Metod-mech-lab1_003

51

3

12

7

9

2

1

Рис. 13.2

1, оснащённом четырьмя ножками с регулируемой высотой, прикреплен электронный блок 2, на лицевой панели которого расположены клавиши управления установкой и цифровые индикаторы миллисекундомера и счетчика колебаний. В основании закреплена вертикальная колонна 3, на которой при помощи прижимных винтов закреплены кронштейны 4, 5, 6. Кронштейны 4 и 6 имеют зажимы, служащие для закрепления стальной проволоки, на которой

52

подвешена рамка 7. Она может совершать крутильные колебания. На кронштейне 5 закреплена стальная плита 8, которая служит основанием фотоэлектрическому датчику 9, электромагниту 10 и градусной шкале 11. Электромагнит 10 может изменять положение на плите, а его положение относительно фотоэлектрического датчика показывает на градусной шкале стрелка, прикрепленная к электромагниту.

Конструкция рамки позволяет закреплять исследуемые тела 12, значительно отличающиеся друг от друга по внешним размерам. Тела крепятся при помощи подвижной балки, которая перемещается по направляющим между неподвижными балками. Балка устанавливается путем затягивания гаек на зажимных втулках, помещенных на подвижной балке.

На лицевой панели электронного блока размещены следующие манипуляционные элементы:

«СЕТЬ» – выключатель сети. Нажатие этой клавиши включает питающее напряжение. Это проявляется визуально в виде свечения цифровых индикаторов, высвечивающих нули, и свечения лампочки фотоэлектрического датчика.

«СБРОС» – сброс измерителя. Нажатие этой клавиши вызывает сброс схем миллисекундомера и счетчика колебаний и генерирование сигнала разрешения на измерение.

«ПУСК» – запуск электромагнита. Нажатие этой клавиши выключает ток в обмотке электромагнита и тем самым освобождает рамку. При первом же прохождении рамки через положение равновесия сигнал с фотодатчика включает секундомер и счетчик колебаний.

«СТОП» – окончание измерения. Нажатие этой клавиши вызывает генерирование сигнала разрешения на окончание процесса счета. Поэтому при очередном прерывании колеблющейся рамкой светового потока секундомер и счетчик колебаний останавливаются.

Для измерения периода колебаний рамки после включения установки в сеть необходимо:

1.Привести рамку в исходное положение, повернув ее до соприкосновения

сэлектромагнитом при отжатой клавише «ПУСК».

2.Нажать клавишу «СБРОС».

3.Нажать клавишу «ПУСК» и наблюдать за показаниями цифрового индикатора счетчика колебаний.

4.Сразу после появления цифры «9» нажать клавишу «СТОП». Показания миллисекундомера будут соответствовать десяти периодам колебаний рамки.

Методические указания

В данной работе проверяется связь между моментом инерции относительно произвольной оси, проходящей через начало отсчета и центр масс тела, и моментом инерции относительно главных осей.

54

Момент инерции маятника складывается из момента инерции рамки I0 и момента инерции I исследуемого тела:

Поэтому период колебаний маятника можно записать в виде:

Если колеблется свободная рамка без тела, то её период колебаний Т0, очевидно, равен

Из этих уравнений можно исключить неизвестную величину D. В результате находим

этого нужно измерить периоды колебаний Т0 и Т, соответственно, для свободной рамки и для рамки с телом. Период колебаний Т, так же как и момент инерции тела I, зависит от ориентации тела по отношению к оси маятника. Чтобы подчеркнуть это, запишем (13.8) в виде:

системе координат Оxyz.

55

Закрепим тело в рамке так, чтобы ось вращения n совпадала с какой-либо его центральной главной осью Ох, Оу или Оz. Тогда из (13.9) получим

где Tx ,Ty ,Tz – соответственно, периоды колебаний маятника, когда его ось

вращения n совпадает с одной из главных осей Ох, Оу или Оz. Погрешности I x посчитать по формуле

Погрешности для величин I y , Iz считаются аналогично.

Подставив (13.9) и (13.10) в исходное соотношение (13.3), получим:

T 2 ( n ) Tx2 cos 2 Ty2 cos 2 Tz2 cos 2 . (13.11)

Таким образом, существует простая связь между периодами крутильных колебаний тела Tx ,Ty ,Tz относительно его осей симметрии Ох, Оу и Оz и

периодом колебаний этого же тела относительно оси n с направляющими косинусами cos , cos , cos .

Выражение (13.11), так же как и формула (13.4) для периода крутильных колебаний, справедливо, если затухание мало. Практически для этого достаточно, чтобы число колебаний N, за которое амплитуда уменьшается в 2-3 раза, удовлетворяло неравенству N 10 . Если это неравенство выполняется, то проверка соотношения (13.3) сводится к проверке равенства (13.11). Оно удобно тем, что все входящие в него величины в условиях опыта могут быть измерены непосредственно.

Рассмотрим частные случаи для однородного прямоугольного параллелепипеда с ребрами а, b и с (рис. 13.4).

1. Однородный куб (а = b = с).

Из соображений симметрии очевидно, что все три момента инерции куба относительно главных осей Ох, Оу и Оz одинаковы:

Ix I y Iz .

Из (13.3) с учетом второго равенства (13.1) находим:

Таким образом, момент инерции однородного куба относительно любой проходящей через его центр оси одинаков. Ясно, что и период крутильных колебаний куба должен быть одинаковым для любой оси вращения, проходящей через его центр

Проверить это можно, закрепляя куб в рамке в различных положениях, при которых ось вращения проходит через центр куба, и измеряя соответствующие периоды крутильных колебаний.

56

2. Симметричный прямоугольный параллелепипед (а = b ≠ с). Очевидно, что в этом случае моменты инерции параллелепипеда

относительно главных осей Ох и Оу и соответствующие им периоды крутильных колебаний равны между собой

угла , который ось вращения n образует с осью тела Oz. Величина T( n ) не зависит от углов и (при const ). В частности, должен быть одинаковым

период колебаний относительно любой оси, лежащей в плоскости Оху (т.е. при/ 2 ). В этом случае cos 0 и согласно (13.15) должно быть

Проверить это соотношение можно, закрепляя в рамке крутильного маятника симметричный параллелепипед так, чтобы ось вращения была перпендикулярна его большому ребру. Периоды крутильных колебаний при любом таком положении тела должны совпадать.

3. Определение момента инерции рамки.

Установка позволяет не только проверить соотношение (13.11) и его частные случаи (13.13) и (13.16), но и измерить моменты инерции исследуемых тел и рамки. Из формулы (13.8) имеем для I0 :

Поэтому, измерив m, а, Т и T0 , можно с помощью формулы (13.17) определить момент инерции рамки I0 . Зная его, можно на основе выражений

(13.10) определить главные моменты инерции параллелепипеда и проверить соответствующие теоретические формулы и посчитать погрешности:

58

11. Вычислить главные моменты инерции прямоугольного параллелепипеда по формулам (13.10) и (13.19). Сравнить соответствующие значения.

Вопросы для допуска

1.Сформулировать цель работы.

2.Что называют моментом инерции тела?

3.Как связан момент инерции тела относительно произвольной оси, проходящей через его центр масс, с моментами инерции этого тела относительно его центральных главных осей?

4.Что положено в основу проверки соотношения между моментом инерции тела относительно произвольной оси, проходящей через его центр масс, и его главными центральными моментами инерции?

5.Изложить ход работы.

6.Вывести формулы для подсчета погрешностей.

Контрольные вопросы и задания

1.Что называют тензором инерции?

2.Какие оси тела называют главными?

3.Показать путем непосредственных вычислений, что в главных осях недиагональные элементы тензора инерции прямоугольного параллелепипеда равны нулю.

4.Вывести формулы (13.3), (13.19).

Приложение

Зависимость момента инерции от направления оси

Пусть твердое тело состоит из материальных точек с массами тi. Закрепим тело в точке О. Введём обозначения: ri – радиус-вектор точки тi

относительно точки О, – мгновенная угловая скорость тела. Скорость i-той точки тела vi , ri (рис. 13.6).

Момент импульса тела относительно точки О равен:

центробежные. Совокупность величин I ( , x, y, z ) называется тензором инерции, который можно представить в виде:

тензор называют симметричным.

Итак, момент импульса сложно зависит от распределения масс в теле и его направление не совпадает, вообще говоря, с угловой скоростью вращения тела, т. е.

L I , ( , x, y, z ) (13.24) где индекс – индекс суммирования.

Зависимость момента инерции от направления оси можно найти другим способом. Пусть, как и ранее, положение оси задается значениями её трех