4.2. Проблема оптимальности для многокритериальных зпр

Не существует единого принципа оптимальности для многокритериальных задач, так как понятие векторного оптимума не определено.

Два парето-оптимальных исхода не сравнимы относительно доминирования по Парето.

Парето-оптимальное множество M_п — это лучшее, что может предложить математика, если о задаче нет никакой дополнительной информации.

4.3. Выбор альтернатив в парето-оптимальном множестве

Распространение получил следующий подход к решению многокритериальных ЗПР.

После получения парето-оптимального множества M_п производится его сужение.

Этот подход применим только при наличии дополнительной информации о критериях или о свойствах оптимального решения.

4.3.1. Указание нижних границ критериев

Укажем для каждого из критериев нижние границы. Пусть число _j рассматривается как нижняя граница по j-му критерию.

Таким образом, дополнительная информация об оптимальном исходе

a^*  A имеет вид f_j(a^*) ≥ _j, j = 1, …, k.

Наложим на оптимальное решение, например, следующие ограничения: З  16000 руб. Д  38 дней В  -60 мин.

Получим M_п = {4, 7} (таблица 4.3).

Таблица 4.3 – Сужение множества Мп
Альтер-нативы	Критерий
	З (руб.)	Д (дни)	В (мин.)
4	18000	40	-50
7	19000	38	-60

Окончательный выбор оптимальной альтернативы предоставляется ЛПР.

Основной недостаток метода — субъективизм при выборе оптимального решения. Он проявляется, во-первых, при выборе нижних границ критериев и, во-вторых, при выборе окончательного решения из множества М_п.

4.3.2. Субоптимизация

В качестве основного выделяют один из критериев, например, f₁, а по остальным назначают нижние границы: f_j(a) ≥ _j, j = 2, …, k.

Оптимальным считается исход a^*  A, максимизирующий критерий f₁ (при позитивности критерия), у которого оценки исхода a^* по остальным критериям не меньше назначенных.

Выделим, например, в качестве основного критерий З. Назначим нижние границы для остальных критериев: Д  35 дней и В  -50 мин.

Тогда таблица 4.2 преобразуется в таблицу 4.4:

Таблица 4.4 – Сужение множества Мп
Альтер-нативы	Критерий
	З (руб.)	Д (дни)	В (мин.)
3	19000	36	-40
4	18000	40	-50
5	14000	60	-15

Из трёх альтернатив максимальную зарплату имеет альтернатива 3. Этот вариант и будет оптимальным.

Выделение одного из критериев в качестве основного, а также указание нижних границ для остальных критериев основано на дополнительной информации о задаче, которую даёт ЛПР. Поэтому оптимальное решение, как и в предыдущем методе, имеет субъективный характер.

4.3.3. Лексикографическая оптимизация

Критерии упорядочиваются по относительной важности. Упорядочим критерии, например, следующим образом: З > Д > В.

Максимальное значение по критерию З в табл. 4.2 имеют альтернативы 3 и 7 (таблица 4.5):

Таблица 4.5 – Сужение множества Мп
Альтер-нативы	Критерий
	З (руб.)	Д (дни)	В (мин.)
3	19000	36	-40
7	19000	38	-60

По второму по значимости критерию оптимальной будет альтернатива 7.

Основные недостатки подхода — трудности в полной упорядоченности критериев по их важности и фактический учёт только одного критерия. На первом шаге отбираются исходы, имеющие максимальную оценку по важнейшему критерию. Второй критерий учитывается, только тогда, если по важнейшему критерию максимальную оценку имеют более одного исхода.