Матан_Дифф_Уравн

42

t = ex . Тогда dt = exdx, dx = edtx . Подставляя в выражение для

интеграла, получаем

∫2e+xdxex = ∫(2dt+t) =ln(t + 2) = ln(e x +2)

При вычислении второго интеграла сделаем аналогичную замену переменных.

Общее решение однородного уравнения равно:

y0 = C1e−2x +C2e−x .

Общее решение исходного уравнения запишется в виде:

y = −e−2x ln(e x +2) + 12 xe−x − 12 e−x ln(e x +2) +C1e−2x +C2e−x

Из условия y(0)= 0 получаем

C1 +C2 = 32 ln3.

Найдем производную общего решения:

43

C1 +C2 = 32 ln3,

2 + = 5 ln3.

C C

1 2 2

Решая эту систему, получаем

С1 = ln3,С2 = 12 ln3.

y= −e−2x ln(e x +2) + 12 xe−x − 12 e−x ln(e x +2)+

+e−2x ln3 + 12 e−x ln3=e−2x ln ex 3+ 2 + 12 e−x ln ex 3+ 2 +

Задача 33. Найти общее решение дифференциального уравнения y′′+3y′+ 2y = 2x2 +6x +8.

Вначале найдем общее решение соответствующего однородного уравнения y0 (x). Составляем

характеристическое уравнение λ2 +3λ + 2 = 0. Найдем его

корни: λ2 +3λ + 2 = 0; (λ + 2)(λ +1) = 0; λ1 = −2;λ2 = −1.

Общее решение однородного уравнения запишется в виде:

y0 (x) = C1e−2x +C2e−x .

Исходное уравнение имеет правую часть первого типа: α = 0, Pn (x) = 2x2 +6x +8, n = 2 . Число α = 0 не встречается среди корней характеристического уравнения, значит кратность s=0.

Будем искать y (x) в виде y (x)=Q2 (x), где Q2 (x) - многочлен второй степени. Тогда y (x)= Ax2 + Bx +C . Коэффициенты А , В и С определим из условия, чтобы частное решение

44

Приводим подобные в левой части уравнения:

2Ax2 +(2B +6A)x +(2C +3B +2A) = 2x2 +6x +8..

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в правой и левой частях, получаем:

2A = 2;

2B +6A = 6;

2C +3B + 2A =8.

Следовательно А=1, В=0, С=3. Тогда частное решение запишется в виде y (x)= x2 +3.

Следовательно, общее решение исходного уравнения равно:

начальным условиям y(0)= 0, y′(0)= 0.

Вначале найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. Составляем характеристическое

уравнение: λ2 −8λ +12 = 0. Найдем его корни:

λ2 −8λ +12 = 0; (λ − 2)(λ − 6) = 0;

λ1 = 2,λ2 = 6 .

Общее решение однородного уравнения запишется в виде: y0 (x) = C1e2x +C2e6x .

45

Найдем частное решение. Правую часть представим как сумму двух функций f1 (x) и f2 (x) , где f1(x) =(5x −6)ex ,

f2 (x) = −4e2x .

Рассмотрим уравнение

y′′−8y′+12y = (5x −6)ex .

Функция f1(x) =(5x −6)ex соответствует правой части первого типа: α =1, Pn (x) = (5x −6) , n=1. Число α=1 не встречается

среди корней характеристического уравнения, значит кратность s=0. Будем искать y (x) в виде y1 (x)=Q1(x)ex , где Q1(x) -

многочлен первой степени. Тогда y1 (x)=(Ax + B)ex .

Коэффициенты А и В определим из условия, чтобы частное решение удовлетворяло исходному уравнению. Найдем

dy1 , d 2 y1 : dx dx2

dy1 = (Ax + B)ex + Aex ; dx

d 2 y1 = (Ax + B)ex + 2Aex . dx2

Подставляя dy1 , d 2 y1 в исходное уравнение, получаем: dx dx2

[(Ax + B) + 2A]ex −8[(Ax + B) + A)]ex +12[Ax + B]ex =

=(5x −6)ex

Сокращаем правую и левую части на ex и приводим подобные в левой части:

5Ax +(5B −6A) = 5x −6 .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в правой и левой частях, получаем: 5A = 5,5B −6A = −6 .

Следовательно А=1, В=0. Тогда частное решение запишется в виде y1 (x)= xex .

Рассмотрим уравнение

y′′−8y′+12y = −4e2x .

46

Функция f2 (x) = −4e2x соответствует правой части первого типа: α = 2, Pn (x) = −4 , n=0. Число α=2 один раз встречается среди корней характеристического уравнения, значит кратность s=1.

Будем искать y (x) в виде y1 (x)= xQ0 (x)e2x , где Q0 (x) - многочлен первой степени. Тогда y1 (x)= Axe2x . Коэффициенты А и В определим из условия, чтобы частное решение

удовлетворяло исходному уравнению. Найдем dy1 , d 2 y1 : dx dx2

dy1 = 2Axe2x + Ae2x ; dx

d 2 y1 = 4Axe2x + 4Ae2x . dx2

Подставляя dy1 , d 2 y1 в исходное уравнение, получаем: dx dx2

[4Ax + 4A]e2x −8[2Ax + A)]e2x +12[Ax]e2x = −4e2x

Сокращаем правую и левую части на e2x и приводим подобные в левой части:

−4A = −4.

Следовательно А=1. Тогда частное решение запишется в виде

y2 (x) = xe2x .

Общее решение уравнения равно

y = xex + xe2x + C1e2x +C2e6x .

Из условия y(0)= 0 получаем

C1 +C2 = 0 .

Найдем производную общего решения:

y′ = ex + xex +e2x + 2xe2x + 2C1e2x +6C2e6x

Из условия y′(0)= 0 получаем: 2C1 +6C2 = −2. Для определения C1 и C2 имеем систему уравнений

47

нулевой степени, поскольку наибольшее из чисел m1 и m2 равно нулю. Тогда y (x)= Asin x + Bcos x

48

−Asin x − Bcos x −2(Acos x − Bsin x) +(Asin x + Bcos x) = 4sin x

Приравнивая коэффициенты при синусах и косинусах в правой и левой частях уравнения, получаем: −2А=0, 2В=4. Следовательно В=2. Тогда y (x) = 2cos x .

Следовательно, общее решение уравнения имеет вид y(x) = 2cos x + C1ex +C2 xex

Задача 36. Найти общее решение дифференциального уравнения y′′′− y′′− y′+ y = x3 −3x2 −6x +6.

Вначале найдем общее решение соответствующего однородного уравнения y0 (x). Составляем

характеристическое уравнение λ3 −λ2 −λ +1 = 0. Найдем его корни: λ3 −λ2 −λ +1 = 0; (λ −1)2 (λ +1) = 0;

λ1 = −1,λ2 = λ3 =1.

Общее решение однородного уравнения запишется в виде:

y0 (x) = C1e−x +C2ex +C3 xex .

Исходное уравнение имеет правую часть первого типа: α = 0, Pn (x) = x3 −3x2 −6x +6, n = 3. Число α = 0 не встречается среди корней характеристического уравнения, значит кратность s=0. Будем искать y (x) в виде y (x)=Q3 (x), где Q3 (x) - многочлен третьей степени. Тогда y (x)= Ax3 + Bx2 +Cx + D.

Коэффициенты А , В и С определим из условия, чтобы частное решение удовлетворяло исходному уравнению. Найдем

d 2 y2 = 6Ax + 2B ; dx

d3 y3 = 6A. dx

дифференциальным уравнением второго порядка для определения неизвестной функции x(t) . Приводя подобные, запишем его в виде

d 2 x −3 dx + 2x = 0 . dt2 dt

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

λ2 −3λ +2 = 0 ; (λ −1)(λ −2) = 0; λ1 =1,λ2 = 2 .

Решение дифференциального уравнения имеет вид

x = C1et +C2e2t , где C1,C2 - произвольные постоянные.

y = 12 C1et + 13 C2e2t .

Тогда общее решение системы имеет вид:

x = C1et +C2e2t ;

y = 12 C1et + 13 C2e2t .

Где C1,C2 - произвольные постоянные.

Используя начальные условия, найдем произвольные постоянные.

Так как x(0)=2, y(0)=1, то для определения C1,C2 имеем систему уравнений:

C1 +C2 = 2;

12 C1 + 13 C2 =1.

Решая систему, получаем С1 = 2,C2 = 0.

51

Литература

1.Я.С.Бугров, С.М.Никольский. Высшая математика том 3. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. Изд. 5-е, стереотип. «Дрофа» М., 2003 г. 2.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление, тт.

1-2, М., Наука, 2000 г.

3.В.А. Ильин, А.В. Куркина. Высшая математика. Изд-во МГУ, М., 2004г.

4.Б.П.Демидович. Сборник задач по математическому анализу. Издво «АСТ Астрель», М., 2003 г.

5.Катасонов А.М. Дифференциальные уравнения. Программированное учебное пособие. МГАПИ, М., 1997.

6. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. Изд-во МГУ,

М., 2004г.