06-09-2015_14-13-46 / Матрицы. Таможня. 2015

ГЛАВА 1. Элементы линейной алгебры.

§ 1. Матрицы.

1. Основные понятия

Матрицей называется прямоугольная таблица, составленная из элементов некоторого множества:

или

Первый индекс обозначает номер строки, второй — номер столбца, в которых стоит выбранный элемент.

Матрица имеет размерность , если у неё строк и столбцов.

Для обозначения матриц употребляются символы: , , , , , , и т.д.

Квадратными порядка называются матрицы, у которых число строк равно числу столбцов, т.е. .

В частности, матрица порядка 1 отождествляется с её элементом, т.е. любое число — частный случай матрицы.

Главную диагональ квадратной матрицы составляют её элементы , ,…, .

Диагональной называется квадратная матрица, у которой все недиагональные элементы равны нулю ( при ).

Например, — диагональная квадратная матрица размерности 3 с элементами 1, 2, 3 по главной диагонали.

Единичной называется диагональная матрица, все элементы которой равны единице; единичная матрица обозначается или , где — порядок матрицы.

, , .

Ступенчатой называется матрица:

, где .

Например, — не ступенчатая,

— ступенчатая.

Верхней (нижней) треугольной матрицей называется квадратная матрица, все элементы которой, расположенные ниже (выше) диагонали равны нулю.

— верхняя треугольная матрица;

— нижняя треугольная матрица.

Например, — верхняя треугольная матрица, — нижняя треугольная матрица.

Нуль-матрицей (нулевой матрицей) размерности , обозначаемой , называется матрица, все элементы которой равны нулю.

Равными, называются матрицы и , если они имеют одинаковые размерности, т.е. , и элементы этих матриц, занимающие одну и ту же позицию, равны, т.е. .

Например, если , , то .

1.2 Основные операции над матрицами

Сложение матриц. Суммой двух матриц и одной и той же размерности называется матрица той же размерности такая, что .

Итак, можно складывать только матрицы одной и той же размерности. При сложении матриц складываются соответствующие элементы.

Пример 1.6. Найдите сумму матриц и .

— нуль-матрица размерности .

Из определения суммы следует, что сложение матриц подчинено:

а) коммутативному закону ;

б) ассоциативному закону

;

в) — закон поглощения нуля.

Умножение матрицы на число. Произведением матрицы на число (или на матрицу ) называется матрица , где , т.е. при умножении матрицы на число надо все элементы матрицы умножить на это число.

Пример 1.7.

2.

Свойства операции умножения матрицы на число:

а) (ассоциативность);

б) (дистрибутивность относительно сложения чисел);

в) (дистрибутивность относительно сложения матриц);

г) .

Пример 1.8.

Найдите , где , .

.

Умножение матриц.(для самостоятельного ознакомления) Произведением матрицы размерности на матрицу размерности называется матрица размерности такая, что , , .

Умножать матрицы и можно лишь в том случае, когда число столбцов первого сомножителя (число элементов в каждой строке матрицы ) совпадает с числом строк второго сомножителя (число элементов в каждом столбце ). В частности для квадратных матриц одинакового порядка определены оба произведения и , и матрицы произведения являются матрицами того же порядка

Пример 1.9. Пусть , . Найдите произведения и (если это возможно).

.

Произведение не существует, так как число столбцов матрицы не совпадает с числом строк матрицы .

Пример 1.10. Пусть , . Найдите произведения и (если это возможно).

.

.

Из приведенных выше примеров ясно, что в общем случае .

Коммутирующими называют матрицы и , если для них выполнено условие .

Свойства операции умножения матриц:

а) ассоциативность: если определено одно из произведений или , то определено также и второе произведение, и имеет место выше приведённое равенство;

б) дистрибутивность: если — такая матрица, что определено произведение , то определены произведения и и верно равенство ( и — матрицы одинаковых размеров);

в) дистрибутивность: если — такая матрица, что определено произведение , то определены произведения и и верно равенство ( и — матрицы одинаковых размеров);

г) .

1.3 Транспонированная матрица

Транспонированием матрицы называется такое её преобразование, при котором строки этой матрицы становятся её столбцами с теми же номерами.

, .

Транспонированная матрица обозначается или .

Свойства операции транспонирования:

1. ; 2. .

Если , т.е. , то матрица называется симметрической.

Пример1.11. Транспонируйте матрицу .

.

1.4 Элементарные преобразования матрицы.

Преобразования матрицы являются элементарными, если:

а) все строки заменить столбцами;

б) поменять местами две строки (два столбца);

в) умножить каждый элемент строки (столбца) на один и тот же множитель, отличный от нуля;

г) прибавить к элементам одной строки (столбца) соответствующие элементы другой строки (другого столбца), умноженные на один и тот же множитель.

Эквивалентными называются матрицы и , если одна из другой получаются с помощью элементарных преобразований. Эквивалентность матриц и обозначают следующим образом: ~.

Пример 1.13. Привести матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований:

.

~~

~.

§ 2. Определители.

2.1. Основные понятия

2.2. Свойства определителей

1. Определитель не изменится, если строки определителя заменить столбцами, а столбцы — соответствующими строками.

2. Общий множитель элементов любой строки (или столбца) может быть вынесен за знак определителя.

3. Если элементы одной строки (столбца) определителя соответственно равны элементам другой строки (столбца), то определитель равен нулю.

4. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный.

5. Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить соответственно элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.