Формула Гордона.

Оценим акции с равномерно возрастающими дивидендами. Пусть q– ставка, определяющая постоянный темп роста дивидендов иD– начальное значение дивиденда. Тогда, полученные дивиденды для 1, 2,,n,года равны соответственно.

Учитывая ставку дисконта r(r>q) для текущей стоимости акции получим формулу:

Окончательно получаем формулу Гордона:

. (3.25)

Пример 49.

Компания начальный дивиденд D=50 тыс. руб. ежегодно наращивает с темпом ростаq=5 %. Найти текущую стоимость акций компании при ставке дисконтаr=10 %.

Решение.

тыс. руб.

Формула Модильяни

Пусть в начальный момент при t=0капитал акционерного общества равенK, выпущеноNпростых акций. Процентная ставка равнаr.

Тогда, доход акционерного общества равен Q_t = a K_t-1.. Он зависит от капитала акционерного общества в предыдущий момент времениK_t-1 и показателяa эффективности работы акционерного общества(a>0).

Часть полученного дохода направляется на дивиденды:

d_t = b Q_t = a b K_t-1 0<b<1 (3.26),

где b- определяет часть дохода, направляемую на дивиденды (0 <b< 1).

Остальной доход увеличивает капитал акционерного общества на величину:

∆_t = Q_t - d_t = (1-b) Q_t = a (1-b) K_t-1. (3.27)

Тогда, капитал в момент tбудет равен:

K_t = K_t-1 + ∆_t (3.28)

Подставляя формулу (3.27) в (3.28), получаем рекуррентную формулу для капитала:

K_t = (1+ a (1-b)) K_t-1(3.29)

В начальный момент при t=0капитал фирмы равенK. Тогда, через год капитал фирмы будет равен:

K₁ = (1+ a (1-b)) K

Через 2 и 3 года капитал фирмы будет равен соответственно:

K₂ = (1+ a (1-b)) K₁ =(1+ a (1-b))² K

K₃ = (1+ a (1-b)) K₂=(1+ a (1-b))³ K

Очевидно, что для капитала фирмы в момент времени tимеем:

K_t = (1+ a (1-b))^t K (3.30)

Найдем теперь величину дивидендов на каждую акцию. Величина дивидендов на каждую акцию равна частному от деления общего объема средств d_t, выделяемых на дивиденды (3.26) на количество акцийN. При этом капитал вычисляется по формуле (3.30). Отсюда, дивиденды, выплачиваемые на одну акцию в момент t, будут равны:

(3.31)

Для оценки стоимости акций построим поток платежей (см. рис 3.9.)

S(0)

Рис 3.11.

Стоимость акции равна современной стоимости данного потока платежей при процентной ставке r. Следовательно, стоимость акции равна:

Окончательно формула Модильяни для оценки акций имеет вид:

,. (3.32)

где K- начальный капитал,

N- общее число обыкновенных акций,

a- коэффициент, характеризующий успешность работы акционерного общества,

b– коэффициент, определяющий долю доходов направляемых на дивиденды,

r- процентная ставка.

Пример 50.

Пусть начальный капитал акционерного общества составляет K=60 млн руб., коэффициент, характеризующий успешность работы акционерного общества равен a=10 %, доля доходов отправляемых на дивиденды составляет b=30 %, ставка дисконта равна r=12 %, а общее количество акций N=10 тыс.=10⁴. Найти текущую стоимость акции компании.

Решение.

Воспользовавшись формулой (3.32) для текущей стоимости акции компании получим:

3.6. Вероятностные характеристики платежей

В разделе 2 получены связи между начальным капиталом S(0)=S₀и конечным капиталомS(t)=S_t, процентной ставкеrи длительности сделкиtформулы (2.2), (2.10), (2.12).

При длительности сделки в один год имеем:

(3.33)

При длительности сделки в tлет начисляются сложные проценты по формуле:

(3.34)

или непрерывные проценты по формуле:

(3.35)

В приведенных формулах величины начального капитала S₀, конечного капиталаS_t, процентной ставкиrи длительности сделкиtявляются некоторыми числами, т. е. детерминированными величинами. Однако, в экономике очень часто возникает неопределенность. В этом случае экономические законы можно в ряде случаев успешно описывать не детерминированными, а случайными величинами. В частности, процентная ставка далеко не всегда может быть задана каким-то одним конкретным числом. Однако предполагается, что известны некоторые вероятностные характеристики ставки процента. Тогда, процентная ставкаrможет быть принята за случайную величину с известной функцией распределения. Таким образом, возникают две проблемы:

при известной функции распределения процентной ставки r:

• найти статистические свойства конечного капитала S_tпри условии, что известен начальный капиталS₀,

• найти статистические свойства начального капитала S₀при условии, что известен конечный капиталS_t.

Прежде чем приступать к решению проблем, опишем статистические свойства процентной ставки r. Приведем необходимые сведения из теории случайных величин.

Функцией распределения F(x)процентной ставкиrназывается вероятность того что случайная процентная ставкаrпринимает значения меньшеx,т. е.F(x)=P(r<x), гдеP(*) – вероятность события *.

Функцией распределения F(x) обладает свойствами:

1. F(x) изменяется в пределах от 0 до 1, т.е., причем и ;

2. F(x) монотонно возрастает;

3. Вероятность попадания случайной величины (процентной ставки r) на отрезок [a, b] равна:

Плотностью функции распределения называется производная от функции распределения.

Плотность функции распределения обладает свойствами:

1. так как возрастающая функция;

2. ;

3. Вероятность попадания случайной величины на отрезок равна:;

4. .

Применим приведенные сведения для оценки вероятностных характеристик накопленного вклада. Рассмотрим примеры.

Пример 51.

Процентная ставка rменяется ежемесячно и является случайной величиной с известной функцией распределенияF(r). Вклад в банке равен $10000. Найти оценку вероятности того, что через год на счете будет больше $12000. Рассмотреть случай, когда процентная ставкаrраспределена по нормальному закону с математическим ожиданием 25 % = 0,25 и среднеквадратическим отклонением 10 %=0,1.

Решение.

Используем формулу (3.33), где S₀= $10 тыс.,S₁= $12 тыс. и ставкаrимеет известное распределениеF(r).

Найдем вероятность того, что через год конечный капитал S₁превзойдет $12 тыс. Из формулы (3.33), используя преобразования неравенств, получим:

Таким образом, вероятность того, что конечный капитал превзойдет $12 тыс. при начальном капитале $10 тыс. равносильно вероятности того, что процентная ставка rпревзойдет 20 % = 0,2.

Пусть теперь процентная ставка rраспределена по нормальному закону с математическим ожиданиемa=25 %=0,25 и среднеквадратическим отклонением σ = 10 % = 0,1. Для расчета вероятности используем нормированную нормальную функцию распределенияс математическим ожиданием 0 и дисперсией 1 и заданную интегралом Лапласа:

Для перехода к нормированной нормальной функции распределения центрируем случайную величину по формуле . Тогда, используя таблицы для вычисления интеграла Лапласа, найдем вероятность того, что через год конечный капиталS₁превзойдет $12 тыс.

Для вычисления интеграла Лапласа можно использовать функцию НОРМСТРАСП( ) из Excel.

Обобщим пример 51. Предположим, что начисление процентов происходит по схеме сложных процентов.

Пример 52.

Процентная ставка rменяется ежемесячно и является случайной величиной с известной функцией распределенияF(r). Вклад в банке равен $10000. Найти оценку вероятности того, что черезt=2, 3, 5 лет на счете будет больше $12000. Начисление процентов происходит по схеме сложных процентов. Рассмотреть случай, когда процентная ставкаrраспределена по нормальному закону с математическим ожиданием 25 % = 0,25 и среднеквадратическим отклонением 10 %=0,1.

Решение.

Используем формулу (3.34), где S₀= $10000,S₁= $12000 и ставкаrимеет известное распределениеF(r).

Найдем вероятность того, что через tлет конечный капиталS₁превзойдет $12 тыс. Из формулы (3.34), используя преобразования неравенств, получим:

При длительности сделки t=2, 3, 5 лет имеем соответственно:

Окончательно, используя для вычисления функции Лапласа таблицы или функцию НОРМСТРАСП( ) из Excel, найдем вероятность того, что конечный капитал S₁превзойдет $12 тыс. за 2, 3, 5лет соответственно:

Таким образом, вероятность того, что конечный капитал превзойдет $12 тыс. при начальном капитале $10 тыс. за 2, 3, 5 лет соответственно равна 0,938899; 0,969549; 0,98336.

Обобщим примеры 51, 52. Предположим, что начисление процентов происходит по схеме непрерывных процентов.

Пример 53.

Процентная ставка rменяется ежемесячно и является случайной величиной с известной функцией распределенияF(r). Вклад в банке равен $10000. Найти оценку вероятности того, что черезt=2, 3, 5 лет на счете будет больше $12000. Начисление процентов происходит по схеме непрерывных процентов. Рассмотреть случай, когда процентная ставкаr распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 25 % = 0,25 и среднеквадратическим отклонением 10 %=0,1.

Решение.

Используем формулу (3.35), где S₀= $10000,S₁= $12000 и ставкаrимеет известное распределениеF(r).

Найдем вероятность того, что через tлет конечный капиталS₁превзойдет $12 тыс. Из формулы (3.35), используя преобразования неравенств, получим:

При длительности сделки t=2, 3, 5 лет имеем соответственно:

Окончательно, используя для вычисления функции Лапласа таблицы или функцию НОРМСТРАСП( ) из Excel, найдем вероятность того, что конечный капитал S_tпревзойдет $12 тыс. за 2, 3, 5лет соответственно:

Таким образом, вероятность того, что конечный капитал превзойдет $12 тыс. при начальном капитале $10 тыс. за 2, 3, 5лет соответственно равна 0,9439; 0,97077; 0,98363.

Сравнивая вероятности из примера 52 и 53, видим, что вероятность накопления капитала по непрерывным процентам больше.

Наиболее полное представление о случайной величине даёт функция распределения или плотность функции распределения. Во многих экономических приложениях можно ограничиться численными характеристиками случайной величины. Наиболее важными из них являются математическое ожидание и дисперсия. Они являются мерой среднего ожидаемого значения случайной величины и мерой разброса, рассеивания случайной величины.

Математическое ожидание определяет среднее ожидаемое значение случайной величины и равно:

,

где r- значение случайной величины,

f(r)dr– вероятность значенияrслучайной величины.

Свойства математического ожидания:

1. E(C) =C, где С – постоянная величина,

2. E(x+y)=E(x)+E(y), (3.36)

3. E(kx) =kE(x), гдеk– постоянный коэффициент.

Дисперсия определяет величину отклонения случайной величины от её математического ожидания и равна взвешенной сумме квадратов разности между значением случайной величины и её математическим ожиданием:

, (3.37)

где - квадрат отклонения,

f(r)dr– вероятность такого отклонения.

Свойства дисперсии:

1. D(C) = 0, где С – постоянная величина.

2. D(kx) =k²D(x), гдеk– постоянный коэффициент.

3. D(kx+b) =k²D(x), гдеk– постоянный коэффициент,b- число.

Дисперсию удобно вычислять по теореме:

Дисперсия случайной величины xравна математическому ожиданию квадрата случайной величины минус квадрат математического ожидания, то есть:

(3.38)

Найдем статистические характеристики конечного капитала S_tпри условии, что известен начальный капиталS₀, и функция распределения процентной ставкиr.Оценим математическое ожидание и дисперсию конечного капиталаS_t для случая, когда начисляются простые проценты за год и сложные и непрерывные проценты заtлет.

Для математического ожидания в соответствии с (3.33), (3.34), (3.35) и (3.36) имеем:

E(S₁) = E(S₀ (1+r)) =S₀ (1+ E(r));

E(S_t) = E(S₀ (1+r)^t) =S₀ E((1 + r)^t);

E(S_t) = E(S₀ e^{r t}) =S₀ E(e^{r t}).

Таким образом, задача сводится к вычислению математического ожидания E(r),E((1 +r)^t) иE(e^{r t}).

В общем виде они равны соответственно:

(3.39)

Произведем вычисление до конца для случая равномерного распределения процентной ставки в пределах от aдоb. В этом случае плотность функции распределенияf(r) будет равна:

f(r)

при a< r< b

0, при r< a 1/(b-a)

0, при r> b

a b r

. рис.3.12.

График этой функции представлен на рис. 3.12.

Тогда, для интегралов (3.39) имеем:

(3.40)

Окончательно для математического ожидания конечного капитала S_tсоответственно имеем:

1. простые проценты

(3.41)

2. сложные проценты

(3.42)

3. непрерывные проценты

(3.43)

Оценим дисперсию конечного капитала S_t для случая, когда начисляются простые проценты за год, сложные и непрерывные проценты заtлет.

В соответствии с (3.33), (3.34), (3.35) и (3.37) для дисперсий имеем:

D(S₁) = S₀² D(r),

D(S_t) = S₀² D((1+r)^t), (3.44)

D(S_t) =S₀²D(e^{r t}).

Для вычисления дисперсии по формуле (3.38) нужно вычислить математические ожидания от квадратов случайной величины. При равномерном распределении имеем из (3.40) соответственно:

Отсюда для дисперсии получим соответственно:

(3.45)

Окончательно, в соответствии с (3.44), для дисперсии конечного капитала S_tсоответственно имеем:

(3.46)

Совокупность формул (3.41), (3.42), (3.43) и (3.46) дают оценки математического ожидания и дисперсию конечного капитала S_t для случая, когда начисляются простые проценты за год, сложные и непрерывные проценты заtлет.

Найдем статистические характеристики начального капитала S₀при условии, что известен конечный капиталS_t, и функция распределения процентной ставкиr.Оценим математическое ожидание и дисперсию начального капиталаS₀ для случая, когда начисляются простые проценты за год и непрерывные проценты заtлет.

Рассмотрим сначала случай, когда начисляются простые проценты за год. Из (3.33) находим начальный капитал:

(3.47)

Тогда математическое ожидание равно:

(3.48)

Окончательно для математического ожидания начального вклада получим:

(3.49)

Дисперсия начального вклада из (3.44), (3.46) равна:

Воспользуемся теоремой (3.38) для вычисления дисперсии случайной величины . Дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию квадрата случайной величины минус квадрат математического ожидания. Вычислим сначала в общем виде:

Для равномерного распределения получим:

Окончательно для дисперсии начального капитала S₀в случае равномерного распределения процентной ставкиrотaдоbимеем:

(3.50)

Рассмотрим теперь случай, когда непрерывные проценты начисляются tлет. Из (3.35) находим начальный капитал:

(3.51)

Тогда математическое ожидание аналогично (3.40) и (3.43) равно:

(3.52)

Аналогично (3.45) и (3.46) для дисперсии начального капитала S₀в случае равномерного распределения процентной ставкиrотaдоbимеем:

(3.53)

Таким образом, в данном разделе построены статистические характеристики начального и будущего капитал при известной функции распределения процентной ставки.

Задача 13.

Найти статистические характеристики начального капитала S₀при условии, что известен конечный капиталS_t, и функция распределения процентной ставкиr. Оценить математическое ожидание и дисперсию начального капиталаS₀ для случая, когда начисляются сложные проценты заtлет. Рассмотреть случай равномерного распределения процентной ставки в пределах отaдоb.

Ответы: