Metod-mech-lab1_003
.pdf
40
8
6
9
2
1
Рис. 11.1
41
8
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3
Рис. 11.2
42
При качении шара по плоскости сила трения совершает работу. Эта работа уменьшает полную механическую энергию шара. Полная механическая энергия состоит из кинетической и потенциальной энергии. В тех точках, где маятник максимально отклонен от положения равновесия, его скорость равна нулю, следовательно, и кинетическая энергия также равна нулю. Эти точки называют точками поворота. В них маятник останавливается, «поворачивается» и движется обратно. В точках поворота полная энергия маятника равна потенциальной энергии, уменьшение которой при его движении от одной точки поворота до другой равно работе сил трения на этом пути.
На рис. 11.3 показаны положения шара на наклонной плоскости. Пусть точка А – точка поворота. В этом положении нить маятника составляет угол с осью ОО’. В отсутствие трения через промежуток времени, равный половине периода, шар маятника оказался бы в точке N, но из-за трения шар немного не докатится до точки N и остановится в точке B. Это и будет точка поворота. В этом положении нить маятника составляет с осью ОО’ угол, равный – , то есть за полпериода маятник «потерял» угол . Поскольку
точка В расположена несколько ниже, чем точка А, то и потенциальная энергия маятника в точке В меньше, чем в точке А. Можно сказать, что маятник «потерял» высоту h при перемещении из точки А в точку В.
Найдем связь между потерей угла и потерей высоты h. Спроецируем точки А и В на ось ОО’. Это будут точки А’ и В’ (рис. 11.4), соответственно. Длина отрезка А’В’ определяется соотношением:
А’В’ = L = L cos( – ) – L cos ,
где L – длина нити маятника, равная радиусу дуги окружности АВ, которую описывает шар. Угол этой дуги равен (2 – ), а длина дуги
S = L (2 – ).
Ось ОО’ наклонена к горизонту под углом . Поэтому проекция отрезка L на вертикальную ось есть потеря высоты h. Тогда:
h= L sinβ=L sinβ[cos( – )– cos ]. (11.1) При этом изменение потенциальной энергии
маятника между точками А и В
U = mg h, |
(11.2) |
где m – масса шара, g – ускорение свободного падения.
|
43 |
Работа силы трения на пути S по абсолютной величине равна |
|
│Aтр │= Fтр S, |
|
где сила трения |
|
Fтр = μN. |
(11.3) |
Здесь μ – коэффициент трения, N = mg cosα – сила нормального давления |
|
шара на наклонную плоскость, т. е. для работы силы трения на пути |
S=L(2 – |
) между точками А и В получаем: |
|
│Aтр│= μmgL (2 – ) cosβ. |
(11.4) |
В силу того, что U = │Атр│, из уравнений (11.1), (11.2) и (11.4) получаем |
|
ctg cos( ) cos . |
(11.5) |
2 |
|
Последнее выражение можно существенно упростить, если воспользоваться тем обстоятельством, что угол очень мал. Так как <<1, то cos 1, sin и cos( – ) = cos cos +sin sin cos + sin .
Поэтому формулу (11.5) можно записать так:
ctg sin . 2
Откуда
|
|
2 ctg sin ctg . |
(11.6) |
Из формулы (11.6) видно, что потеря угла за половину периода определяется величиной и углом . Однако можно найти такие условия, при которых от угла не зависит.
Поскольку коэффициент трения качения мал (порядка 10-3), то если рассматривать достаточно большие амплитуды , так чтобы
sin ctg , (11.7) то слагаемым ctg в знаменателе формулы (11.6) можно пренебречь, и тогда
2 ctg sin .
С другой стороны, пусть углы будут малы, т.е. 1, тогда sin , и за полпериода потеря угла будет
2 ctg . |
(11.8) |
Подчеркнем, что формула (11.8) справедлива при условии
ctg sin <<1. (11.9) Из-за того, что 10-3, углы (10-2...10-1) рад удовлетворяют обоим
неравенствам (11.9).
Если бы величина была бы порядка (10-2...10-1), как в случае трения скольжения, то тогда бы неравенства (11.9) не выполнялись. Понятно, что за одно полное колебание потеря угла будет 4 ctg , а за n колебаний потеря угла есть n = 4 n ctg . Откуда
tg 4nn ,
44
или
|
tg |
n , |
(11.10) |
|
720n |
||||
|
|
|
если n измерено в градусах.
Формула (11.10) дает простой способ измерения величины : необходимо измерить уменьшение угла n за 10 ... 15 колебаний, а затем по формуле (11.10) вычислить .
Формула относительной погрешности измерения имеет вид:
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
(11.11) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 2 |
|
|
n |
|
|
|
|||||||
где и an – погрешности измерения и n.
На данной установке
(3 - 5)0 = (5 - 9)* 10-2 рад,0,50 = 10-2 рад.
Порядок выполнения работы
1.Установить наклонную плоскость под углом = 200.
2.Отвести шар на угол = 8...100 и без толчка отпустить его.
Подсчитать число колебаний, за которое угол уменьшится на n = 20, 30, 40, стартуя с одного и того же угла .
3.Результаты опыта занести в таблицу.
4.Вычислить i по формуле (11.10) и i по формуле (11.11).
5.Определить для = 200 и .
6.Вычислить относительную ошибку измерения .
7.Установить угол = 250, 300, ... 550 и повторить действия согласно пунктам 2…6.
8.Построить график зависимости = ( ).
Вопросы для допуска
1.Сформулировать цель работы.
2.Какие виды трения вы знаете?
3.Что положено в основу метода определения коэффициента трения
качения?
4.Изложить ход работы.
5.Почему амплитуда колебаний маятника уменьшается?
6.При каких значениях угла справедлива формула (11.10)?
7.Какой коэффициент трения больше: скольжения или качения?
Почему?
8.Вывести формулу для определения абсолютной погрешности
измерения ..
45
Контрольные вопросы и задания
1.Что такое трение качения? Какова его природа?
2.Пояснить, что такое трение качения: а) для абсолютно твердых тел; б) при абсолютно упругих деформациях.
3.Как зависит от угла ?
4.Получить формулу (11.10) для вычисления коэффициента трения
качения .
5.В каких единицах измеряется коэффициент момента силы трения качения? Какой его геометрический смысл?
6.Вывести закон Кулона для силы трения качения. (Чему равен момент силы трения качения?)
7.Вывести формулу (11.11) для определения относительной
погрешности измерения .
8.Почему рекомендуется проводить опыты только по одному разу, т.е. учитывать фактически только систематическую погрешность?
9.Как влияет длина нити на результаты опыта?
10.Охарактеризовать трение покоя и трение скольжения, их зависимость от скорости. Что представляет собой явление застоя?
Рекомендуемая литература
1.Сивухин Д.В. Общий курс физики / Д.В. Сивухин. - М.: Наука, 1989. - Т.1: Механика.– С. 108 – 113, 269 - 286.
2.Матвеев А.Н. Механика и теория относительности / А.Н.Матвеев. - М.: Высш. шк., 1976. – С. 332 – 347.
3.Савельев И.В. Курс общей физики / И.В. Савельев. – М.: Наука, 1982.- Т.1: Механика. Молекулярная физика.- С. 66 - 70.
4.Стрелков С.П. Механика /С.П. Савельев. - М.: Наука, 1975. - С. 136 - 149, 257 – 267.
5.Хайкин С.Э. Физические основы механики / С.Э. Хайкин. - М.: Наука, 1971.
– С. 122 – 129, 192 – 205, 428 – 435.
6.Иродов И.Е. Механика. Основные законы / И.Е. Иродов. - М.: Лаборатория базовых знаний, 2000. – С. 50, 56.
7.Физический практикум. Механика и молекулярная физика / Под ред. В.И. Ивероновой..- М.: Наука, 1967. - С. 120 - 124.
46
РАБОТА №12
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ ПО МЕТОДУ БЕССЕЛЯ
Цель: изучить один из методов определения ускорения свободного падения.
Приборы и принадлежности: оборотный маятник, кронштейн, секундомер.
Описание установки
6
2
4
1
3
Оборотный маятник состоит из металлического стержня 1, двух чечевиц 2 и 3 и двух призм 4 и 5 (рис. 12.1).
Призмы 4 и 5 жёстко закреплены, расстояние между ними выбито на одной из призм. Чечевица 3 также закреплена неподвижно, а чечевица 2 может перемещаться по шкале 6 и закрепляться в нужном положении винтом. При помощи призм 4 и 5 маятник подвешивается к кронштейну, который неподвижно закреплен в стене. При прямом положении маятник опирается на ребро призмы 4, при обратном – на ребро призмы 5.
Методические указания
Теория метода определения ускорения свободного падения (Метод Бесселя)
Задача точного измерения ускорения свободного падения очень сложна. Однако существуют косвенные методы, основанные на использовании формулы для периода Т колебаний физического маятника (любого твердого тела, которое под действием силы тяжести может свободно качаться вокруг неподвижной горизонтальной оси):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T 2 |
I |
|
2 |
l0 |
, |
(12.1) |
||||
mgd |
g |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где І – момент инерции маятника относительно
5оси качаний, m – масса маятника, d – расстояние от центра масс C до точки подвеса O, через которую проходит горизонтальная ось вращения,
|
l0 |
I |
– приведенная длина физического |
|
md |
||
|
|
|
|
Рис. 12.1 |
маятника (рис.12.2). |
||
47
Однако точно измерить момент инерции тела сложной формы не удается. |
|||
О |
|
Этот недостаток можно исключить с помощью |
|
d |
так называемого оборотного маятника. Во |
||
|
|||
|
|
всяком физическом маятнике существуют такие |
|
φ |
|
две точки О и O , что при последовательном |
|
l0 |
C |
подвешивании маятника в той или другой из |
|
них период колебаний его остается одним и тем |
|||
|
|
же. Расстояние между этими точками равно |
|
|
О' |
приведенной длине данного маятника l0. Метод |
|
|
|
оборотного маятника основан на том, что |
|
|
mg |
период колебаний физического маятника не |
|
|
изменяется при перемещении оси качаний в |
||
Рис. 12.2 |
центр качаний, т. е. точку O , отстоящую от оси |
|
качаний на расстояние, равное приведенной |
||
|
длине маятника, и лежащую на одной прямой с осью качаний и центром масс маятника. Воспользовавшись обратимостью точки подвеса и центра качаний, можно опытным путем найти положение центра качаний. Это точка, в которой нужно укрепить ось маятника, чтобы, «обернутый», он колебался с тем же периодом, что и «прямой».
Итак, метод определения ускорения свободного падения при помощи оборотного маятника (метод Бесселя) основан на свойстве обратимости центра качаний O и точки подвеса О и состоит в одновременном измерении периода
колебаний Т0 |
и приведенной длины l0 |
физического маятника. Тогда из формулы |
|||
(12.1), зная l0 |
и Т0, можно определить g: |
|
|
|
|
|
g |
4 2l |
0 |
, |
(12.2) |
|
T02 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
где Т0 = Т1 = Т2, Т1 – период колебаний маятника в прямом положении, Т2 – период колебаний маятника в обратном положении.
В эксперименте нелегко добиться точного совпадения прямых и обратных периодов Т1 и Т2. Однако, период Т0 можно определить, зная зависимости Т1(х) и Т2(х), где х – смещение чечевицы от начального положения (координата чечевицы). При этом расстояние между призмами маятника фиксировано. Выбирая это расстояние в качестве l0, можно подобрать такое положение чечевицы 2, при котором периоды колебаний маятника в прямом и обратном положениях одинаковы и равны Т0. Однако, из-за наличия систематической погрешности шкалы, трудно непосредственно найти такое положение чечевицы, при котором с достаточной точностью выполняется условие совпадения периодов. Поэтому в работе применяется графический метод.
Суть этого метода такова. Вначале подвешивают маятник на одну из призм и определяют период колебаний Т1. Затем, не передвигая чечевицу 2, подвешивают маятник на другую призму и измеряют Т2. Далее, передвигая чечевицу на расстояние Δх, повторяют указанные выше измерения. Строят
48 |
|
|
|
T |
графики зависимости периодов Т1(x) и |
||
T1(x) |
Т2(x) в прямом и обратном положениях |
||
|
маятника (рис. 12.3). |
|
|
T0 |
Ордината |
точки |
пересечения |
кривых Т1(x) и Т2(x) и даст требуемое |
|||
|
значение периода Т0. Эти кривые |
||
T2(x) |
аппроксимируются параболами по методу |
||
|
наименьших квадратов. |
|
|
Рис. 12.3 |
x |
|
Порядок выполнения работы
1.Установить чечевицу 2 в самом начале шкалы 6.
ВНИМАНИЕ! Перемещать чечевицу 2 можно, только положив маятник на стол.
2. Подвесить маятник к кронштейну так, чтобы точкой опоры служила призма 4, отклонить его от вертикали не более чем на 5°, измерить время десяти полных колебаний и найти период колебаний. Занести результаты в заранее подготовленную таблицу. Повторить нахождение периода трижды и занести в таблицу среднее значение периода Т1, округленное до 0,01 с.
ВНИМАНИЕ! Не стоять в плоскости качания маятника.
3. Перевернуть маятник так, чтобы точкой опоры служила призма 5, и подвесить его к кронштейну. Аналогично определению периода Т1 найти
период4.Т2. Перемещая последовательно чечевицу 2 на 1 см, найти для каждого из ее положений периоды Т1 и Т2 так, как описано в пунктах 2 и 3. Чечевицу перемещать в пределах от 1 до 17 см основной шкалы.
5.С помощью метода наименьших квадратов построить графики
зависимостей периодов Т1 и Т2 от координаты х чечевицы и найти ординату Т0 точки пересечения этих кривых.
6.Вычислить значение g по формуле (12.2) и оценить его погрешность по формуле
g |
|
|
l |
0 |
2 |
|
|
2 T |
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(12.3) |
|||
|
|
|
|
|
||||||||
g |
|
|
l 0 |
|
|
|
|
T 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вопросы для допуска
1.Сформулировать цель работы.
2.Что называют физическим маятником?
3.Что называют математическим маятником?
4.Что называют приведенной длиной физического маятника?
5.Что называют центром качаний физического маятника?
6.При каких условиях периоды колебаний физического и математического маятника совпадают?
49
7.Записать формулу для периода колебаний математического
маятника.
8.Записать формулу для периода колебаний физического маятника.
9.В чем выражается свойство обратимости физического маятника?
10.Как найти период Т0, соответствующий приведенной длине l0 в данной работе?
11.Почему начальное отклонение маятника от вертикали не должно превышать 50?
12.Как определить приведенную длину l0 в данной работе?
13.Чему равна погрешность шкалы 6?
14.Изложить ход работы.
Контрольные вопросы и задания
1.Что называют моментом инерции твёрдого тела?
2.Что называют центром масс тела?
3.Чему равен радиус-вектор центра масс?
4.Что находится ниже: центр качаний или центр тяжести?
5.Что называют моментом силы, моментом импульса?
6.Сформулировать и доказать теорему Гюйгенса-Штейнера.
7.Найти моменты инерции стержня, кольца, диска, цилиндра, конуса, шара, тела вращения.
8.Вывести формулы для нахождения периодов колебаний физического и математического маятников.
9.Сравнить периоды колебаний физического и математического маятников, если длина математического маятника равна расстоянию от точки подвеса до центра масс физического маятника.
10.Доказать свойство обратимости физического маятника.
11.Вывести формулу для подсчета погрешности.
Рекомендуемая литература
1.Сивухин Д.В. Общий курс физики / Д.В. Сивухин. - М.: Наука, 1989. - Т.1: Механика. – С. 179 - 189, 225 - 229.
2.Матвеев А. Н. Механика и теория относительности / А.Н. Матвеев. – М.: Высш. шк., 1976. – С. 298 - 317.
3.Савельев И.В. Курс общей физики / И.В. Савельев. – М.: Наука, 1982. - Т.1: Механика. Молекулярная физика. – С. 105 - 111, 131 - 134, 190 - 199.
4.Стрелков С.П. Механика / С.П. Стрелков. – М.: Наука, 1975. – С. 211 - 215.
5.Хайкин С.Э. Физические основы механики / С.Э. Хайкин. - М.: Наука, 1971. – С. 297 - 304, 398 - 412.
6.Физический практикум. Механика и молекулярная физика / Под ред. В.И. Ивероновой. – М.: Наука, 1967. – С.54 - 60.
7.Лабораторные занятия по физике / Л.Л. Гольдин, Ф.Ф. Игошин, С.М. Козел и др. – М.: Наука, 1983. – С. 123 - 128.