процессы -гидравлические / гидравлические / гидравлические / 1.2. Гидростатика

1.2. ГИДРОСТАТИКА

В гидростатике изучается равновесие жидкостей, находящихся в состоянии относительного покоя, при котором в движущейся жидкости ее частицы не перемещаются друг относительно друга. При этом силы внутреннего трения отсутствуют, что позволяет считать жидкость идеальной.

В состоянии относительного покоя форма объема жидкости не изменяется, и она, подобно твердому телу, перемещается как единое целое. Так, жидкость находится в относительном покое в перемещающемся сосуде (например, в цистерне), внутри вращающегося с постоянной угловой скоростью барабана центрифуги и т. д. Жидкость в неподвижном сосуде находится в абсолютном покое, который в таком понимании является частным случаем относительного покоя.

С

Рис. 1.3. Схема к выводу дифференциальных уравнений равновесия Эйлера

оотношение между силами, действующими на жидкость, которая находится в состоянии покоя, выражается дифференциальными уравнениями равновесия Эйлера.

Дифференциальные уравнения равновесия Эйлера. В объеме жидкости, находящейся в покое, выделим элементарный параллелепипед объемом dV с ребрами dx, dy и dz, расположенными параллельно осям координат х, у и z (Рис. 1.3). Сила тяжести, действующая на параллелепипед, выражается произведением его массы dm на ускорение свободного падения g, т. е. равна g dm. Сила гидростатического давления на любую из граней параллелепипеда равна произведению гидростатического давления р на площадь этой грани. Будем считать, что давление р является функцией всех трех координат: р = f (х, у, z).

Согласно основному принципу статики, сумма проекций на оси координат всех сил, действующих на элементарный объем, находящийся в равновесии, равна нулю. В противном случае происходило бы перемещение жидкости.

Рассмотрим сумму проекций сил на ось z. Сила тяжести направлена вниз, параллельно оси z. Поэтому при выбранном положительном направлении оси z (см. Рис. 1.3) сила тяжести будет проектироваться на эту ось со знаком минус:

- g dm = - g dV = - g dx dy dz. (1.17)

Сила гидростатического давления действует на нижнюю грань параллелепипеда по нормали к ней, и ее проекция на ось z равна р dx dy. Если изменение гидростатического давления в данной точке в направлении оси z равно , то по всей длине ребра dz оно составит dz. Тогда гидростатическое давление на противоположную (верхнюю) грань равно (р + dz), и проекция силы гидростатического давления на ось z

- (р + dz) dx dy.

Проекция равнодействующей силы давления на ось z

.

Сумма проекций сил на ось z равна нулю, т. е.

, (1.18)

или, учитывая, что объем параллелепипеда dx dy dz = dV  0 (величина, заведомо не равная нулю), получим

.

Проекции сил тяжести на оси х и у равны нулю. Поэтому сумма проекций сил на ось х

,

откуда после раскрытия скобок и сокращения находим

или . (1.19)

Соответственно для оси у

или . (1.20)

Таким образом, условия равновесия элементарного параллелепипеда выражаются системой уравнений:

(1.21)

Уравнения (1.21) представляют собой дифференциальные уравнения равновесия Эйлера.

Для получения закона распределения давления во всем объеме покоящейся жидкости следует проинтегрировать систему уравнений (1.21). Интегралом этих уравнений является основное уравнение гидростатики, широко используемое в инженерной практике.

Основное уравнение гидростатики. Из уравнений (1.21) следует, что давление в покоящейся жидкости изменяется только по вертикали (вдоль оси z, Рис. 1.4), оставаясь одинаковым во всех точках любой горизонтальной плоскости, т. к. изменения давлений вдоль осей х и у равны нулю.

Так как в этой системе уравнений и , частная производная может быть заменена на , то

или . (1.22)

Разделив левую и правую части последнего выражения на и переменив знаки, представим это уравнение в виде

. (1.23)

Для несжимаемой однородной жидкости плотность постоянна, поэтому

или . (1.24)

Интегрируя (1.24), получим

сonst. (1.25)

Для двух произвольных горизонтальных плоскостей уравнение (1.25) выражают в виде

. (1.26)

Уравнение (1.25) или (1.26) является основным уравнением гидростатики. Оно выражает зависимость давления в данной точке покоящейся жидкости от рода жидкости (ее плотности) и расстояния точки по вертикали от свободной поверхности. В уравнении (1.26) z₁ и z₂  высоты расположения двух точек внутри покоящейся однородной капельной жидкости над произвольно выбранной горизонтальной плоскостью отсчета (плоскостью сравнения), a p₁ и р₂ — гидростатические давления в этих точках.

Уравнение (1.25) иногда приводят к виду

. (1.27)

В этом уравнении р  абсолютное давление в данной точке жидкости, р₀  давление на свободной поверхности жидкости,  давление столба жидкости высотой h (избыточное давление) в данной точке.

В открытых сосудах давлением над свободной поверхностью жидкости является атмосферное давление р_а. В этих случаях уравнение (1.27) примет вид

. (1.28)

Если абсолютное давление в данной точке жидкости больше атмосферного (p > p_а), то последний член уравнения (1.28) определяет манометрическое давление:

. (1.29)

Манометрическое давление представляет собой избыточное давление в данной точке над атмосферным.

Если абсолютное давление в данной точке жидкости меньше атмосферного (p < p_а), то последний член уравнения (1.27) определяет вакуумметрическое давление, или разряжение:

. (1.30)

Член z в уравнении гидростатики (1.25), представляющий собой высоту расположения данной точки над произвольно выбранной плоскостью сравнения, называется нивелирной высотой. Она, как и другой член этого уравнения , выражается в единицах длины, м.

Величину называют напором давления или пьезометрическим напором.

Следовательно, согласно основному уравнению гидростатики, для каждой точки покоящейся жидкости сумма нивелирной высоты и пьезометрического напора есть величина постоянная.

Члены основного уравнения гидростатики имеют определенный энергетический смысл. Так, выражение члена до сокращения характеризует удельную энергию, т. е. энергию, приходящуюся на единицу веса жидкости.

Аналогичный энергетический смысл получает и нивелирная высота, если ее выражение умножить и затем разделить на единицу веса жидкости.

Таким образом, нивелирная высота z, называемая также геометрическим (высотным) напором, характеризует удельную потенциальную энергию положения данной точки над выбранной плоскостью сравнения, а пьезометрический напор  удельную потенциальную энергию давления в этой точке. Сумма указанных энергий, называемая полным гидростатическим напором, равна общей потенциальной энергии, приходящейся на единицу веса жидкости. Следовательно, основное уравнение гидростатики представляет собой частный случай закона сохранения энергии: удельная потенциальная энергия во всех точках покоящейся жидкости есть величина постоянная.

З

1

Рис. 1.4. Схема к выводу закона Паскаля

акон Паскаля. Рассмотрим, например, две частицы жидкости, из которых одна расположена в точке 1 внутри объема жидкости (Рис. 1.4)  на высоте z от произвольно выбранной плоскости сравнения 0—0, а другая находится в точке 2 на поверхности жидкости  на высоте z_o от той же плоскости. Пусть р и p_o  давления в точках 1 и 2 соответственно. Тогда, согласно уравнению (1.26)

или . (1.31)

Уравнение (1.31) можно записать и в форме

или . (1.32)

Уравнение (1.32) является выражением закона Паскаля, согласно которому давление, создаваемое в любой точке покоящейся несжимаемой жидкости, передается одинаково всем точкам ее объема.

Примеры практического применения основного уравнения гидростатики. Принцип сообщающихся сосудов и его использование. В двух сообщающихся сосудах I и II (Рис. 1.5) помещены две жидкости, плотности которых соответственно ρ₁ и ρ₂. Пусть давление на поверхности жидкостей, одинаково и равно р₀. В соответствии с уравнением (1.32) давление в любой точке в пределах первого и второго сосудов по линии раздела х-х, будет

и . (1.33)

Т

Рис. 1.5. Схема сообщающихся сосудов

ак как система находится в равновесии, то р₁ = р₂, следовательно,

, (1.34)

откуда

(1.35)

Из выражения (1.35) вытекает, что в сообщающихся сосудах высоты уровней разнородных жидкостей над поверхностью их раздела обратно пропорциональны плотностям этих жидкостей.

Если в сосудах находится жидкость с одинаковой плотностью (ρ₁ = ρ₂), то h₁ = h₂.

На практике закон сообщающихся сосудов (1.35) используется для определения уровня жидкости в закрытых сосудах, при разработке жидкостных приборов для измерения давления и т. д.

Т

Рис. 3.6. Схема к определению высоты гидравлического затвора в непрерывно действующем жидкостном сепараторе: 1  аппарат; 2 – центральная труба; 3 – штуцер; 4 – U-образный затвор

аким образом, в открытых или закрытых находящихся под одинаковым давлением сообщающихся сосудах, заполненных однородной жидкостью, уровни ее располагаются на одной высоте независимо от формы и поперечного сечения сосудов. Этот принцип используется, в частности, для измерения уровня жидкости в закрытых аппаратах с помощью водомерных стекол.

Условия равновесия жидкостей в сообщающихся сосудах используют также для определения высоты гидравлического затвора в различных аппаратах. Так, в непрерывно действующих сепараторах (Рис. 1.6) смесь жидкостей различной плотности непрерывно поступает в аппарат 1 по центральной трубе 2 и расслаивается в нем, причем более легкая жидкость плотностью ' удаляется сверху через штуцер 3, а более тяжелая, имеющая плотность ",  снизу через U-образный затвор 4. Если принять, что уровень границы раздела фаз поддерживается на границе цилиндрической и конической частей аппарата и провести через эту границу плоскость сравнения 0-0, то необходимая высота гидравлического затвора, согласно уравнению (1.32), составит

. (1.36)

При этом допускается, что давление над жидкостью внутри аппарата и на выходе из затвора одинаково.

Г

Рис. 1.7. Схема гидравлического

пресса

идростатические машины. Из уравнения (1.26) следует, что любое изменение внешнего давления на жидкость, заключенную в замкнутом сосуде, приведет к увеличению давления в любой точке жидкости на величину этого изменения. Это значит, что если жидкость находится в состоянии покоя, то изменение давления на любой внешней поверхности, возникающее от действия внешних сил, передается без изменения во все точки объема, занимаемого данной жидкостью. В этом суть закона Паскаля, широко применяемого при расчете и конструировании гидравлических машин.

На Рис. 1.7 приведена схема гидравлического пресса. Прикладывая к меньшему поршню с диаметром D₁ силу Р₁, создают в жидкости давление , которое передается большему поршню с диаметром D₂, обусловливая на нем силу . Если пренебречь сопротивлениями, то

. (1.37)

В результате поршень в цилиндре большего диаметра передаст силу давления во столько раз большую, чем сила, приложенная к поршню в цилиндре меньшего диаметра, во сколько поперечное сечение второго цилиндра больше, чем поперечное сечение первого цилиндра. Таким способом с помощью сравнительно небольших усилий осуществляют прессование материала, помещенного между поршнем и неподвижной плитой.

Давление жидкости на дно и стенки сосуда. Если жидкость помещена в сосуд любой формы, то гидростатическое давление во всех точках горизонтального дна сосуда одинаково, давление же на его боковые стенки возрастает с увеличением глубины погружения.

Гидростатическое давление р на уровне дна сосуда (см. Рис. 1.4), как и для любой точки внутри жидкости, определяется уравнением (1.32), но для всех точек дна величина () представляет собой высоту жидкости в сосуде. Обозначив последнюю через Н, получим

. (1.38)

Таким образом, сила давления Р на горизонтальное дно сосуда не зависит от формы сосуда и объема жидкости в нем. При данной плотности жидкости эта сила определяется лишь высотой столба жидкости Н и площадью поверхности F дна сосуда:

или . (1.39)

Гидростатическое давление жидкости на вертикальную стенку сосуда изменяется по высоте. Соответственно сила давления на стенку также различна по высоте сосуда. Поэтому

, (1.40)

где h  расстояние от верхнего уровня жидкости до центра тяжести смоченной площади поверхности F стенки.

В уравнении (1.40) выражение в скобках представляет собой гидростатическое давление в центре тяжести смоченной площади поверхности стенки. Поэтому сила давления на вертикальную стенку равна произведению ее смоченной площади на гидростатическое давление в центре тяжести смоченной площади поверхности стенки.

Точка приложения равнодействующей Р сил давления на стенку называется центром давления. Эта точка расположена всегда ниже центра тяжести смоченной площади поверхности. Если давление р_о передается жидкостью в одинаковой степени каждому элементу стенки, независимо от глубины его погружения, и, следовательно, равнодействующая сила этого давления приложена в центре тяжести стенки, то давление столба жидкости на стенку тем больше, чем глубже расположен соответствующий ее элемент. В результате для вертикальной прямоугольной стенки центр давления расположен на расстоянии 2Н/3 от верхнего уровня жидкости.

Поверхности равного давления. Относительный покой. Из уравнения (1.32) следует, что в пределах одного и того же сосуда, наполненного однородной жидкостью, можно провести большое количество параллельных свободной поверхности плоскостей, лежащих на разных глубинах. Каждая такая поверхность характеризуется наличием в ней одинакового давления и называется изобарной поверхностью, или поверхностью равного потенциала. Уравнение такой поверхности имеет вид

,

где S – координата вдоль поверхности равного давления; Р = const, или

. (1.41)

Р

Рис. 1.8. Относительный покой жидкости при равноускоренном движении

ассмотрим некоторые случаи формы свободной поверхности жидкости и поверхности равного давления.

1. Жидкость находится в неподвижном сосуде (абсолютный покой жидкости, см. Рис. 1.3). Тогда X = Y = 0, а Z = -g. После подстановки этих значений в уравнение (1.41) получим –gd = 0 или z = const. Следовательно, свободная поверхность будет расположена горизонтально.

2. Жидкость находится в резервуаре, равноускоренно перемещающемся в направлении оси Ох с ускорением а (относительный покой жидкости, (Рис. 1.8). В этом случае Х = -а, Y = 0, Z = -g и уравнение (1.41) примет вид

После интегрирования и преобразований получим

(1.42)

У

Рис. 1.9. Относительный покой жидкости во вращающемся вокруг оси цилиндре

равнение (1.42) является уравнением наклонной плоскости, угол наклона которой к горизонту .

3. Жидкость находится в цилиндрическом сосуде, вращающемся вокруг оси Оz с постоянной угловой скоростью ω (относительный покой жидкости, Рис. 1.9). В этом случае проекции ускорения массовых сил на координатные оси будут равны X = ω²x, Y = ω²y, Z = -g.

После подстановки их в уравнение (1.41) и интегрирования получим

const или const. (1.43)

Полученное уравнение поверхности уровня жидкости (1.43) представляет собой уравнение параболоида вращения относительно оси Оz.

Сила давления жидкости на плоские и криволинейные поверхности. Определим силу суммарного давления жидкости на наклонную плоскую поверхность площадью f (угол наклона пластины к свободной поверхности жидкости – α, Рис. 1.10).

О

Рис. 1.10. Сила давления жидкости на

плоскую поверхность

си координат расположим таким образом, чтобы ось Ох совпадала с линией пересечения пластины со свободной поверхностью жидкости, а Оу – с боковой стороной пластины.

На расстоянии у выделим элементарную площадку df шириной dу. Глубина погружения под уровень свободной поверхности центра тяжести элементарной площадки h = y*sin α.

В соответствии с уравнением (1.32) абсолютное давление на глубине h

.

Тогда элементарная сила, действующая на площадку df, будет равна

. (1.44)

Интегрируя (1.44) по площади f, имея введу, что р₀, ρ, α – постоянные величины, получим силу суммарного давления

(1.45)

Интеграл представляет собой статический момент поверхности f относительно оси Ох. Тогда уравнение (1.45) примет вид

, (1.46)

где глубина погружения центра тяжести поверхности f h_c=y_c*sin α.

Тогда окончательно получим

, (1.47)

а сила избыточного гидростатического давления

. (1.48)

Таким образом, сила суммарного давления на плоскую поверхность равна произведению давления в центре тяжести этой поверхности на ее площадь. Сила давления не зависит от угла наклона поверхности.

Сила суммарного давления Р приложена в точке Д с координатами h_Д, и у_Д, которая всегда расположена ниже центра тяжести рассматриваемой поверхности. Точка Д называется центром давления силы Р.

Определим силу суммарного давления жидкости на криволинейную поверхность (Рис. 1.11). На некоторой глубине выделим элементарную площадку df, которую из-за малых размеров можно считать плоской.

Предположим, что элементарная пластина расположена к горизонту под углом α. На нее действует элементарная сила dР. Разложим ее на горизонтальную dР_х и вертикальную dР_z составляющие и определим их.

На основании (1.48) можно записать, что горизонтальная составляющая элементарной силы

, (1.49)

где h – глубина погружения под уровень свободной поверхности элементарной площадки df; df*sin α – вертикальная проекция элементарной площадки df.

Рис. 1.11. Сила давления жидкости на криволинейную поверхность:

а – криволинейная поверхность; б – элементарная площадка

Проинтегрируем выражения (1.49) по всей вертикальной проекции

,

но  статический момент поверхности вертикальной проекции элементарной площадки относительно оси Ох; h_c – глубина погружения центра тяжести вертикальной проекции.

Тогда

. (1.50)

Определим вертикальную составляющую

,

но  горизонтальная проекция элементарной площадки df, тогда

. (1.51)

Следовательно, вертикальная составляющая силы суммарного давления определяется весом объема жидкости, расположенной под криволинейной поверхностью. Этот объем называется объемом тела давления. Он может быть действительным или фиктивным.

Общая сила суммарного давления определится как геометрическая сумма составляющих сил

. (1.52)

Точка приложения этой силы Д (центр давления) будет находиться на пересечении криволинейной поверхности с направлением действ силы Р, которое определяется углом  = arctg. Направление действия этой силы проходит через центр кривизны поверхности.

Основы теории плавания тел. Закон Архимеда. Закон Архимеда является теоретической основой плавания тел. Рассмотрим некоторый объем V, выделенный внутри жидкости, находящейся в равновесии (Рис. 1.12), на объем V со всех сторон действуют силы со стороны остальной части жидкости.