221010-тервер - решение
.pdf
Контрольная работа №1. Дискретная случайная величина.
Вариант №2.
1. Найти вероятность того, что при случайной раздаче 36 карт четырем игрокам у всех игроков окажутся карты одной масти.
Решение:
При случайной раздаче 36 карт четырем игрокам у всех игроков окажутся по
9 карт. Тогда число всех равновозможных исходов вычислим как число сочетаний:
( |
) |
( |
) |
( |
) |
Определим число благоприятных исходов, т.е. число таких исходов, при которых каждому игроку достанутся карты одной из четырёх мастей:
Тогда искомая вероятность:
( )
Ответ: Р = 1,12·10-18.
2. Задумано 5 чисел из тридцати шести. Их пытаются угадать миллион человек. Найти вероятность того, что все пять чисел угадают ровно два
человека.
Решение:
Вероятность угадать 5 чисел из 36 вычислим по определению вероятности:
число всех равновозможных исходов:
( )
число благоприятных исходов: М = 5! (т.к. порядок появления чисел неважен).
Тогда искомая вероятность угадать 5 чисел из 36:
Формула Бернулли:
( ) |
( |
) |
|
где n – число испытаний, в данном случае – число человек, n = 106;
р – вероятность появления события, |
; q = 1 – р; |
k – число наступления события, k = 2. |
|
Т.к. n велико, а р мало, можно воспользоваться приближённой формулой Пуассона:
( ) |
|
|
( |
) |
|
|
|
||||
( ) |
|||||
|
|
||||
|
|
||||
Ответ: Р ≈ 3∙10-134. |
|
|
|||
3. В первой урне 5 черных и 4 белых шара. Во второй урне 2 черных три белых шара. Из первой урны во вторую кладут один шар. Из второй берут два шара. Найти вероятность того, что они окажутся белые.
Решение:
Обозначим события:
А – шары, выбранные из второй урны, белые;
Н1 – из первой урны переложили чёрный шар.
Вероятность вытащить из первой урны чёрный шар: ( )
Если во вторую урну добавили чёрный шар, то в ней стало 3 чёрных и 3 белых шара (всего 3 + 3 = 6), тогда вероятность вытянуть из неё 2 белых шара:
( )
Н2 – из первой урны переложили белый шар.
Вероятность вытащить из первой урны белый шар: ( )
Если во вторую урну добавили белый шар, то в ней стало 2 чёрных и 4 белых шара (всего 2 + 4 = 6), тогда вероятность вытянуть из неё 2 белых шара:
( )
Найдём полную вероятность, что два шара, выбранные из второй урны, будут белыми:
( ) |
( ) ( |
|
) |
( ) ( |
|
) |
|
|
Ответ: Р = 0,289.
4. У стрелка 4 патрона. Вероятность попадания по мишени при одном выстреле равна 0,5. Стрельба ведется до первого попадания. Случайная величина Х - число израсходованных патронов. Найти закон распределения Х, математическое ожидание, дисперсию.
Решение:
Дискретная случайная величина Х – число израсходованных патронов – имеет следующие возможные значения: 1, 2, 3 и 4.
Найдём вероятность наступления этих событий (р = 0,5 – вероятность попадания при выстреле; q = 1 – р = 0,5 – вероятность промаха):
Попадание с первого выстрела: Р(Х) = р = 0,5
Попадание со второго выстрела: Р(Х) = q · р = 0,5 · 0,5 = 0,25
Попадание с третьего выстрела: Р(Х) = q · q · р = 0,5 · 0,5 · 0,5=0,125
Попадание + промах с четвертого выстрела (потрачено 4 патрона):
Р(Х) = q· q· q· р + q· q· q· q = 0,54 + 0,54 = 0,125
Получим закон распределения:
Х |
1 |
2 |
3 |
4 |
РХ |
0,5 |
0,25 |
0,125 |
0,125 |
Математическое ожидание:
М(Х) = Х1·Р1 + Х2·Р2 + Х3·Р3 + Х0·Р0 = 1·0,5 + 2·0,25 + 3·0,125 + 4·0,125 = 1,875
Дисперсия:
D(Х) = M(Х-M(Х))2 = 12·0,5 + 22·0,25 + 32·0,125 + 42·0,125 – 1,8752 =1,109
Ответ: М(Х) =1,875; D(Х) = 1,109.
Контрольная работа №2. Непрерывная случайная величина.
Вариант №2.
1. Плотность вероятности распределения случайной величины имеет вид
( ) |
( |
) |
|
||||
|
|
|
|
|
. Найти вероятность того, что из 4 независимых случайных |
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
||||
√ |
|||||||
|
|
|
|||||
величин, распределенных по данному закону, две окажутся на интервале
( 2;1). |
|
||||
Решение: |
|
||||
Т.к. |
плотность вероятности распределения случайной величины имеет вид |
||||
( ) |
( ) |
, то величина распределена по нормальному закону с |
|||
|
|
|
|
||
|
√ |
||||
|
|
|
|||
математическим ожиданием а = -1 и среднеквадратическим отклонением σ = 1.
Тогда вероятность попадания случайной величины в интервал ( 2;1):
|
|
|
( |
|
) |
( |
|
) |
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
||||||||
где Ф – функция Лапласа |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
( |
) |
( |
|
) |
( |
|
) |
( |
|
) |
( |
) |
|
|
|
||||||||||
Вероятность того, что из 4 независимых случайных величин, распределенных по данному закону, две окажутся на заданном интервале, вычислим по формуле Бернулли:
( ) |
( |
) |
|
где n – число испытаний, n = 4;
р – вероятность появления события, ; q = 1 – р = 0,1815; k – число наступления события, k = 2.
Тогда искомая вероятность:
( ) |
( |
) |
|
Ответ: Р = 0,132.
2. Найти вероятность того, что из 140 человек более 22 родились в понедельник.
Решение:
Вероятность, что человек родился в понедельник (1 из 7 дней недели) р = 1/7.
Имеем схему Бернулли, где n = 140; р = 1/7 ≈ 0,143.
В 140 опытах событие А произойдёт более 22 раз, т.е. Р = 1- Р140(0 ≤ m ≤ 22). Таким образом, требуется найти Р140(0 ≤ m ≤ 22).
Применим интегральную формулу Муавра-Лапласа:
( |
) |
( ) |
( ) |
√√
√√
( |
) |
( |
) |
( |
) |
Тогда искомая вероятность:
Р = 1 – 0,6844 = 0,3156.
Ответ: Р = 0,3156.
3. Плотность вероятности распределения случайной величины Х имеет вид
( ) { . Найти: 1) значение а; 2) математическое
ожидание Х; 3)дисперсию Х; 4) вероятности P[0,5 < X < 1,5], P[1 < X < 10].
Решение:
Найдем |
коэффициент а, используя свойство плотности распределения: |
|
∫ |
( ) |
. |
Т.к. все значения данной случайной величины заключены на отрезке [0; 2], то
∫ ( ) ∫ |
Получим плотность распределения:
( ) {
Математическое ожидание:
( ) ∫ ( ) ∫ ∫ ∫ |
Дисперсия:
|
( ) ∫ |
( ) |
|
( ( )) |
|
∫ |
∫ |
|
|
|
|
∫ |
( |
|
|
) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
| |
( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Вычислим вероятности: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
[ |
] |
|
|
∫ |
( ) |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
[ |
] |
∫ |
( ) |
|
∫ |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Ответ: а = 0,375; М(Х) = 1,5; D(Х) = 0,15; P[0,5 < X < 1,5] = 0,406; P[1 < X < 10] = 0,875.
4. Случайная величина Х равномерно распределена на отрезке [0;4]. Найти
плотность вероятности распределения случайной величины Y, если √
Решение:
Т.к. случайная величина Х равномерно распределена на отрезке [0;4], то её плотность вероятности:
( ) { |
|
{ |
|
√
на отрезке [0;4] функция определена и монотонна.
( ) |
( |
) |
(√ |
|
) |
Если y ≤ 0, то |
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
(√ |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если 0 < y ≤ (√ |
), то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(√ |
) |
∫ |
∫ |
|
|
|
|
|
|
| |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Если y > 2, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
(√ |
) |
∫ |
∫ |
|
|
|
|
| |
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Функция распределения случайной величины Y имеет вид:
( |
) |
{ |
|
|
|
|
||
|
|
|
||||||
Если 0 < y ≤ 2, то ( ) ( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Плотность распределения случайной величины Y имеет вид: |
||||||||
( |
) |
{ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|||||
Ответ: ( ) {
Контрольная работа №3.
Вариант 2.
Задача 1: В круг радиуса R вписан квадрат. Какова вероятность того, что из 5
независимо и случайно поставленных внутри круга точек, две точки окажутся внутри квадрата?
Решение:
Вероятность того, что одна точка окажется внутри квадрата, вычислим как отношение площади квадрата к площади круга:
R
Вероятность, что из 5 независимо и случайно поставленных внутри круга точек, две окажутся внутри квадрата, вычислим по формуле Бернулли:
( ) |
( |
) |
( |
) |
|
где n – число испытаний, n = 5;
р – вероятность появления события, ; q = 1 – р = 1 – 0,637 = 0,363; k – число наступления события, k = 2.
Ответ: Р = 0,194.
Задача 2: В урне 5 черных и 5 белых шара. Из урны извлекают 5 шаров.
Найти вероятность того, что среди них будет 3 белых.
Решение:
Число всех равновозможных исходов – число сочетаний по 5 из десяти (5
черных + 5 белых) шаров:
( )
Число благоприятных исходов – число сочетаний по 3 из 5 белых шаров:
( )
Тогда искомая вероятность:
Ответ: Р = 0,4.
Задача 3: Найти вероятность отказа цепи, если вероятности отказа элементов соответственно равны q1 = 0,03; q2 = 0,07; q3 = 0,1; q4 = 0,02.
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|||
Вероятность отказа цепи равна 1 (полная вероятность) минус вероятность ее исправности (безотказной работы).
Вероятность работы двух последовательно соединённых элементов,
вероятность безотказной работы которых равна р1 = (1 - q1) и р2 = (1 - q2),
составляет Р = р1 ∙ р2 = (1 - q1) · (1 - q2).
Вероятность работы двух параллельно соединённых элементов составляет Р
= 1 – q2∙q2. Т.е. полная вероятность (Р = 1) минус вероятность того, что отказали все соединённые параллельно элементы.
Тогда для заданной цепи вероятность отказа равна:
[ |
] |
[( |
|
) ( |
)] |
[( |
( |
) ) ( |
)] |
|
[( |
( |
( |
)( |
)) ) |
( |
)] |
|
|
|
[( |
( |
( |
)( |
)) |
) ( |
|
)] |
|
Ответ: Р = 0,0296.
Задача 4: Две независимые случайные величины Х и У заданы рядами
распределения:
Х |
-3 |
-1 |
1 |
Р |
0,4 |
0,3 |
0,3 |
У |
-2 |
0 |
3 |
q |
0,3 |
0,2 |
0,5 |
1)Составить ряд распределения суммы случайных величин Х+У;
2)Найти математическое ожидание М(Х+У) и дисперсию Д(Х+У) суммы этих величин двумя способами:
а) исходя из определения математического ожидания и дисперсии;
б) используя теоремы о математическом ожидании и дисперсии суммы этих величин.
Решение:
Х |
-3 |
-1 |
1 |
р |
0,4 |
0,3 |
0,3 |
У |
-2 |
0 |
3 |
q |
0,3 |
0,2 |
0,5 |
Составим ряд распределения суммы случайных величин Х+У. Для этого значения X и Y суммируем, а соответствующие вероятности перемножаем.
Например: X+Y = -3 + (-2) = -5; Р = 0,4·0,3 = 0,12. Получим:
X+Y |
-5 |
-3 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
4 |
Р |
0,12 |
0,17 |
0,15 |
0,20 |
0,06 |
0,15 |
0,15 |
Тогда математическое ожидание:
М(Х+У) = -5·0,12 + (-3)·0,17 + (-1)·0,15 + 0·0,20 + 1·0,06 + 2· 0,15 + 4·0,15 = -0,3.
Или согласно свойству математического ожидания:
М(Х+У) = М(Х) + М(У) = ((-3)·0,4 + (-1)·0,3 + 1·0,3) + ((-2)·0,3 + 0·0,2 + 3·0,5) = -1,2 + 0,9 = -0,3.
Дисперсия:
Д(Х+У) = -52·0,12 + (-3) 2·0,17 + (-1) 2·0,15 + 02·0,20 + 12·0,06 + 22· 0,15 + 42·0,15
– (-0,3)2 = 7,65.
Или согласно свойству дисперсии:
Д(Х+У) = Д(Х) + Д(У) = [(-3)2·0,4 + (-1)2·0,3 + 12·0,3 – (-1,2)2] + [(-2)2·0,3 + 02·0,2 + 32·0,5 – 0,92] = 2,76 + 4,89 = 7,65.
Ответ: М(Х+У) = -0,3; Д(Х+У) = 7,65.