РБ_лаб_практикум
.pdfэкспериментальное значение вероятности pkЭ наблюдения k импульсов:
pkЭ = nNk ;
теоретическое значение вероятности pkТ наблюдения k импульсов в предпо-
ложении справедливости закона Пуассона по формуле (2.3), которую для упроще- ния расчетов удобно переписать в виде:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pkТ = pkТ−1 |
k , p0Т |
= e− |
|
. |
|
|||||
|
|
|
k |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|||
8. Результаты занесите в таблицу 2.1. |
|
|
|
|
Таблица 2.1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N = 250 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
k |
nk |
|
|
k |
|
|
|
|
pkЭ |
pkТ |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kmax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kmax |
= 1 . |
9. Убедитесь в выполнении условия нормировки å pkЭ |
k=0
10. Оцените степень достоверности гипотезы о применимости распределе- ния Пуассона для описания распределения фонового γ-излучения. Для этого ис- пользуйте критерий согласия χ2. Критерий согласия χ2 позволяет оценить вероятность того, что наблюдаемые на опыте результаты соответствуют ожидае- мому распределению (в нашем случае – распределению Пуассона). Для примене-
ния этого критерия надо из экспериментальных и теоретических распределений вероятностей рассчитать случайную величину χ2 по следующему правилу:
m |
(pЭ − pТ )2 |
|
||
χ 2 = N å |
i |
|
i |
, |
|
Т |
|
||
i=1 |
|
pi |
|
|
где N – число измерений (число опытов), m – число наблюдаемых в эксперименте значений k.
χ кр2 |
Полученную |
величину χ2 следует сравнить с критическим |
значением |
. (таблица 2.2), |
которое для разного числа степеней свободы r = |
m – 2 дает |
|
оценку вероятности w справедливости гипотезы. |
|
11
Таблица 2.2. Значения χкр2 .
r |
|
|
w |
|
|
|
|
0,99 |
0,95 |
0,7 |
|
0,5 |
0,05 |
0,01 |
|
|
|
||||||
1 |
0,00 |
0,00 |
0,15 |
|
0,45 |
3,84 |
6,63 |
2 |
0,02 |
0,10 |
0,71 |
|
1,39 |
5,99 |
9,21 |
3 |
0,11 |
0,35 |
1,42 |
|
2,37 |
7,81 |
11,34 |
4 |
0,30 |
0,71 |
2,19 |
|
3,36 |
9,49 |
13,28 |
5 |
0,55 |
1,15 |
3,00 |
|
4,35 |
11,07 |
15,09 |
6 |
0,87 |
1,64 |
3,83 |
|
5,35 |
12,59 |
16,81 |
7 |
1,24 |
2,17 |
4,67 |
|
6,35 |
14,07 |
18,48 |
8 |
1,65 |
2,73 |
5,53 |
|
7,34 |
15,51 |
20,09 |
9 |
2,09 |
3,33 |
6,39 |
|
8,34 |
16,92 |
21,67 |
10 |
2,56 |
3,94 |
7,27 |
|
9,34 |
18,31 |
23,21 |
11 |
3,05 |
4,57 |
8,15 |
|
10,34 |
19,68 |
24,73 |
12 |
3,57 |
5,23 |
9,03 |
|
11,34 |
21,03 |
26,22 |
13 |
4,11 |
5,89 |
9,93 |
|
12,34 |
22,36 |
27,69 |
14 |
4,66 |
6,57 |
10,82 |
|
13,34 |
23,68 |
29,14 |
15 |
5,23 |
7,26 |
11,72 |
|
14,34 |
25,00 |
30,58 |
16 |
5,81 |
7,96 |
12,62 |
|
15,34 |
26,30 |
32,00 |
17 |
6,41 |
8,67 |
13,53 |
|
16,34 |
27,59 |
33,41 |
18 |
7,01 |
9,39 |
14,44 |
|
17,34 |
28,87 |
34,81 |
19 |
7,63 |
10,12 |
15,35 |
|
18,34 |
30,14 |
36,19 |
20 |
8,26 |
10,85 |
16,27 |
|
19,34 |
31,41 |
37,57 |
вости менее 1 %.
Из расчета χ2 видно,
что чем меньше различие экспериментальных и теоре- тических вероятностей, тем меньше будет величина χ2 и, следовательно, тем более правдоподобной будет про- веряемая гипотеза.
Поясним на конкретном примере, как пользоваться приведенной таблицей. Пусть при m = 14 (r = 14 – 2 = 12) получено χ2 = 7,35.
Это значение надо сравнить с наименьшим χкр2 . таким, чтобы выполнялось нера- венство χ кр2 . > χ2 . В данном случае χ кр2 . = 9,03 и соответ-
ствующая этому значению вероятность справедливости гипотезы составляет 70 % (w = 0,95). Если же вычис- ленное значение χ2 превы-
шает все χкр2 . данной строки,
то проверяемая гипотеза ошибочна, так как при этом вероятность ее справедли-
Контрольные вопросы
1. Радиоактивный распад. 2. Закон радиоактивного распада. 2. Постоянная распада и ее физический смысл. 3. Период полураспада. 4. Распределение Пуассона и границы его применимости. 5. Связь дисперсии и среднего значения случайной величины в случае распределения Пуассона.
12
Лабораторная работа № 3
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАММА-ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ
Цель работы: изучить основные механизмы взаимодействия гамма- излучения с веществом; проверить закон ослабления узкого пучка гамма-квантов, проходящего через поглотитель; определить массовый коэффициент ослабления вещества и энергию гамма-квантов радиоактивного источника.
1.Теоретическая часть
Кгамма-излучению относят электромагнитные волны, длина волны λ кото- рых меньше межатомных расстояний (λ < 10-10 м). С квантовой точки зрения это излучение представляет собой поток частиц (фотонов), называемых γ-квантами. Гамма-кванты испускаются возбужденными атомными ядрами (при переходе в основное состояние), а также рождаются в процессе торможения электронов в по-
ле ядер (так называемое тормозное излучение, которое при энергиях γ-квантов меньше 100 кэВ называют рентгеновскими лучами). Нижний предел энергии γ- квантов имеет порядок десяти кэВ. Для практических приложений наибольший интерес представляет область от 10 кэВ до 5 МэВ (это область энергий γ-квантов, излучаемых радионуклидами).
Подобно заряженным частицам (и в отличие от нейтронов), пучок γ-квантов поглощается веществом в основном за счет электромагнитных взаимодействий. Однако механизм этого поглощения иной. Во-первых, γ-кванты не имеют элек-
трического заряда и поэтому не подвержены воздействию дальнодействующих кулоновских сил. Взаимодействие γ-квантов с электронами вещества происходит на расстоянии порядка 10-13 м, что на три порядка меньше межатомных расстоя- ний. Поэтому γ-кванты при прохождении через вещество сравнительно редко взаимодействуют с электронами и ядрами, но зато при столкновении, как правило, отклоняются от своего пути, т.е. практически выбывают из пучка. Во-вторых, γ- кванты обладают нулевой массой покоя и, следовательно, не могут иметь скоро- сти, отличной от скорости света. А это значит, что γ-кванты в среде не могут за- медляться. Они либо поглощаются, либо рассеиваются, причем в основном на большие углы, поэтому и выбывают из общего пучка.
Обозначим через n монохроматический поток падающих γ-квантов, т.е. чис- ло частиц, проходящих через единицу площади (1 м2) за 1 с. Пройдя слой вещест- ва толщиной dx, поток уменьшится на величину dn. Так как все акты поглощения и рассеяния γ-квантов происходят независимо друг от друга, то dn пропорцио- нально потоку n и толщине слоя dх:
dn = – μndx. |
(3.1) |
13
Если среда однородная, то коэффициент μ одинаков во всех точках среды, т.е. является константой, не зависящей от x. В этом случае из уравнения (3.1) по- сле интегрирования получаем выражение для потока γ-квантов на выходе из слоя вещества толщиной x:
n = n0 e−μx , |
(3.2) |
где n0 – поток, падающий на этот слой. Величина μ называется коэффициентом ослабления и измеряется в м-1. Коэффициент ослабления зависит от свойств среды и энергии квантов.
Если поглощение идет за счет нескольких различных процессов, то каждому процессу будет соответствовать свой коэффициент ослабления μi, а полный (т.е. входящий в формулу(3.2)) коэффициент ослабления μ будет равен сумме всех μi:
μ = åμi .
i
Поглощение γ-излучения веществом в основном происходит за счет трех процессов: 1) фотоэффекта; 2) эффекта Комптона; 3) рождения электронно- позитронных пар в кулоновском поле ядра. В первых двух процессах γ-кванты сталкиваются с электронами, в третьем – с атомными ядрами.
Фотоэффект – процесс, при котором атом поглощает γ-квант и испускает электрон. Фотоэффект возможен только в атоме. Свободный электрон не может поглотить фотон, так как в этом случае не будут одновременно выполняться зако- ны сохранения энергии и импульса. Вероятность фотоэффекта максимальна для γ- квантов с энергиями Eγ , сравнимыми с энергиями связи ЕСВ. электронов в атомах. При повышении энергии Eγ γ-квантов вероятность этого процесса резко уменьша- ется, поскольку чем меньше ЕСВ. по сравнению с Eγ, тем больше электроны похо- жи на свободные (для которых ЕСВ. = 0). График зависимости вероятности ω фотоэффекта от энергии Eγ представлен на рис. 3.1 (кривая 1).
ω
2 |
3 |
|
1
0,1 |
1,0 |
10 Eγ , МэВ |
|
Рис. 3.1 |
|
14
Энергия связи ЕСВ. электрона в атоме тем больше, чем ближе к ядру элек- тронная оболочка. Вследствие этого фотоэффект идет в основном (примерно на 80%) с самой ближней к ядру оболочки (К-оболочки). Энергия связи электрона в атоме увеличивается с ростом атомного номера z, поэтому фотоэффект тем интен- сивней, чем больше атомный номер вещества. Коэффициент ослабления за счет фотоэффекта μФ пропорционален числу атомов N в единице объема вещества.
После поглощения γ-кванта и выбивания электрона образуется ион, находя- щийся в возбужденном состоянии. Переход иона в основное состояние сопровож- дается испусканием характеристических рентгеновских квантов, энергия которых у тяжелых атомов достигает величины ~0,1 МэВ (0,075 МэВ у свинца). Таким об- разом, фотоэффект на тяжелых атомах сопровождается испусканием достаточно проникающих вторичных фотонов. С увеличением энергии γ-квантов фотоэлек- трическое поглощение отходит на задний план, уступая место эффекту Комптона.
Эффект Комптона заключается в том, что при упругом столкновении γ-кванта со свободным электроном γ-квант передает часть своей энергии электро- ну и отклоняется от первоначального направления распространения. При этом на- блюдается увеличение длины волны рассеянного излучения. Зависимость вероятности эффекта Комптона от энергии γ-квантов Eγ показана на рис 3.1, кри- вая 2. Коэффициент ослабления за счет комптон-эффекта μК пропорционален чис- лу электронов в единице объема вещества, т.е. z·N.
Процесс рождения электронно-позитронных пар в поле ядра состоит в том,
что γ-квант поглощается ядром, а рождаются и вылетают электрон и позитрон. Так как масса покоя γ-кванта равна нулю, то превратиться в пару он может, только имея энергию больше суммы энергий покоя электрона и позитрона 2mec2 = 1,02 МэВ. Поэтому при Eγ < 1,02 МэВ вероятность рождения пар равна нулю. Выше этой энергии вероятность постепенно возрастает (рис. 3.1, кривая 3), a при очень больших энергиях (~500 МэВ) практически стремится к константе. Коэффициент ослабления за счет рождения электронно-позитронных пар μП пропорционален числу атомов N в единице объема вещества.
Полный коэффициент ослабления γ-излучения в веществе представляет со- бой сумму коэффициентов ослабления за счет рассмотренных основных механиз-
мов: |
|
μ = μФ + μК + μП . |
(3.3) |
Первое слагаемое в (3.3) преобладает при низких энергиях γ-квантов, |
вто- |
рое – при средних, а третье – при высоких (см. рис. 3.1). В важной для практики области энергий от 0,5 до 5 МэВ комптон-эффект является преобладающим меха- низмом поглощения, так что коэффициент ослабления μ пропорционален числу электронов в единице объема, т.е. z·N, а следовательно, и плотности вещества ρ.
Поэтому часто используется понятие массового коэффициента ослабления
μ* = μ/ρ , |
(3.4) |
который измеряется в м2/кг.
15
Поскольку способность материала поглощать γ-кванты определяется, в пер- вую очередь, его плотностью и толщиной, вводится массовая толщина погло- щающего слоя χ = x·ρ, которая измеряется в кг/м2. Тогда закон ослабления потока моноэнергетических γ-квантов можно записать в виде:
n = n0e−μ*χ . |
(3.5) |
Как следует из (3.5)
ln n = −μ*χ . n0
Следовательно, если график зависимости ln(n/n0) = f(χ) аппроксимировать прямой, то ее тангенс угла наклона будет равен массовому коэффициенту ослабления. Зная коэффициент ослабления, по известным кривым зависимости μ* от Eγ можно оп- ределить энергию монохроматического пучка γ-квантов.
μ*,
м2/кг
0,01
0,005
0,2 |
|
0,5 |
|
1 |
2 |
Е |
γ, МэВ |
Рис. 3.2
Необходимо отметить, что законы (3.2) либо (3.5) определяют экспоненци- альное ослабление потока γ-квантов только в случае прохождения узких пучков через образцы вещества малого поперечного сечения. В этом случае каждый акт взаимодействия фотона с ядром или электроном, независимо от того, произошло поглощение или рассеяние фотона, приводит к выводу фотона из пучка. При про- хождении γ-квантов через толстые защитные стенки нельзя пренебрегать рассеян- ными и вторичными фотонами. Хотя энергия таких фотонов меньше энергии первичных, а направления их распространения произвольны, тем не менее часть этих γ-квантов достигает границы защитной стенки, и в результате полный поток за пределами защиты оказывается больше, чем вычисленный по формулам (3.2) или (3.5). На практике экспериментально определяется эффективный коэффици- ент ослабления μЭФФ в протяженных защитах, позволяющий вычислять поток γ- квантов по формуле (3.2). Эффективный коэффициент ослабления зависит не
16
только от энергии γ-квантов и атомного номера z вещества, но и от геометрии по- глотителя.
Так как γ-кванты не подвержены воздействию дальнодействующих кулонов- ских сил, то их проникающая способность существенно превышает проникающую способность α- и β-частиц. В биологической ткани проникающая способность α-частиц с энергией 1 МэВ имеет порядок величины 10-5 м, β-частиц – 10-2 м, а γ-квантов – 101 м.
2.Экспериментальная часть
2.1.Описание лабораторной установки
Блок-схема экспериментальной установки для изучения поглощения γ-излу- чения представлена на рис. 3.3, подробное описание подобной установки приведе- но в лабораторной работе № 1.
Высоко- |
|
|
|
|
|
|
|
вольтный |
|
|
|
|
|
|
|
блок питания |
|
|
|
|
|
|
|
ФЭУ-85 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
NaI(Tl)2 |
|
|
|
|
|
|
|
±12 |
+5 |
Пересчетное устройство |
|
В |
|||
25x40 мм |
|
~220 |
|||||
|
В |
В |
(ПСО) |
|
|
||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Поглотитель
Источник γ-излучения
Рис. 3.3
2.2.Порядок выполнения работы
1.Изучите инструкцию по работе с прибором счетным одноактным ПСО2-5.
2.Включите сетевой шнур ПСО в сеть.
3.Включите кнопку «СЕТЬ» прибора (она находится слева на задней стен- ке), при этом загораются индикаторы цифрового табло.
4.Установите переключатели, находящиеся на горизонтальной панели, в положения, отмеченные белыми точками.
5.Установите время экспозиции 100 с.
6.Измерьте число импульсов, вызванных источником γ-излучения, без по-
глотителя и при введении между источником и детектором различного количества поглощающих пластин. Для этого:
1)удалите источник; измерьте число импульсов nФ, вызванное фоновым излу- чением без поглощающих пластин;
17
2)установите источник; измерьте число импульсов nСФ (сигнал+фон), созда- ваемых источником и фоном без поглощающих пластин;
3)определите значение числа импульсов nС, создаваемых источником (сигнал) без поглощающих пластин: nС = nСФ – nФ. Занесите данные в табл. 3.1.;
4)получите у преподавателя наборы свинцовых и медных пластин. Толщина пластин указана на установке. Поместите между источником и детектором
одну пластину поглотителя; согласно подпунктам 1) – 3) определите nС с одной поглощающей пластиной;
5)увеличивайте число поглощающих пластин из одного и того же материала и для каждого количества пластин измерьте nФ и nСФ, а затем вычислите nС;
6)произведите измерения согласно подпунктам 1) – 5) для другого материала поглотителя.
Таблица 3.1
Материал поглотителя |
|
|
Свинец |
|
|
|
|
|
Медь |
|
|
|
|||||
ρ = 11,3·103 кг/м3 |
|
ρ = 8,9·103 кг/м3 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
Количество пластин |
0 |
1 |
|
2 |
|
3 |
4 |
0 |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
поглотителя |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
nФ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nСФ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nС = nСФ – nФ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nС/nС(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln[nС/nС(0)] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Толщина поглощающего слоя, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Массовая |
толщина погло- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
щающего слоя χ = x·ρ, кг/м2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Массовый |
коэффициент |
ос- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лабления μ*, м2/кг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Линейный |
коэффициент |
ос- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лабления μ, м-1
Энергия γ-квантов, МэВ
7. Рассчитайте ln[nС/nС(0)], где nС(0) – значение сигнала при нулевой толщи- не поглощающего слоя. Для исследуемых материалов постройте графики зависимости ln[nС/nС(0)] от массовой толщины поглощающего слоя χ. Определите массовые коэффициенты ослабления μ* свинца и меди по тангенсу угла наклона полученных прямых.
8.Используя графики на рис. 3.2, определите энергию γ-квантов.
9.Пользуясь формулой (3.4), определите линейные коэффициенты ослабле-
ния μ свинца и меди.
18
10. Результаты расчетов занесите в табл. 3.1.
Контрольные вопросы
1. Что такое γ-излучение? 2. Особенности взаимодействия γ-квантов с веществом. 2. Закон ослабления потока γ-квантов слоем вещества. 3. Линейный коэффициент ослабления. 4. Основные процессы поглощения γ-излучения веществом. 5. Массовый коэффициент ослабления. 6. Проникающая способность γ-квантов в сравнении с α- и β-частицами.
19
Лабораторная работа № 4
РАДИОМЕТРИЯ
Цель работы: ознакомиться c понятием и единицами измерения активности вещества; изучить принципы работы, градуировки и практического использования сцинтилляционного гамма-радиометра; определить удельную активность пробы.
1. Теоретическая часть
Активность (А) радиоактивного источника – число радиоактивных распа- дов, происходящих в источнике за единицу времени. Если в источнике за время dt распадается dN атомов, то согласно определению
dN |
|
|
A = dt . |
|
(4.1) |
Воспользовавшись (2.1) и (2.2), получим: |
|
|
A = λN = A e−λt |
, |
(4.2) |
0 |
где A0 = λN0 – активность вещества в начальный момент времени. Из (4.2) видно,
что активность вещества с течением времени уменьшается по экспоненциальному закону. Как и число радиоактивных ядер, за период полураспада активность уменьшается в 2 раза, за 2 периода – в 4, за 3 – в 8 и т.д. Начальная активность
A = λN |
0 |
= |
ln 2 |
N |
0 |
≈ |
0,693 |
N |
0 |
|
|
||||||||
0 |
|
T1/ 2 |
|
T1/ 2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
определяется числом радионуклидов N0 в начальный момент времени и периодом полураспада T1/2. При одном и том же значении N0 она будет выше у радионукли- дов с меньшим T1/2. Вместе с тем, при малом значении T1/2 спад активности проис- ходит быстро, а при большом – наоборот, медленно.
Единица активности в системе СИ – беккерель (Бк). Один беккерель равен одному распаду в секунду. До сих пор используется внесистемная единица активности – кюри (Kи), что соответствует активности 1 г радия. 1 Kи =
10
3,7·10АктивностьБк. радиоактивного источника, приходящаяся на единицу его массы, называется удельной активностью Am:
Am = mA .
Удельная объемная активность – активность источника, приходящаяся на единицу его объема. Удельная поверхностная активность – активность,
приходящаяся на единицу площади поверхности:
20