Найдем математическое ожидание периода повторяемости mTr . Для это-

го используем формулу математического ожидания дискретной случайной величины

i=1

Обратное соотношение

F (r0 )=1− 1 . (3.16) mTr

Таким образом, среднее значение периода повторяемости экстремальных значений нагрузок может быть выражено через функцию распределения ординат нагрузки.

3.3. Применение закона Гумбеля для исследования снеговых нагрузок

Согласно СП 20.13320.2011 «Нагрузки и воздействия», нормативное значение снеговой нагрузки на горизонтальную проекцию покрытия следует определять по формуле

S0 = 0,7cectμSg ,

45

где ce — коэффициент, учитывающий снос снега с покрытий зданий под действием ветра или иных факторов; ct — термический коэффициент; μ —

коэффициент перехода от веса снегового покрова земли к снеговой нагрузке на покрытие; Sg — вес снегового покрова на 1 м2 горизонтальной поверхности земли для площадок, расположенных на высоте не более 1500 м над уровнем моря, принимается в зависимости от снегового района РФ.

В горных и малоизученных районах, в пунктах с высотой над уровнем моря более 1500 м, в местах со сложным рельефом вес снегового покрова допускается определять в установленном порядке на основе данных ближайших метеостанций Росгидромета. При этом значение Sg следует принимать как превышаемый в среднем один раз в 25 лет ежегодный максимум веса снегового покрова, определяемый на основе данных маршрутных снегосъемок о запасах воды на защищенных от прямого воздействия ветра участках за период не менее 20 лет.

При проектировании вес снегового покрова Sg определяется в зависимости от снегового района согласно карте снеговых районов, приведенной в приложении к СП 20.13320.2011, по табл. 3.2.

Таблица 3.2

Нормативное значение веса снегового покрова

Уровень обеспеченности нормативного значения снеговой нагрузки для данного района формируется на основании представления статистических данных маршрутной снегосъемки о запасе воды в снежном покрове в виде последовательности ежегодных максимумов, которые рассматриваются как выборка независимых случайных величин, распределенных по закону Гумбеля. Вес снежного покрова на поверхности земли в кг/м2 численно равен величине запаса воды в снежном покрове в мм.

Рассмотрим, как определяется нормативная нагрузка Sg и чему равна ее обеспеченность на основе имеющихся статистических данных годичных максимумов запаса воды в снеге, полученных на метеостанции 27 625 Коломна, имеющей следующие координаты: широта 55,13°, долгота 38,73°, высота 112 м. В табл. 3.3 приведены максимальные за каждый год значения запаса воды (веса снегового покрова) с 1968 по 2011 гг. Прочерки в таблице означают отсутствие данных. Таким образом, рассматривается ряд из 41 значения Si (i = 1, 2, …, k = 41). Длительность интервала между значениями d = 1 год.

46

Таблица 3.3

Годичные максимумы запаса воды в снеге по данным маршрутных снегосъемок метеостанции 27 625 Коломна

Используя представленные в табл. 3.3 значения, найдем математическое ожидание и дисперсию веса снежного покрова для рассматриваемого района:

математическое ожидание годичных максимумов mS = 96,44 кг/м2; дисперсия DS = 1618 (кг/м2)2.

Также вычисляем стандарт σS = DS = 40,22 кг/м2 и коэффициент вариа-

ции fS = σS = 0,42 . mS

Находим параметры закона Гумбеля:

Плотность распределения максимумов (рис. 3.3): pS = aS exp{−aS (S −uS )−exp −aS (S −uS ) }=

= 0,032exp{−0,032(S −78,34)−exp −0,032(S −78,34) }.

Функция распределения максимумов (рис. 3.4):

FS = exp{−exp −aS (S −uS ) }= exp{−exp −0,032(S −78,34) }.

47

0.015

0.01

pq(x)

5×10−3

Рис. 3.3. Плотность распределения случайной величины ежегодных максимумов веса снежного покрова. Коломна, 1968—2011 гг.

1

0.8

0.6

Fq(x)

0.4

0.2

Рис. 3.4. Функция распределения случайной величины ежегодных максимумов веса снежного покрова. Коломна, 1968—2011 гг.

Учитывая, что среднее значение периода повторяемости нормативной снеговой нагрузки составляет 25 лет, найдем значение Sg. Из формулы (3.15) получаем соответствующее mTr =25 значение функции распределения

то есть обеспеченность нормативной снеговой нагрузки Sg составляет 0,96. Для нахождения Sg нужно решить уравнение

FS (Sg )= exp{−exp −0,032(Sg −78,34) }= 0,96

относительно Sg:

48