9. Статистика фондового рынка

9.1. Прямой статистический метод

Для построения портфеля ценных бумаг требуются оценки математических ожиданий эффективности ценных бумаг и ковариационная матрица эффективностей ценных бумаг.

Если множество ценных бумаг не велико. Например, из множества ценных бумаг выбрано порядка 10÷30 ценных бумаг, то возможен прямой расчет ожидаемой доходности и ковариационной матрицы.

Напомним некоторые особенности статистических оценок параметров. Не вдаваясь в тонкости математической статистики, отметим, что точность оценок тем выше, чем больше имеется исходных статистических данных, и тем ниже, чем больше число оцениваемых величин. Таким образом, точность статистических оценок зависит от соотношения объема статистических данных и количества оцениваемых параметров. Точнее объем статистических данных должен быть больше количества оцениваемых параметров. В противном случае, когда число оцениваемых параметров сравнимо с объемом статистических данных статистическим оценкам нельзя доверять.

Рассчитаем число оцениваемых параметров и объем выборки. Пусть в портфель включено n ценных бумаг. Тогда требуется оценитьnматематических ожиданийm₁,m₂, …m_n, имоментов второго порядка симметричной ковариационной матрицыv_{i j} (i= 1, 2, …n;j= 1, 2, …n). Общее число оцениваемых параметров равно:

Определим объем выборки. Предположим, что для каждой ценной бумаги ежеквартально можно найти эффективность R(см. (5.1)). Период времени, за который можно использовать статистические данные о курсовой стоимости и дивидендах акций не более 25 лет. Дело в том, что экономические условия и даже сам список ведущих компаний за период более 25 лет слишком сильно изменяются, чтобы столь устаревшие данные считать представляющими ту же генеральную совокупность.

При этом длительность ежеквартальных временных рядов Rэффективности акций, имеющих смысл для статистической обработки,t= 4·25 = 100. Таким образом, объем выборки для оценок эффективностейnценных бумаг равен:

M=n·t= 100·n

Для статистической оценки параметров требуется выполнения хотя бы самого слабого ограничения: длина выборки Mдолжна быть больше числа оцениваемых параметровN(M>N). В результате решения неравенстваM>Nполучим, что это возможно при числе ценных бумаг меньше 193. Чтобы получить более достоверные оценки, длина выборкиMдолжна быть в два раза больше числа оцениваемых параметровN(M>2N). Отсюда, число оцениваемых бумаг должно быть меньше 93.

Таким образом, прямой статистический подход используется для вычисления оценочной доходности ценных бумаг и ковариаций между «самими главными» акциями. При определении индекса Доу-Джонса используется информация о 30 акциях. При этом нужно оценить 30 математических ожиданий и 465-элементов ковариационной матрицы. Итого получается-оцениваемых параметров.

Соответствующий объем выборки для оценок n=30 ценных бумаг равенM=n·t=100·n= 3000. Тогда, объем выборкиM=3000, что вполне достаточно для оценкиN=495 параметров.

В общем случае, число ведущих компаний, акций которых котируются на биржах США и составляют основную, по общей стоимости, часть рынка обычно оценивают в n= 500. Такое число учитывается вStandardandPoor’sIndex. Для этого случая число оцениваемых параметров равно, а длина выборки существенно меньшеM=n·t=100·n= 5 10⁴.

Очевидно, что оценить N=1,2575·10параметров по выборке объемомM=5·10прямым статистическим методом невозможно.

Однако финансовый аналитик обязан давать рекомендации по возможно большему числу компаний, ценные бумаги которых котируются на фондовом рынке.