2. Паутинообразная модель с параметрами рынка, изменяющими во времени

В модели время течет непрерывно, , и все параметры являются функциями времени:,,. Поскольку изменение цены происходит на стороне спроса, то спрос зависит от ценыи ее изменения, а предложение зависит только от цены. В каждый момент времени спрос поглощает предложение, т.е..

Используем линейные функции спроса и предложения в следующем виде: ;. Определим равновесные значения цены и объема, приравняв функции спроса и предложения:

. (1.4)

Так как в точке равновесия цена задана рынком, то Значенияив любой момент времени удовлетворяют равенству:

. (1.5)

Вычитаем из выражения (1.5) выражение (1.4) и получим:

.

Как и в дискретной модели вводим обозначение: . Тогда. В новых обозначениях выражение (1.5) принимает вид:

(1.6)

Уравнения (1.5) и (1.6) представляют собой дифференциальные уравнения первого порядка. Обозначаем , тогда. Имеем- дифференциальное уравнение относительно. Используя правило логарифмического дифференцирования, получим:. Решение имеет вид:. При,. Следовательно,. Зная начальную цену, и подставив ее в функцию предложения, всегда можно найти объем продукции, который надо произвести.

Устойчивость равновесия. Сдвиг равновесия. На рынке устанавливается равновесие, если спрос на товар равен его предложению. Объем продукта и его цену называют равновесными. Но равновесие устанавливается редко. Если рыночная цена больше равновесной цены, то на рынке образуется излишек товара; если цена меньше равновесной, то спрос превышает предложение и существует дефицит товара. Равновесие является устойчивым, если после его нарушения рынок приходит в состояние равновесия и устанавливаются прежние равновесные цена и объем. Если же после нарушения равновесия устанавливается новое равновесие (в новой точке), изменяется уровень цены и объема спроса-предложения, то такое равновесие является неустойчивым. Рассмотрим три случая устойчивости равновесия на примере паутинообразной модели.

Случай 1. Для нормального товара наклон кривой предложения положителен, наклон кривой спроса – отрицателен: ;. Если наклон кривой спроса больше наклона кривой предложения и,, то при,- бесконечно малая величина и система приходит в состояния равновесия. Равновесие при названных условиях устойчиво. Эта ситуация представлена на рисунке 1.

Случай 2. Если наклоны кривых спроса и предложения равны, хотя и различаются знаками, ;, то. Тогда,

Рис. 2. Равномерные колебания цены и спроса-предложения на рынке одного товара.

система характеризуется равномерными колебаниями цены и объема (рис.2). На рынке такая ситуация встречается крайне редко.

Случай 3. Если наклон кривой предложения в точке равновесия превышает абсолютное значение (значение по модулю) наклона кривой спроса, то,. Тогда привеличинастановится бесконечно большой, имеет место взрывное колебание и неустойчивое равновесие (рис. 3).

Рис. 3. Взрывное колебание.

Воздействие изменяющихся неценовых факторов спроса и предложения приводит к сдвигу равновесия. Возникшее новое равновесие может также описываться одним из трех вышеприведенных случаев.

3. Модель с включением запасов

В паутинообразной модели цена устанавливалась так, чтобы поглотить все предложение. Запасы товаров или отсутствовали или оставались неизменными. Модель можно расширить, учитывая наличие запасов. Можно выстроить следующую последовательность событий. Поставки товара вливаются в общую массу запасов, и фактический спрос удовлетворяется за счет запасов. В анализе появляется еще один субъект экономических отношений – продавцы товара. Таким образом, производители поставляют товар продавцам, имеющим запасы и реализующих товар, и покупатели. Действие модели начинается с продажи товара покупателям и установления цены в соответствии с размером запасов.

Для дискретного случая, если величина запасов в конце интервала составляет, то изменение запасов в течение этого интервала равно. В зависимости от особенностей установления цены, зависящей от величины запасов, можно построить несколько моделей.

Модель 1. В период продавцы устанавливают цену. Она больше цены, если в предшествующий период запасы уменьшились. Цена повышается пропорционально сокращению запасов:.

Модель 2. В период ценаповышается, если в предшествующий период уровень запасов был ниже равновесного объема. Повышение цены пропорционально нехватке товаров до объема. Цена равна.

Модель 3 рассматривается в непрерывном анализе. В каждый момент времени продавцы устанавливают цену так, что скорость возрастания цены пропорциональна скорости уменьшения запасов:

,

где - положительная величина. Используем линейные функции спроса и предложения:. Тогда имеем:или

(1.7)

В точке равновесия , поэтому

(1.8)

откуда находим равновесную цену .

Вычитаем из уравнения (1.7) уравнение (1.8), получим: . Введем обозначение, тогда. Уравнение модели приобретает вид:. Обозначим, тогда. В итоге имеем- дифференциальное уравнение относительно.

Используя правило логарифмического дифференцирования, нахождения производной логарифма сложной функции, получим: . Решение имеет вид:. При,. Следовательно,. Зная начальную цену, и подставив ее в функцию предложения, всегда можно найти объем продукции, который надо произвести.

В случае нормальных товаров ,, и множительпри, стремится, а. Это справедливо для всех значений. Величинаопределяет скорость приспособления цены к изменению запасов. Чем больше, тем быстрееприближается к равновесной цене.