Математическая логика

Математическая логика, как и классическая логика, исследует процессы умозаключений и позволяет из истинности одних суждений делать выводы об истинности или ложности других, независимо от их конкретного содержания. Использование в логике математических методов (алгебраизация логики и построение логических исчислений) дало начало развитию новой области математики, называемой «Математической логикой». Основная задача математической логики – формализация знаний и рассуждений. Математика является наукой, в которой все утверждения доказываются с помощью умозаключений, поэтому математическая логика, по существу, – наука о математике.

Математическая логика дала средства для построения логических теорий и вычислительный аппарат для решения задач. Математическая логика и теория алгоритмов нашли широкое применение в различных областях научных исследований и техники (например, в теории автоматов, в лингвистике, в теории релейно-контактных схем, в экономических исследованиях, в вычислительной технике, в информационных системах и др.). Основные понятия математической логики лежат в основе таких ее приложений, как базы данных, экспертные системы, системы логического программирования. Эти же понятия становятся методологической основой описания анализа и моделирования автоматизированных интегрированных производств.

Вопросы, исследуемые математической логикой, могут рассматриваться как средствами семантической (смысловой) теории, в основе которой лежит понятие алгебры, так и формально-аксиоматической (синтаксической) теории, базирующейся на понятии логического исчисления. В данном курсе рассматриваются оба этих подхода, начав с алгебры высказываний, которая затем обобщается алгеброй предикатов, и обе они служат пониманию построения логических исчислений и их частных случаев: исчисления высказываний и исчисления предикатов.

Раздел I. Алгебра высказываний

Алгебру высказываний можно рассматривать как переложение на другой (алгебраический) язык результатов, изученных в разделе «Булевы функции», использующем функциональный язык. При функциональном подходе каждой из логических операций и формул сопоставляется определённая двузначная функция. При алгебраическом подходе логические операции интерпретируют как алгебраические, действующие на множестве двух элементов.

1. Высказывания и операции над ними. Формулы

Высказыванием называется всякое утверждение, о котором можно вполне определенно и объективно сказать истинно оно или ложно.

Например, утверждение "2 > 0" является высказыванием и оно истинно, а утверждение "2 < 0" - ложно, утверждение "x² + y² = z²" высказыванием не является, так как оно может быть, как истинным, так и ложным при различных значениях переменных x, y, z. Высказывание полностью определяется своим истинностным значением. Условимся, значение истинности высказывания обозначать 1, если высказывание истинно, и 0, если высказывание ложно, что в точности соответствует значениям переменных булевых функций.

Различают высказывания простые и сложные, высказывание называется простым, если никакая его часть не является высказыванием. Простые высказывания будем обозначать начальными заглавными буквами латинского алфавита A, B, C или A₁, A₂, . . .. Сложные высказывания характеризуются тем, что образованы из нескольких простых высказываний с помощью логических операций, т.е. являются формулами алгебры высказываний.

Напомним, что алгебраической структурой или алгеброй называется структура, образованная некоторым множеством вместе с введенными на нём операциями. Определим алгебру высказываний.

Обозначим через B = {0, 1} – множество высказываний. Определим операции на множестве B.

Отрицанием высказывания A называется высказывание, которое принимает значение истина, если A ложно, и наоборот. Отрицание обозначается (А) и является унарной операцией.

Пусть А и В - некоторые высказывания, введем бинарные операции над ними.

Конъюнкцией высказываний A и B называется высказывание, которое принимает значение истина тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания A и B. Обозначается конъюнкция - AB (АВ).

Дизъюнкцией высказываний A и B называется высказывание, которое принимает значение истина, если истинно хотя бы одно из высказываний A или B. Обозначается дизъюнкция - AB.

Импликацией высказываний A и B называется высказывание, которое принимает значение ложь тогда и только тогда, когда A истинно, а B ложно. Обозначается АВ.

Эквиваленцией высказываний A и B называется высказывание, которое принимает значение истина тогда и только тогда, когда высказывания A и B имеют одинаковые значения. Обозначение операции - АВ (АВ).

Логические операции определяются, также, с помощью таблиц, называемых таблицами истинности. Приведем сводную таблицу истинности для всех введенных логических операций.

A	B	A	AB	AB	AB	AB
0 0 1 1	0 1 0 1	1 1 0 0	0 0 0 1	0 1 1 1	1 1 0 1	1 0 0 1

Пропозициональной (высказывательной) переменной называется переменная, значениями которой являются простые высказывания. Обозначим высказывательные переменные через X₁, X₂, . . . , X_n.

Понятие формулы алгебры высказываний вводится по индукции. Формулами алгебры высказываний являются:

1) логические константы 0 и 1;

2) пропозициональные переменные;

3) если А и В – формулы, то каждое из выражений (А), (А)  (В), (А)  (В), (А)  (В), (А) ~ (В) есть формула;

4) других формул, кроме построенных по пп. 1) - 3), нет.

Обозначим через M – множество всех формул алгебры высказываний, M является замкнутым относительно логических операций.

Для формулы построенной по п. 3 формулы A и B называются подформулами. Число скобок в формуле можно сократить, Порядок выполнения операций в формуле определяется их приоритетом. Список логических операций в порядке убывания приоритета: ~. Изменение порядка выполнения операций, как и в алгебраических операциях, производится с помощью круглых скобок.

Пусть U – формула над высказывательными переменными X₁, X₂, . . . , X_n, обозначается U(X₁, X₂, . . . , X_n). Набор конкретных значений высказывательных переменных X₁, X₂, . . . , X_n называется интерпретацией формулы U и обозначается I(U).

Формула называется выполнимой, если существует такой набор значений переменных, при которых эта формула принимает значение 1 (существует интерпритация I(U), на которой формула истинна).

Формула называется опровержимой, если существует такой набор значений переменных, при которых эта формула принимает значение 0 (существует интерпритация I(U), на которой формула ложна).

Формула называется тождественно истинной (ТИ-формулой) или тавтологией, если эта формула принимает значение 1 при всех наборах значений переменных (формула истинна на всех интерпретациях).

Формула называется тождественно ложной (ТЛ-формулой) или противоречием, если эта формула принимает значение 0 при всех наборах значений переменных (формула ложна на всех интерпретациях).

Формулы А и В называются эквивалентными (обозначается А  В), если при любых значениях высказывательных переменных значение формулы А совпадает со значением формулы В.

Задачи определения эквивалентности, выполнимости, опровержимости, тождественной истинности и ложности формул могут решаться с помощью построения таблиц истинности, однако существуют менее громоздкие способы решения этих задач.