- •Математическая логика
- •Раздел I. Алгебра высказываний
- •1. Высказывания и операции над ними. Формулы
- •2. Следование, эквивалентность и преобразование формул
- •3. Использование законов логики в доказательстве теорем и построении схем
- •Преобразуем эту формулу, используя соответствующие эквивалентности u
- •4. Булевы функции
- •5. Нормальные формы
- •5. Полные системы операций. Алгебра Жегалкина
- •6. Выводимость
- •Раздел II. Алгебра предикатов
- •1. Предикат. Операции над предикатами.
- •2. Модель. Формула алгебры предикатов сигнатуры .
- •3. Формулы алгебры предикатов
- •Основные общезначимости алгебры предикатов
- •Раздел 3. Логические исчисления
- •1. Определение формального исчисления
- •2. Исчисление высказываний ив.
- •3. Отношение эквивалентности в ив
- •4. Исчисление секвенций ис.
- •Исчисления предикатов ип (ипс).
- •Прикладные исчисления предикатов.
- •Автоматическое доказательство теорем
- •Теория алгоритмов
- •Машины Тьюринга
- •2. Рекурсивные функции
- •3. Временная сложность алгоритма. Классы p и np.
- •4. Полиномиальная сводимость. Np-полные языки и задачи.
3. Использование законов логики в доказательстве теорем и построении схем
Эквиваленция и импликация играют важную роль в математике при построении логического вывода, в частности, при доказательстве различных высказываний (теорем).
Рассмотрим, например, следующую теорему: асимметричное бинарное отношение антирефлексивно. С точки зрения алгебры высказываний теорема имеет структуру следования
А В,
где А = “отношение R асимметрично”,
В = “отношение R антирефлексивно”.
Следующая теорема – для связности графа необходимо и достаточно, чтобы в нем какая-нибудь фиксированная вершина v была достижима из всех вершин, имеет вид двойного следования
А В (А В, В А),
где А = “граф G – связный”,
В = “вершина v достижима из всех вершин”.
Согласно теоремам 2.1 и 2.2, следование А В имеет место тогда и только тогда, когда импликация А В является ТИ-формулой, а двойное следование А В выполняется, когда ТИ-формулой является эквиваленция А В. Таким образом, для доказательства какой-либо теоремы надо доказать ТИ соответствующей импликации или эквиваленции. Рассмотрим основные приемы таких доказательств, использующие законы математической логики.
Определение 1. Если АВ является истинным высказыванием, то истинность А является достаточным условием истинности В, а истинность В – необходимым условием истинности А.
Определение 2. Теоремы, записанные в виде импликаций АВ и ВА называются взаимно-обратными. Если верны обе импликации, то истинность А является необходимым и достаточным условием истинности В, и наоборот.
Определение 3. Теоремы, записанные в виде импликаций АВ и называются взаимно-противоположными.
Предположим, что утверждение А истинно и докажем, что в этом случае В тоже истинно. Так доказывается теорема вида А В. Однако такая схема доказательства “в лоб” не всегда удобна. Для доказательства истинности импликаций и эквиваленций часто используют свойства эквивалентности формул.
Известно, что
А В В (А ) .
Следовательно, имеем три равносильных способа доказательства, т.к. вместо истинности импликации можно доказывать истинность эквивалентной формулы.
Например, А = “отношение R асимметрично”, В = “отношение R антирефлексивно”. Тогда доказательство по схеме выглядит так:R рефлексивно, т.е. (х, х) R, значит, (х, х) R– 1 , т.е. (х, х) R R– 1 . Это означает, что R не асимметрично.
Доказательство истинности ( (А )), или, что то же самое, ложности (А ), так называемое доказательствоот противного, основано на предположении: А – истинно, а В – ложно. В результате должно быть получено ТЛ-высказывание, или противоречие.
Например, предположим, что R асимметрично и рефлексивно. В силу асимметричности неверно одно из следующих соотношений: (х, у) R и (у, х) R. Положим х = у. Тогда, включение (х, х) R неверно, т.е. утверждение – ложно, значит и (А ) – ложно.
В автоматическом управлении и при эксплуатации вычислительных машин приходится иметь дело с переключательными схемами (релейно-контактными, полупроводниковыми), состоящие из сотен реле, полупроводников, магнитных элементов. Переключательная схема состоит из переключателей (например, кнопочные устройства, электромагнитные реле, полупроводниковые элементы и т.п.) и соединяющих их проводников. При конструировании таких схем существенную помощь может оказать алгебра высказываний: можно построить схему, выполняющую требуемые функции (синтезирование схемы) или изучить действие построенной схемы и возможно ее упростить (анализ схемы).
Каждой схеме ставится в соответствие формула алгебры высказываний, и каждая формула реализуется с помощью некоторой схемы. Покажем, как установить такое соответствие. Каждому переключателю P ставится в соответствие высказывательная переменная P, которая истинна тогда и только тогда, когда переключатель P замкнут. Схеме с последовательным соединением переключателей P и Q соответствует формула, являющаяся конъюнкцией высказавательных переменных, соответствующих этим переключателям, . Схеме с параллельным соединением переключателейP и Q соответствует формула, являющаяся дизъюнкцией высказавательных переменных, соответствующих этим переключателям, . Два переключателяP и могут быть связаны так, что когдаP замкнут, то разомкнут. Тогда переключателюставится в соответствие переменная, являющаяся отрицаниемP.
Задание. Упростить схему
Решение. Запишем формулу, соответствующую схеме, по приведенным выше правилам
U = .