2.2.3. Логарифмически нормальный закон распределения

Говорят, что случайная величина Y имеет логарифмически нормальное распределение, если ее логарифм lnY = X распределен нормально, то есть если

Математическое ожидание и дисперсию логнормального распределения определяют по формулам:

Кривая этого распределения изображена на рис. 2.9.

Рис. 2.9. Кривая логарифмически нормального распределения

Логарифмически нормальное распределение встречается в ряде технических задач. Оно дает распределение размеров частиц при дроблении, содержаний элементов в минералах в изверженных горных породах, численности рыб в море и т. д. Встречается такое распределение во всех задачах, где логарифм рассматриваемой величины можно представить в виде суммы большого количества независимых равномерно малых величин.

26

Рис. 2.10. График распределения Рэлея

Параметр распределения Рэлея, обычно обозначаемый σ, является модой этого распределения. Его не нужно смешивать со средним квадратическим отклонением σt. Для распределения Рэлея математическое ожидание

График, характеризующий распределение Рэлея, показан на рис. 2.10.

2.2.5. Гамма-распределение

Плотность гамма-распределения

где Г(r) = ∞∫ur−1e−udu — гамма-функция.

0

В теории надежности гамма-распределение обычно используется при целом r. При r = 1 получается показательное распределение. В данном случае показательное распределение — это распределение наработки до первого отказа. При целом r >1 гамма-распределение является распределением суммы r независимых случайных величин, каждая из которых имеет показательное распределение с параметром λ0 =1/ mt0 . Гамма-распределение при целом

r иногда называют распределением Эрланга. Для такого распределения:

27

Рис. 2.11. Графики гамма-распределения: а — функции надежности; б — кривые распределения наработки до появления r отказов; в — интенсивности отказов

При больших r гамма-распределение сходится к нормальному распределению с параметрами

mt0 = rmt ; σ2t0 = rσ2t .

2.2.6. Равномерный закон распределения

Случайная величина Х называется распределенной равномерно на отрезке [а,b], если ее плотность распределения вероятностей постоянна на дан-

Все возможные значения равномерно распределенной случайной величины лежат в пределах некоторого интервала; кроме того, в пределах этого

28

интервала все значения случайной величины одинаково вероятны (обладают одной и той же плотностью вероятности). Равномерное распределение реализуется в экспериментах, где наудачу ставится точка на отрезке [а,b]. Рав-

номерно распределенная случайная величина встречается также в измерительной практике при округлении отчетов измерительных приборов до целых делений шкал. Ошибка при округлении отчета до ближайшего целого деления является случайной величиной Х, которая может принимать с постоянной плотностью вероятности любое значение между двумя соседними целыми делениями.

Математическое ожидание и дисперсия равномерно распределенной случайной величины равны соответственно:

График плотности равномерного распределения изображен на рис. 2.12.

Рис. 2.12. Плотность вероятности равномерного распределения

В качестве примера применения равномерного закона распределения можно привести задачу моделирования микротрещин, возникающих вокруг заполнителя в бетонном образце (рис. 2.13, а), с последующим их развитием при увеличении нагрузки вплоть до разрушения (рис. 2.13, б). Условно принято, что заполнитель имеет круглую форму. Расчет проводился в ПК

«Abaqus 6.13».

2.2.7. Треугольное распределение

Треугольное распределение характеризует случайные величины, имеющие ограниченную область возможных значений (tн, tk). Положение и форму треугольного распределения характеризуют три параметра: tн, tk — границы области возможных значений; tм — мода (рис. 2.14).

Если обозначить значение плотности распределения в точке моды

29

Рис. 2.14. Треугольное распределение случайной величины: a — графики плотности распре-

деления f(t) и интенсивности отказов; λ(t); б — график функции надежности p(t)

31