2. Предельный расход по полезности и предельный расход по цене продукта (лемма Шепарда).

Предельный расход по полезности равен множителю Лагранжа:

(1.24)

Пусть есть решение задачи →_, на условный экстремум. Тогда имеем тождества

(1.25)

Равенство является тождеством поПродифференцируем последнее выражение поПолучим

(1.26)

Продифференцируем функцию расходов по максимальной полезности.

В преобразованиях использовалась подстановку значений цен из (1.25) и (1.26). Утверждение (1.24) доказано.

Полученный вывод позволяет оценить новый минимальный уровень расхода потребителя , который получим при относительно малом изменении максимально возможной общей полезности на, т.е. при. Он приблизительно равенприПриближенное равенство означает, что при увеличении уровня полезности, например, на одну единицу, потребителю необходимо существенно увеличить расход.

Лемма Шепарда о предельном расходе по цене продукта утверждает, что предельный расход по цене одного из продуктов равен объему этого продукта в оптимальном наборе.

(1.27)

Продифференцируем равенство по пе_{ременной цене. Получим выражение предельной полезности по цене продукта:}

. (1.28)

_Имеем

В преобразованиях использованы подстановки: необходимое условие максимума функции Лагранжа(1.25) и предельная полезность по цене продукта (1.28).

Выражение для доказывается аналогично.

Выражение цен в равенстве (1.25) позволяет оценить новый минимум расхода , который при относительно малом изменении цены, например, имеет вид:. Отсюда следует. Минимальное значениеприприблизительно равно минимальному значениюпри.

Для любого условия (1.4.4) имеют вид:

Взаимосвязь между решением задач максимизации функции полезности и минимизации расходов представлена ниже.

Задача максимизации функции полезности имеет вид:	Задача минимизации расходов

Используем решения задач максимизации функции полезности и минимизации расходов для вывода уравнения Е. Слуцкого и для представления его в коэффициентах эластичности.