3. Предельная полезность по доходу и предельная полезность по цене продукта (тождество Роя)

Рассмотрим предельную полезность по доходу и предельную полезность по цене продукта для случая приобретения потребителем двух товаров. Выводы естественным образом переносятся на случай любого числа товаров .

Значения - представляют собой решение задачи потребления - оптимального положения рационального потребителя в экономике. Покажем, что предельная полезность по доходу

(1.15)

равна множителю Лагранжа . Длявыполняются необходимые условия оптимальности

(1.16)

Равенство является тождеством по переменнымПродифференцируем его по доходу, получимТак както, что и требовалось доказать.

Вывод (1.15,2.3) позволяет оценить максимальное значение общей полезности при условииПри относительно малом изменении доходамножитель Лагранжа мал так, что для заметного увеличения полезности приобретаемого набора необходимо значительно увеличить расход потребителя, что следует из.

_{Косвенная функция полезности по определению есть максимум функции общей полезности при наличии бюджетного ограничения, есть функция цен и дохода потребителя.}

_{Изменение значения косвенной функции полезности, вызванное изменением цены одного из товаров, является произведение} т.е.

_(1.17)

Решение задачи Лагранжа получено из необходимых условий максимума функции полезности. Продифференцируем тождествопо переменным ценам товаров. Получим

(1.18)

_Тогда

Значение определено из условия (1.18,2.5). Аналогично можно показать, что.

Условия (1.16) позволяют оценить новый функции полезности, который имеет место при относительно малом изменении цены:

_{Таким образом, для любого числа товаров предельная полезность косвенной функции полезности по доходу и по ценам равна:}

, ,…,_.

1. Предельный расход по полезности и предельный расход по цене продукта

Рациональный потребитель стремится приобрести набор, имеющий максимальную полезность. Возникает вопрос, как достичь такого уровня полезности с наименьшими расходами? Решим задачу минимизации расхода потребителя при фиксированном уровне полезности – максимально возможном уровне полезности методом Лагранжа. Исходные условия задачи;

→(1.19)

(1.20)

Функция Лагранжа сформулированной задачи имеет вид:

. (1.21)

Запишем необходимые условия минимизации издержек - условия первого порядка.

(1.22)

Получили систему уравнений с тремя неизвестными. Решение системы называется критической точкой функции Лагранжа. Критическая точка без координаты, т.е.называется короткой точкой. Система имеет единственное решение, представленное функциями:

Первые два уравнения называются функциями спроса потребителя по Хиксу на первый и второй товары или функциями компенсированного спроса. Функции спроса по Хиксу подставляем в функцию бюджетного ограничения, получим выражение:

Функция называется функцией расходов. Она зависит от цен и максимальной величины общей полезности набора, но явно не зависит от объемов приобретаемых потребителем продуктов. С ростом полезности оптимального набора и неизменных ценах расходы потребителя увеличиваются. Если растет цена хотя бы одного товара, что уменьшает полезность набора, то для достижения потребителем исходного уровня полезности его расходы должны увеличиться. Если цены товаров растут в одинаковой пропорции, то расходы потребителя для достижения оптимального уровня полезности должны вырасти в такой же пропорции.

_{Функция расходов растет по цене убывающим темпом, что обусловлено замещением более дорогого товара относительно более дешевым в оптимальном наборе.}

_{Свойства функции расходов состоят в следующем. Функция расходов однородна первой степени по переменным ценам продуктов. Доказательство}

Если максимальная полезность растет, то и расход потребителя растет. Функция расходов непрерывна по ценам и дважды дифференцируема.

_{Функции спроса являются однородными нулевой степени по перемен}ным ценам так, что для любого положительного числа выполняется равенство: Доказательством служат следующие выражения:

→, (1.23)

_{Задачи на нахождение набора, имеющего максимальную полезность для потребителя (1.1, 1.3), минимизации расходов потребителя при фиксированном} уровне полезности(1.19 - 1.21) имеют одно и тоже решение .

Функция спроса по Хиксу непрерывна. Доказательство не приводится.

Для любого числа продуктов в наборе функции спроса по Хиксу имеют вид:Объемы продуктов, входящих в потребительскую корзину, имеющей максимальную полезность, являются функциями цен и набора максимальной полезности.