bel3_3s

Разлагая полученное излучение в спектр с помощью дифракционной решетки и измеряя интенсивность разных участков спектра, можно найти экспериментально

вид функции r 0,T от (рис. 2). Площадь, охватываемая кривой, дает энергетическую

светимость АЧТ [см. формулу (3)]. Из рис. 2 следует, что энергетическая светимость АЧТ сильно возрастает с ростом температуры, а длина волны, соответствующая максимуму испускательной способности АЧТ, с ростом температуры сдвигается в сторону более коротких волн.

5.5. Закон Стефана-Больцмана

Энергетическая светимость АЧТ пропорциональна четвертой степени

5.6. Закон смещения Вина

Длина волны, соответствующая максимальному значению испускательной способности АЧТ, с ростом температуры смещается в сторону меньших длин волн:

m Tb , (7)

где b=2.9 10-3 м К – постоянная Вина.

5.5. Формула Релея-Джинса. Гипотеза Планка. Формула Планка

Релей и Джинс, исходя из классической теории о равном распределении энергии по степеням свободы, и представляя тело как набор осцилляторов, получили следующую формулу для испускательной способности АЧТ

где k –– постоянная Больцмана, kT –– энергия колебаний осцилляторов на длине волны .

Формула (8) удовлетворительно согласуется с экспериментальными данными лишь при больших длинах волн (см. рис. 2, штриховую кривую) и резко расходится

с опытом для малых длин волн: r0,T при 0. Этот результат, получивший

название ультрафиолетовой катастрофы, находится в противоречии с опытом. Устранить противоречие удалось Планку. В 1900 г. он показал, что выражение

для r 0,T , согласующееся с опытом, может быть получено, если предположить, что

излучение испускается не непрерывно, а в виде отдельных порций. Энергия такой порции – кванта излучения, пропорциональна частоте излучения v (v=c/ ).

где h=6.6 10–34 Дж с –– постоянная Планка.

В результате получилось, что средняя энергия колебаний осцилляторов на

Исходя из этого предположения, Планк получил формулу для испускательной способности АЧТ

21

5.8. Оптическая пирометрия

Оптической пирометрией называют совокупность оптических (бесконтактных) методов измерения температуры. При этом используются законы теплового излучения.

22

ЛЕКЦИЯ 6. КВАНТОВЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

6.1. Фотоны, энергия, масса и импульс фотона

Чтобы объяснить распределение энергии в спектре теплового излучения Планк допустил, что электромагнитные волны испускаются порциями (квантами). Эйнштейн в 1905 г. пришел к выводу, что излучение не только испускается, но и распространяется и поглощается в виде квантов. Этот вывод позволил объяснить все экспериментальные факты (фотоэффект, эффект Комптона, и др.), которые не могла объяснить классическая электродинамика, исходившая из волновых представлений о свойствах излучения.

Таким образом, распространение света следует рассматривать не как непрерывный волновой процесс, а как поток локализованных в пространстве дискретных частиц, движущихся со скоростью с распространения света в вакууме. Впоследствии (в 1926г.) эти частицы получили название фотонов. Фотоны обладают всеми свойствами частицы (корпускулы).

1. Энергия фотона

постоянная Планка, = 2 v –– круговая частота.

В механике есть имеющая размерность "энергия время" величина, которая называется действием. Потому постоянную Планка иногда называют квантом действия. Размерность , совпадает, например, с размерностью момента импульса

L = r mv.

Как следует из (1) энергия фотона увеличивается с ростом частоты (или с уменьшением длины волны), и, например, фотон фиолетового света ( = 0.38мкм) имеет большую энергию, чем фотон красного света ( = 0.78 мкм).

фотона m=0, то импульс фотона

и создадут давление

где w –– объемная плотность падающей электромагнитной энергии, измеряется в

Дж/м3 (Дж/м3=Н м/м3=Н/м2=Па).

При полном отражении света давление удваивается Р=2w, при отражении с коэффициентом ρ

6.3.Внешний фотоэффект и его законы. Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта

Испускание электронов веществом под действием света называется внешним фотоэффектом. А.Г. Столетов (1888 г.) экспериментально исследовал фотоэффект. Схема опыта представлена на рис. 1. Плоский конденсатор, одной из пластин которого служила медная сетка С, а в качестве второй цинковая пластина К, был включен через гальванометр G в цепь аккумуляторной батареи. Напряжение между пластинами измерялось вольтметром. При освещении отрицательно заряженной пластины К светом, в цепи возникал электрический ток, называемый фототоком.

I

На рис. 2. приведены зависимости фототока I от напряжения U между электродами при различных интенсивностях света (энергетической освещенности

E).

Столетов установил следующие закономерности внешнего фотоэффекта:

1.Максимальная начальная скорость фотоэлектронов определяется частотой света и не зависит от его интенсивности.

2.Для каждого вещества (катода) существует красная граница фотоэффекта, т.е. минимальная частота v0, при которой еще возможен фотоэффект.

3.Фототок насыщения пропорционален энергетической освещенности Е

катода.

Первые два закона не удается объяснить на основе классической теории, согласно которой вырывание электронов из катода является результатом их «раскачивания» электромагнитной волной, которое должно усиливаться при увеличении интенсивности света.

Внешний фотоэффект хорошо объясняется квантовой теорией. Согласно этой

теории, электрон получает сразу целиком всю энергию фотона =hv, которая расходуется на совершение работы выхода электрона из вещества (катода) и на сообщение электрону кинетической энергии:

24

Из (7) следуют все законы Столетова. В частности, максимальная начальная скорость электронов определяется из соотношения mvmax hv AВЫХ , т.е зависит

(8)

При v > v0 (или при < 0) фотоэффект наблюдается, при v < v0 (или при > 0) –– фотоэффект не наблюдается.

6.4. Эффект Комптона

Заключается в увеличении длины волны рентгеновского излучения при его

где к = h/(mc) –– комптоновская длина волны, m –– масса электрона, к = 2.43 10–12

м =0.0243Å (1Å = 10–10 м).

Все особенности эффекта Комптона удалось объяснить, рассматривая рассеяние как

6.5. Корпускулярно-волновой дуализм электромагнитного излучения

Итак, изучение теплового излучения, фотоэффекта, эффекта Комптона показало, что электромагнитное излучение (в частности, свет), обладает всеми свойствами частицы (корпускулы). Однако большая группа оптических явлений – интерференция, дифракция, поляризация свидетельствует о волновых свойствах электромагнитного излучения, в частности, света.

Что же представляет собой свет – непрерывные электромагнитные волны, излучаемые источником или поток дискретных фотонов, беспорядочно испускаемых источником? Необходимость пользоваться при объяснении экспериментальных фактов различными и как будто исключающими друг друга представлениями кажется искусственной.

Одним из наиболее значительных достижений современной физики служит постепенное убеждение в ошибочности противопоставления волновых и квантовых свойств света (излучения). Свойства непрерывности, характерные для электромагнитной волны, не исключают свойств дискретности, характерных для фотонов.

Свет (электромагнитное излучение) одновременно обладает свойствами непрерывных электромагнитных волн и свойствами дискретных фотонов. В этом заключается корпускулярно-волновой дуализм (двойственность) электромагнитного излучения.

Ниже будет показано, что корпускулярно-волновыми свойствами обладают и элементарные частицы.

25

РАЗДЕЛ №II. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ И АТОМНОЙ ФИЗИКИ

ЛЕКЦИИ 7–9. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

Известны четыре механики: классическая или ньютоновская механика, релятивистская механика (теория относительности), квантовая механика и релятивистская квантовая механика. Первые две механики изучались в первой части курса физики, а сейчас переходим к изучению квантовой механики.

Квантовая механика –– это механика микромира, механика движения микрочастиц в микрополях –– атомах, молекулах, кристаллах. Ее можно рассматривать как основную теорию атомных явлений.

Опытные факты, на которых она основывается, отражают физические процессы, почти полностью лежащие за пределами непосредственного человеческого восприятия. Поэтому нет ничего удивительного в том, что теория содержит физические понятия, чуждые повседневному опыту.

Начало создания последовательной теории атомных явлений можно отнести к 1924 г., когда Луи де Бройль предположил, что природа вещества также является двойственной (корпускулярной и волновой).

7.1. Гипотеза де Бройля. Опытное обоснование корпускулярно-волнового дуализма материи. Опыт Девиссона-Джермера

В 1924 г. де Бройль выдвинул гипотезу (предположение), что дуализм (двойственность) не являются особенностью одних только оптических явлений (см. лекцию 6), а имеет универсальное значение, т.е. де Бройль выдвинул гипотезу о всеобщности корпускулярно-волнового дуализма. Согласно де Бройлю каждой частице, независимо от ее природы, следует поставить в соответствии волну, длина которой связана с импульсом частицы соотношением (формула де Бройля)

т.е. определяется энергией Е частицы.

Найдем длину волны де Бройля, соответствующую движущемуся электрону. Кинетическая энергия, приобретенная электроном в ускоряющем поле равна

7.2. Соотношение неопределенностей Гейзенберга

Попытаемся определить значение координаты х свободно летящей микрочастицы, поставив на ее пути щель шириной х, расположенную перпендикулярно к направлению движения частицы. До прохождения частицы через щель рх имеет точное значение, равное 0, так что неопределенность импульсарх= 0, зато координата х частицы является совершенно неопределенной. В момент прохождения частицы через щель положение меняется. Вместо полной неопределенности координаты х появляется неопределенность х, но это достигается ценой утраты определенности значения рх. Действительно, вследствие дифракции имеется некоторая вероятность того, что частица будет двигаться в пределах некоторого угла 2 , где –– угол, соответствующий первому дифракционному минимуму. Таким образом, появляется неопределенность импульса

получающемуся от щели шириной х соответствует угол , для которого [cм. (4.8) при b= х и m=1]

определения импульса будет возрастать с увеличением ширины щели х [cм. (9), (8)] и при х не будет наблюдаться дифракционная картина, и поэтому неопределенность импульса рх будет такой же, как и до прохождения частицы

через щель, т.е. рх=0. Но в этом случае не определена координата х частицы, т.е.

х .

Невозможность одновременно точно определить координату и импульс (скорость) не связана с несовершенством методов измерения или измерительных приборов. Соотношение неопределенности является квантовым ограничением

Из (13) следует, что чем больше масса частицы, тем меньше неопределенности ее координаты и скорости. Для пылинки массой 10–12 кг и линейными размерами 10–6 м, координата которой определена с точностью до 0.01 от ее размеров (т.е.х=10-8 м) неопределенность скорости согласно (13) vх = 6.62 10–31 / (10–8 10–12) = 6.62 10–14 м/c, т.е. будет ничтожно малой. Т.о. для макроскопических тел их волновые свойства не играют никакой роли, координата и скорость макротел могут быть измерены достаточно точно.

28

В квантовой механике рассматривается также соотношение неопределенностей между энергией частицы Е и временем t нахождения частицы в данном энергетическом состоянии (или времени наблюдения за состоянием частицы). Оно аналогично (11) и имеет вид

т.е. линии спектра должны характеризоваться частотой v v. Действительно, опыт показывает, что все спектральные линии размыты.

7.3. Волновая функция и ее статистический смысл

Мы привыкли к тому, что физически реальное –– измеримо. Бор и Гейзенберг сделали обратное высказывание: «Принципиально неизмеримое –– физически нереально». Поэтому «не надо говорить о вещах, которые невозможно измерить» (Фейнман). Поскольку из соотношения неопределенностей следует, что частица не имеет одновременно импульс и координату, то не следует об этом и говорить. А «говорить» следует о волновой функции, которая описывает микросостояние системы, ее волновые свойства.

Де Бройль связал со свободно движущейся частицей плоскую волну. Известно [cм. (15.5), (15.6)], что плоская волна, распространяющаяся в направлении оси х описывается уравнением

S=Acos( t – kх+ 0)

или в экспоненциальной форме

S=А0ехр[i( t – kх+ 0)].

Заменив в соответствии с (1) и (2) и k=2 / через Е и p, уравнение волны де Бройля для свободной частицы пишут в виде

=А0ехр[(–i/ )(Еt – pх)] (16)

(в квантовой механике показатель экспоненты берут со знаком минус, но поскольку физический смысл имеет 2, то это [cм. формулу (16)] несущественно).

Функцию называют волновой функций или пси-функцией. Она, как правило, бывает комплексной.

Интерпретацию волновой функции дал в 1926 г. Борн: квадрат модуля волновой функции определяет вероятность того, что частица будет обнаружена в пределах объема dV:

где * –– комплексно-сопряженная волновая функция.

Величина 2 = * = dP/ dV –– имеет смысл плотности вероятности. Интеграл от (17), взятый по всему пространству, должен равняться единице

Выражение (18) называют условием нормировки.

Отметим еще раз, что волновая функция описывает микросостояние частицы, ее волновые свойства, и она позволяет ответить на все вопросы, которые имеет смысл ставить. Например, найти энергию и импульс частицы. Для этого следует вычислить следующие частные производные по координате х и времени t:

29

7.4. Уравнение Шредингера для стационарных состояний. Принцип соответствия

В развитие идеи де Бройля о волновых свойствах частиц Шредингер в 1926 г. получил уравнение

где m –– масса частицы, i 1 –– мнимая единица, U –– потенциальная энергия частицы, –– оператор Лапласа [см. (15.10)].

Решение уравнения Шредингера позволяет найти волновую функцию(x,y,z,t) частицы, которая описывает микросостояние частицы и ее волновые свойства.

Если поле внешних сил постоянно во времени (т.е. стационарно), то U не зависит явно от t. В этом случае решение уравнения (20) распадается на два множителя

где Е, U –– полная и потенциальная энергия, m –– масса частицы.

Следует заметить, что исторически название "волновой функции" возникло в связи с тем, что уравнение (20) или (22), определяющее эту функцию, относится к виду волновых уравнений.

7.5. Собственные функции и собственные значения. Свободная частица

Функции , удовлетворяющие уравнению Шредингера при данных U, называются собственными функциями.

Значения Е, при которых существуют решения уравнения (22), называются