5. Исчисления предикатов ип (ипс).

Определим исчисление предикатов гильбертовского типа ИП. Это исчисление является расширением исчисления высказываний ИВ.

В алфавит ИВ добавим строчные латинские буквы для обозначения предметных переменных и символы кванторов  и . Язык исчисления составляют формулы, определяемые также, как в алгебре предикатов.

Аксиоматика исчисления дополняется двумя схемами аксиом:

11. 

12. ,

где - произвольная формула, содержащая свободные вхождения переменнойx, причем ни одно из них не находится в области действия квантора по переменной y, а получена иззаменой свободных вхожденийx на y.

К правилу заключения ИВ добавляются два правила, связанные с кванторами. Пусть и– формулы, которые содержат и не содержат свободные вхождения переменнойx соответственно.

2. Правило обобщения (введения )

.

2. Правило введения 

.

Правила естественного вывода дополняются 4-мя правилами. Пусть

14. Правило введения квантора .

Если T |- U(x), то T |- xU(x).

14. Правило удаления квантора .

Если T |- xU(x), то T |- U(y).

14. Правило введения квантора .

Если T |- U(y), то T |- xU(x).

14. Правило удаления квантора .

Если T, U(x) |- V, то T, xU(x) |- V.

Рассмотрим пример вывода в ИП.

Доказать, что в ИП |-

1. |-	1
2. |-	15 (1)
3. |-	14 (2)

Исчисление предикатов генценовского типа ИПС строится расширением исчисления ИП.

5. Прикладные исчисления предикатов.

Прикладные исчисления предикатов строятся добавлением к исчислению предикатов своих собственных аксиом. Причем, в прикладных исчислениях предикатов вводится понятие терма. Термами являются:

1. предметные переменные и константы;

2. предметные функции.

В аксиомах прикладных исчислений предикатов наряду с предметными переменными могут использоваться произвольные термы, так аксиомы 11, 12 в них имеют вид:

11. 

12. ,

где t – произвольный терм.

Всюду далее будут рассматриваться прикладные исчисления предикатов первого порядка, т. е. исчисления, в которых кванторами связываются только предметные переменные, а не предикаты и функции.

1. Исчисление с равенством.

В данном исчислении вводится предикат =, а к аксиомам ИП добавляются аксиомы равенства.

E1.

E2.

Здесь Е1 является аксиомой, а Е2 – схемой аксиомы, где – произвольная формула, а– формула, полученная иззаменой некоторых вхожденийx на y.

Теорема 6.1. В любой теории с равенством:

1. |- для любого термаt;

2. |-;

3. |-.

Доказательство. 1) Данное утверждение непосредственно следует из аксиом 11’ и Е1, где .

Для свойств 2), 3) построим формальные выводы формул.

2)

1. |-	Е2
2. |-	6 (1)
3. |-	Е1
4. |-	3 (2, 3)
5. |-	5 (4)

3)

1. |-	Е2
2. |-	1, где ,
3. |-	6 (2)
4. |-	Теорема исчисления с равенством
5. |-	4 (4, 3)
6. |-	5 (5)

2. Строгий частичный порядок.

Предикатом строгого частичного порядка является предикат <, а дополнительными – следующие аксиомы.

NE1.

NE2.

3. Формальная арифметика.

Формальная арифметика определяется как исчисление с равенством на предметном множестве , в котором вводятся предметная константа 0 и предметные функции + ,  ,  , задаваемые аксиомами.

A1.

A2.

A3.

A4.

A5.

A6.

A7.

A8.

Здесь А1-А7 – аксиомы, а А8 – схема аксиомы, определяющая доказательство по индукции.