определить при помощи градусной шкалы, нанесенной на диске 13, и указателя 14. Прорези на окружности диска, расположенные через каждые 5°, служат для автоматического измерения угла прецессии с помощью фотоэлектрического датчика 4. Аналогичную роль выполняют отверстия в кольце, укрепленном на маховике 9, служащие для автоматического измерения скорости вращения ротора электродвигателя при помощи фотоэлектрического датчика 7.
На основании 1 укреплен блок 15 измерений и управления установкой. На его лицевой панели имеются регулятор и измеритель скорости вращения ротора, цифровые индикаторы автоматического измерителя угла прецессии и миллисекундомер, а также клавиши управления установкой:
«СЕТЬ» – при нажатии этой клавиши включается питающее напряжение, на цифровых индикаторах высвечиваются нули и загораются лампочки фотоэлектрических датчиков.
65
«СБРОС» – нажатие этой клавиши вызывает сброс схем блока
измерений и генерирование сигнала разрешения на измерение.
«СТОП» – при нажатии этой клавиши генерируется сигнал разрешения на окончание процесса измерения.
Методические указания
Векторное уравнение моментов |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
L |
|
Mвнешн |
|
|
|
|
|
|
|
|
можно «проверить» с помощью гироскопа.
Гироскоп – симметричное, быстро вращающееся твердое тело, ось которого может изменять положение в пространстве. Чтобы ось гироскопа
могла поворачиваться в любом направлении, |
его |
помещают в |
кардановом |
|||
|
a |
подвесе (рис. 14.3). Все три оси подвеса |
||||
|
пересекаются в одной точке О – центре |
|||||
|
b |
карданова подвеса. Если центр масс |
||||
|
|
гироскопа совпадает с центром карданова |
||||
|
|
подвеса, |
то |
гироскоп |
называют |
|
|
|
уравновешенным. |
|
|||
|
c |
На рис. 14.4 показан гироскоп, |
||||
|
|
быстро вращающийся вокруг оси y с |
||||
c |
|
угловой скоростью . Пусть І – момент |
||||
0 |
инерции гироскопа относительно оси у, |
|||||
|
||||||
|
|
тогда момент импульса гироскопа |
||||
|
|
|
|
|
(14.1) |
|
|
|
|
|
L I |
||
|
|
есть вектор, направленный по оси у. |
||||
|
b |
Допустим, что мы подвесили к оси |
||||
|
|
гироскопа небольшой груз на расстоянии |
||||
|
a |
а от центра О, так, как изображено на рис. |
||||
|
14.4. Тем самым мы приложили к |
|||||
|
Рис. 14.3 |
гироскопу |
момент силы (относительно |
|||
|
центра О) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
Mвнешн a mg . |
(14.2) |
|||
|
На рис. 14.4 показаны векторы a, Mвнешн и mg . |
|
|
|||
Поскольку момент внешних сил определяет производную момента
импульса L , т.е. скорость изменения вектора L , то ясно, что вектор L с течением времени будет изменяться как по абсолютной величине, так и по
направлению. Так, за время t вектор L получит приращение |
|
L M внешн t , |
(14.3) |
а это значит, что за время t гироскоп повернется вокруг оси z на угол |
θ. |
Если момент внешних сил достаточно мал, то можно считать, что вектор
L постоянен по абсолютной величине; он изменяется лишь по направлению, поэтому
66
L L .
z
a |
|
|
L |
y |
|
0 |
|
L |
θ. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m g |
M внешн. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Рис. 14.4 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Разделим обе части последнего равенства на |
t, имеем |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
L |
|
t |
|
||||||
откуда ясно, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
(14.4) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
L |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
|
|
|
|
– угловая скорость вращения гироскопа вокруг оси z (направление |
|||||||||||||||
|
dt |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вектора показано на рис. 14.4).
Теперь уточним, что значит достаточно малая величина момента внешних сил ( Мвнешн ). Если угловая скорость , то абсолютное значение L определяется в основном величиной ω, т.е.
L I ,
а это значит, что L const .
Таким образом, величина Мвнешн. должна быть такова, чтобы гироскоп вращался вокруг оси z гораздо медленнее, чем вокруг оси у.
Из уравнения моментов следует, что L Mвнешн .
Подставляя это выражение в (14.4), получаем связь между угловой скоростью и величиной приложенного момента Мвнешн:
|
M внешн |
|
|
mga |
|
|||
|
L |
|
|
|
I . |
(14.5) |
||
|
|
|||||||
67
Таким образом, если груз 12 расположен так, что рычаг 11 занимает
горизонтальное положение, то центр масс гироскопа совпадает с центром |
|
карданова подвеса, и Mвнешн. = 0; = 0. Если переместить груз на расстояние а |
|
от положения равновесия, то на гироскоп будет действовать момент силы |
|
M внешн. mga , |
(14.6) |
где m – масса груза, g – ускорение свободного падения. В результате ось гироскопа начнет прецессировать со скоростью, определяемой уравнением (14.5). Проверка формулы (14.5) является основной целью работы.
Порядок выполнения работы
1. Балансировка гироскопа.
1.1.Определить и записать положение груза 12, при котором рычаг 11 расположен горизонтально. Закрепить груз в этом положении.
1.2.Включить установку в сеть, нажать клавишу «СЕТЬ».
1.3.С помощью ручки «РЕГ. СКОРОСТИ» установить частоту
вращения гироскопа n ≈ 6·103 мин-1. Убедиться в том, что уравновешенный свободный гироскоп сохраняет неизменной ориентацию оси вращения.
1.4.Удерживая рычаг 11 в горизонтальном положении, закрепить груз 12 на нулевом делении рычага 11. Отпустив рычаг, наблюдать прецессию гироскопа.
1.5.Слегка тормозя или ускоряя вращение диска 13, наблюдать изменение наклона оси гироскопа. Объяснить это явление. Потренироваться в поддержании горизонтальной ориентации прецессирующего гироскопа.
2. Изучение зависимости скорости прецессии гироскопа от положения груза на рычаге.
2.1.Добившись, как указано в п. 1.5, прецессии гироскопа в горизонтальном положении, нажать клавишу «СБРОС» непосредственно перед прохождением мимо стрелки 14 какого-либо «круглого» числа на шкале диска 13.
2.2.Следя за тем, чтобы прецессирующий гироскоп все время занимал горизонтальное положение (см. п. 1.5), после поворота гироскопа на 360° (перед очередным прохождением мимо стрелки того же самого числа) нажать клавишу «СТОП».
2.3.Записать в заранее подготовленную таблицу показание миллисекундомера и угол поворота гироскопа.
2.4.Повторить операции 2.1 ... 2.3, перемещая груз 12 по рычагу 11 с шагом 1,5 см, записывая в таблицу соответствующие значения и а.
Примечание. При малой скорости прецессии угол поворота гироскопа можно уменьшить до 30°.
3. Изучение зависимости скорости прецессии от скорости вращения гироскопа.
3.1. Закрепить груз на конце рычага. Повторить операции 2.1, 2.2, 2.3, увеличивая частоту вращения гироскопа от значения n = 2·103 мин-1 до n =
68
10·103 мин-1с шагом 1·103 мин-1, записывая в таблицу соответствующие значения n и .
Примечание. Смотри примечание к упражнению 2.
4. Обработка результатов измерений.
4.1.На основе данных, полученных в упражнении 2, построить график линейной зависимости ( a ) методом наименьших квадратов.
4.2.Определив из графика угловой коэффициент K1 полученной прямой, вычислить момент инерции гироскопа по формуле:
I |
mg |
. |
(14.7) |
|
|||
|
K |
|
|
|
1 |
|
|
И вычислить соответствующую погрешность по формуле
|
I |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
I |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.3.На основе данных, полученных в упражнении 3, построить график линейной зависимости (1 / ) методом наименьших квадратов.
4.4.Определив из графика угловой коэффициент K2 прямой,
выражающей зависимость от 1 , вычислить момент инерции гироскопа по формуле:
|
|
|
|
I |
|
mga |
. |
|
|
|
(14.8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
K2 |
|
|
|
|
|
Погрешность данного измерения вычислить по формуле |
|||||||||||
I |
|
|
|
a |
2 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
I |
|
|
a |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4.5. Сравнить значения |
момента |
инерции |
I, полученные обоими |
||||||||
способами, учитывая погрешности измерений.
Вопросы для допуска
1.Сформулировать цель работы.
2.Что называют гироскопом?
3.Какие элементы установки образуют гироскоп?
4.Что такое карданов подвес?
5.Какие элементы установки образуют карданов подвес?
6.Какова взаимная ориентация векторов , , M внешн. ?
7.Какой вид имеют графики зависимости ( a )и (1 / )?
8.Как обосновать формулы (14.7) и (14.8)?
9.В каком направлении нужно воздействовать на конец рычага гироскопа, чтобы он изменил свой наклон к горизонту?
10.Изложить ход работы.
69
Контрольные вопросы и задания
1.Что называют угловой скоростью?
2.Что называют моментом инерции?
3.Что называют моментом импульса? Как он направлен?
4.Что называют моментом силы? Как он направлен?
5.Как обосновать выражение (14.6)?
6.Записать уравнение моментов.
7.Что называют прецессией?
8.Вывести формулу (14.5).
9.Чем объясняется изменение угла наклона прецессирующего
гироскопа?
10.Что называют нутацией? Какие виды нутации вам известны?
11.Вывести формулы для подсчета погрешностей.
Рекомендуемая литература
1.Сивухин Д.В. Общий курс физики / Д.В. Сивухин. - М.: Наука, 1989. - Т.1: Механика.– С. 287 - 320.
2.Матвеев А.Н. Механика и теория относительности / А.Н. Матвеев. - М.: Высш. шк., 1976. – С. 298 - 305, 317 - 331.
3.Савельев И.В. Курс общей физики / И.В. Савельев. – М.: Наука, 1982. - Т.1: Механика. Молекулярная физика. - С. 131 - 144, 161 - 167.
4.Стрелков С.П. Механика / С.П. Стрелков. – М.: Наука, 1975. – С. 239 - 256.
5.Хайкин С.Э. Физические основы механики / С.Э Хайкин. – М.: Наука, 1971. – С. 46 - 63, 297 - 303, 435 - 459.
6.Иродов И.Е. Механика. Основные законы / И.Е. Иродов. - М.: Лаборатория базовых знаний, 2000. – С. 161 - 169, 189 - 193.
7.Лабораторные занятия по физике: Учебное пособие / Л.Л. Гольдин, Ф.Ф. Игошин, С.М. Козел и др. – М.: Наука, 1983. – С. 128 - 134.
8.Физический практикум. Механика и молекулярная физика / Под ред. В.И. Ивероновой.– М.: Наука, 1967. – С. 139 - 141.