Исследование функций взаимной корреляции случайных процессов и их производных

1. Цели работы:

Исследование функций взаимной корреляции стационарных случайных процессов и их производных, изучение методов аппаратурного корреляционного анализа совокупности случайных процессов.

2. Некоторые сведения из теории случайных процессов:

Функцией взаимной корреляции случайных процессов X(t) и Y(t) называется смешанный центральный момент второго порядка системы двух сечений Х(t₁), Y(t₂), рассматриваемый как функция моментов времени t₁ и t₂:

(1)

где W(x₁,y₂) – плотность вероятности системы случайных величин X₁ и Y₂;

x₁, y₂ – значения сечений X(t₁) и Y(t₂) соответственно;

m_x1, m_y2 – математические ожидания сечений X(t₁) и Y(t₂).

В случае стационарных и стационарно связанных случайных процессов X(t) и Y(t) функция взаимной корреляции не зависит от значений моментов времени t₁ и t₂, а зависит от их разности τ = t₁ - t₂.

Функция взаимной корреляции К_ху(τ) характеризует линейную статистическую связь стационарных и стационарно связанных случайных процессов X(t) и Y(t) в зависимости от их временного сдвига относительно друг друга. В точках, где значения функции взаимной корреляции К_ху(τ) равны нулю линейная зависимость Y(t) от X(t) и наоборот отсутствует.

Рассмотрим основные свойства функции взаимной корреляции . Здесь угловые скобки означают вычисление математического ожидания. Предполагается также, что процессыX(t) и Y(t) имеют нулевые математические ожидания. При выборе индексов обозначения функции К_ху(τ) на первое место условно ставится опережающий процесс. Отсюда следует:

(2)

Таким образом перемена порядка следования индексов эквивалентна изменению знака переменной τ.

В общем случае функция корреляции К_ху(τ) не является ни четной, ни нечетной функцией. Поэтому взаимная спектральная плотность мощности процессов X(t) и Y(t) в общем случае является комплексной функцией.

(3)

Рассмотрим ряд конкретных функций взаимной корреляции.

В качестве первого примера найдем функцию взаимной корреляции между процессами на выходе и на входе линейной цепи. Выражение, связывающее выходной и входной процессы в указанном выше случае имеет вид:

(4)

где g(t) – импульсная реакция цепи.

(5)

Полученное выражение справедливо как для переходного, так и для стационарного режима. В стационарном режиме пределы интегрирования могут быть бесконечными, а функция корреляции не зависит от времени. Тогда:

(6)

где К_х(τ) – функция автокорреляции входного процесса Х(t).

Таким образом, функция взаимной корреляции стационарных процессов на выходе и входе линейной цепи равна свертке функции корреляции входного процесса и импульсной реакции цепи.

Применяя к левой и правой части (6) преобразование Фурье в форме, представленной равенством (3), можно получить:

(7)

где S_yx(jω) – взаимная спектральная плотность мощности процессов Y(t) и X(t);

K(jω) – коэффициент передачи цепи;

S_x(ω) – спектральная плотность мощности процесса X(t).

Взаимная спектральная плотность мощности входного X(t) и выходного Y(t) процесса может быть получена обращением по Фурье взаимной функции корреляции K_xy(τ), которая связана с K_yx(τ) равенством (2).

(8)

где проведена замена переменной интегрирования τ на –θ.

Используя полученное выражение и равенство (7), можно получить выражение для взаимной спектральной плотности процессов на входе и выходе линейной цепи:

(9)

Полученные результаты можно использовать для исследования функции взаимной корреляции случайного процесса и его производной по времени.

Как известно из теории цепей, коэффициент передачи дифференцирующей цепи, процесс на выходе которой равен производной входного процесса, можно представить выражением:

(10)

В этом случае функция взаимной корреляции производной случайного процесса и исходного процессаX(t) может быть записана в виде:

(11)

Таким образом, функция взаимной корреляции между производной и случайным процессом равна производной функции корреляции случайного процесса.

Отметим основные свойства функции взаимной корреляции , где– производная процессаX(t).

1. Известно, что функция корреляции K_x(τ) стационарного случайного процесса является чётной функцией τ и в точке τ=0 имеет максимум, равный дисперсии. Следовательно, функция взаимной корреляции является нечетной функцией и, то есть в одинаковые моменты времени стационарный процесс и его производная не коррелированны, а в случае нормального распределенияX(t) и независимы.

2. Если функция корреляции K_x(τ) недифференцируемая, то случайный процесс X(t) считается недифференцируемым.

3. В связи с тем, что функция K_x(τ) в начале координат максимальна, то ее производная при τ = 0 равна нулю. Поэтому при монотонном характере функции корреляции K_x(τ) при τ > 0 ее производная отрицательна, а при τ < 0 положительна. В силу того, что функция корреляции K_x(τ) является четной, то функция не четна. При увеличении абсолютного значенияτ функция взаимной корреляции стремится к нулю.

Рассмотрим функции взаимной корреляции случайных процессов на выходах цепей б) и в) лабораторной работы № 4 (см. рисунок 2 работы № 4) и их производных. Принципиальные схемы цепей б) и в) представлены на рисунке 1.

Рисунок 1 – Принципиальные схемы цепей, формирующих

случайные процессы X₂(t) и X₃(t)

Резистор R в цепи в) может быть замкнут специальным проводником.

Нормированные корреляции процессов X₁(t) и X₃(t) имеют вид:

(12)

где T=RC;

(13)

где ,,,

r – сопротивление потерь в катушке индуктивности цепи в).

Равенство (13) получено в предположении, что резистор R замкнут (на схеме рисунка 1,в отсутствует).

Аналогично, функция взаимной корреляции случайного процесса X₂(t) и его производной по времени равна:

(14)

где – функция гиперболического синуса.