4.3. Принципы кодирования, исправляющего ошибки

4.3.1. Коды, исправляющие ошибки

Помехоустойчивое кодирование передаваемой информации позволяет в приемной части системы обнаруживать и исправлять ошибки. Коды, применяемые при помехоустойчивом кодировании, называются корректирующими ко­дами или кодами, исправляющими ошибки.

Если применяемый способ кодирования позволяет обнаружить ошибочные кодовые комбинации, то в случае приема изображения можно заменить приня­тый с ошибкой элемент изображения на предыдущий принятый элемент или на соответствующий элемент предыдущей строки или предыдущего кадра. При этом заметность искажений на экране телевизионного приемника существенно уменьшается. Такой способ называется маскировкой ошибки.

Более совершенные корректирующие коды позволяют не только обнаруживать, но и исправлять ошибки. Как правило, корректирующий код может ис­правлять меньше ошибок, чем обнаруживать. Количество ошибок, которые кор­ректирующий код может исправить в определенном интервале последователь­ности двоичных символов, например, в одной кодовой комбинации, называется исправляющей способностью кода.

Основной принцип построения корректирующих кодов заключается в том, что в каждую передаваемую кодовую комбинацию, содержащую k информаци­онных двоичных символов, вводят р дополнительных двоичных символов. В результате получается новая кодовая комбинация, содержащая двоичных символов. Такой код будем обозначать . Доля информационных символов в нем характеризуется относительной скоростью кода, определяе­мой соотношением

.

Количество возможных кодовых комбинаций кода равно . Из них передаваться могут кодовых комбинаций, называемых разрешенными. Остальные кодовые комбинации являются запрещенными. Появление одной из этих запрещенных комбинаций в приемной части означает, что имеется ошибка.

Для оценки способности кода обнаруживать и исправлять ошибки использу­ется понятие кодового расстояния (расстояния Хемминга). Кодовое расстоя­ние между кодовыми комбинациями и определяется как число дво­ичных разрядов, в которых эти комбинации различаются. Например, кодовое расстояние между кодовыми комбинациями 0001 и 0011 равно 1, а между ком­бинациями 0000 и 1111 равно 4.

Если разрешенные кодовые комбинации выбраны таким образом, что при изменении любого двоичного символа разрешенная кодовая комбинация пере­ходит в запрещенную, то корректирующий код позволяет обнаруживать одиночные ошибки в отдельных кодовых комбинациях.

Одиночная ошибка переводит исходную кодовую комбинацию в кодовую комбинацию, отстоящую от нее на d = 1. Следовательно, для обнаружения одиночных ошибок необходимо, чтобы кодовое расстояние между любыми двумя разрешенными кодовыми комбинациями корректирующего кода было не менее 2. Для обнаружения r₁ ошибок в кодовой комбинации необходимо, чтобы кодовое расстояние между двумя разрешенными кодовыми комбинациями удовлетворяло неравенству .

Один из самых простых и известных примеров помехоустойчивого кодиро­вания – проверка на четность. В каждую кодовую комбинацию вводится один дополнительный двоичный символ х_р, называемый контрольным или провероч­ным битом. Этот бит устанавливается равным 1, если сумма единиц в исходной кодовой комбинации равна нечетному числу, и равным 0 в противоположном случае. Данное правило выражается соотношением

,

где – двоичные символы исходной кодовой комбинации.

Если в приемной части системы один из двоичных символов кодовой комби­нации принят с ошибкой, значение контрольного бита не будет удовлетворять равенству . Это несоответствие будет обнаружено специальной схемой и явится признаком того, что произошла ошибка. Таким образом, проверка на четность позволяет обнаруживать одиночные ошибки, но не позволяет их ис­правлять (рис. 4.3). Код с одной проверкой на четность, обнаруживающий только одиночные ошибки, применяется в тех случаях, когда необходимо лишь контролировать качество передачи, например, в каналах связи с достаточно малой вероятностью ошибки.

Д

Рис. 4.3. Схема обнаружения одной ошибки в кодовом слове

ля исправления одиночных ошибок необходимо, чтобы кодовое расстояние между любыми двумя разрешенными кодовыми комбинациями корректирующе­го кода было не менее 3. В этом случае принятая запрещенная кодовая комби­нация заменяется ближайшей к ней разрешенной кодовой комбинацией. Так как ошибки одиночные, то переданная разрешенная кодовая комбинация от­стоит от принятой запрещенной кодовой комбинации на 1, а остальные разре­шенные кодовые комбинации – не менее чем на 2. В этом случае ошибка на­дежно исправляется. В общем случае для коррекции r₂ ошибок в кодовой ком­бинации кодовое расстояние d между любыми двумя разрешенными кодовыми комбинациями должно удовлетворять неравенству .

Для увеличения кодового расстояния между разрешенными кодовыми ком­бинациями необходимо увеличивать число р контрольных символов в переда­ваемых кодовых комбинациях. Известно соотношение

,

где – минимальное кодовое расстояние между двумя разрешенными кодо­выми комбинациями. Чтобы при этом относительная скорость кода не стала чрезмерно малой, необходимо в соответствии с увеличивать и число k информационных символов в кодовой комбинации.

Построение кода с заданными n и k может осуществляться разными спосо­бами. Есть хорошо разработанные математические методы решения этой за­дачи и обширная литература. Для цифровых телевизионных систем большое значение имеет возможность коррекции пакетных ошибок, искажающих сразу несколько соседних двоичных символов. Кроме того, при выборе кода для сис­темы цифрового телевидения необходимо обеспечить по возможности простой метод декодирования, так как декодер должен быть в каждом телевизионном приемнике.