6. Выводимость

Пусть задано множество формул от высказывательных переменных

(),(), . . . ,(). (1)

Это множество формул назовем системой посылок.

Определение. Формула () называется выводимой из системы формул (1) в алгебре высказываний, что обозначается, . . ,, тогда и только тогда, когда формула

(2)

является ТИ-высказыванием, т.е.  .

Из определения следует, что если конъюнкция

(3)

тождественно истинна, то из такой системы посылок (1) выводимы только тождественно истинные формулы, которые выводимы из любой системы посылок. Если же конъюнкция (3) тождественно ложна, то из системы посылок (1) выводима любая формула.

Если формула выводима из системы формул (1), то из истинности всех формул системы при некоторых значениях высказывательных переменныхследует истинность формулыпри тех же значениях переменных.

Нетрудно доказать следующие свойства выводимости.

1. Если ито .

2. Если и~, то.

Проверка выводимости формулы из системы посылок (1) непосредственно по определению, т.е. путем доказательства тождественной истинности формулы (2), достаточно громоздко. Рассмотрим более простой способ доказательства выводимости формулыиз системы посылок (1), для которых конъюнкция (3) не является ни ТИ-высказыванием, ни ТЛ-высказыванием.

Теорема 7.1. Формула () тогда и только тогда выводима из системы формул (1), когда все полные элементарные дизъюнкции формулывходят в СКН-форму, эквивалентную формуле (3) относительно высказывательных переменных.

Так как теорема 1 формулирует необходимое и достаточное условие выводимости формулы, то на основе нее можно сформулировать алгоритм доказательства выводимости формулы.

1. Из системы посылок (1) строится конъюнкция (3).

2. Находим СКН-форму от высказывательных переменных для формулы (3).

3. Строим СКН-форму для формулы и проверяем вхождение полных элементарных дизъюнкций СКН-формы для формулыв СКН-форму для формулы (3).

Задание 1. Доказать выводимость .

Решение.

1. Обозначим =X, =. Строим их конъюнкцию.

2. Найдем СКН-форму эквивалентную этой конъюнкции.

V

3. Получим СКН-форму для формулы B.

Так как обе дизъюнкции входят в СКН-форму , то выводимость доказана.

Замечание. Выводимость формулы можно получить и без нахождения ее СКН-формы. Для этого нужно преобразовать с помощью известных эквивалентностей формулу (3) или даже конъюнкцию некоторых полных дизъюнкций из этой СКН-формы. Например, конъюнкция 1-ой и 3-ей полных дизъюнкций формулыиз задания 1 преобразуется с помощью формулы склеивания к искомой формуле.

Кроме того, воспользовавшись теоремой 1, можно построить все СКН-формы выводимые из данной системы посылок. Для этого требуется небольшая модификация алгоритма доказательства выводимости формулы. После построения СКН-формы для формулы (3) необходимо

3. Из полных элементарных дизъюнкций полученной СКН-формы строим различные комбинации конъюнкций. Эти конъюнкции и будут исчерпывать все СКН-формы, выводимые из системы посылок (1).

Раздел II. Алгебра предикатов

Алгебра предикатов является развитием алгебры высказываний. Кроме простых и составных высказываний она вводит в рассмотрение высказывания, отнесенные к переменным из некоторого множества M, которое в дальнейшем будем называть предметным множеством, а его элементы – предметными переменными.