ЛЕКЦИИ ТЕОРМЕХ / Лек4Д(през)

Количеством движения материальной точки называется вектор, имеющий направление вектора скорости и модуль, равный произведению массы точки m на модуль скорости её движения V.

Проекции вектора количества движения на оси x, y, z: ,, .

Количеством движения механической системы называется вектор, равный геометрической сумме (главному вектору) количеств движения всех материальных точек этой системы.

(4.1)

(4.2)

Проекции вектораК на оси координат:

(4.3)

Импульс силы. Если постоянная по модулю и направлению сила Р действует в течение промежутка времени , то её импульсом за этот промежуток времени является вектор

(4.4)

Чтобы найти импульс переменной силы за промежуток времени , этот промежуток разбивают на n элементарных промежутков и определяют элементарные импульсы силы за эти промежутки.

(4.5)

Проекции элементарного импульса на оси координат

Аналогично на оси y и z

;

Просуммировав проекции элементарных импульсов и перейдя к пределу, получим определённые интегралы по переменной t, представляющие собой проекции импульса S на оси координат

Здесь X = f₁(t); Y = f₂(t); Z = f₃(t) – проекции переменной силы P = P(t) на оси координат.

;

; (4.6)

Модуль и направление импульса S определяются по его проекциям

(4.7)

Для постоянной по модулю и направлению силы Р, действующей в течение промежутка времени , формулы (1.6) имеют вид

S_x = X;

S_y = Y;

S_z = Z,

Если к т. М приложено несколько сил то равнодействующая этих сил

Умножим обе части этого равенства на dt и проинтегрируем в пределах от t₁ до t₂

Получим, что импульс равнодействующей нескольких сил за некоторый промежуток времени равен геометрической сумме импульсов составляющих сил за этот же промежуток времени.

(4.8)

В проекциях на координатные оси:

(4.9)

Теорема: Производная по времени от количества движения материальной точки геометрически равна равнодействующей сил, приложенных к этой точке.

Теорема импульсов: Изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов сил, приложенных к точке за тот же промежуток времени.

(4.10)

(4.11)

Теорема: Производная по времени от количества движения механической системы геометрически равна главному векторы внешних сил, действующих на эту систему.

(4.12)

В проекциях на оси координат:

(4.13)

Следствия из теоремы:

1. Если главный вектор внешних сил за рассматриваемый промежуток времени равен нулю, то количество движения механической системы постоянно.

2. Если проекция главного вектора внешних сил на какую-либо ось за рассматриваемый промежуток времени равна нулю, то проекция количества движения механической системы на эту ось постоянна.

(4.14)

Закон сохранения количества движения системы

Теорема импульсов для системы: Изменение количества движения механической системы за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов внешних сил, приложенных к системе, за тот же промежуток времени.

где - импульсы внешних и внутренних сил, действующих на точку М_i в промежутке t₂ – t_1.

(4.15)

В проекциях оси координат

;

; (4.16)

Теорема Эйлера. Сумма главных векторов объёмных и поверхностных сил, а также векторов секундных количеств движения жидкости, протекающей через два сечения трубы, равна нулю, если векторы секундных количеств движения направить внутрь выделенного сечениями объёма.