view

В нашей задаче

По таблице функции Φ(x) находим: Φ(1,5) = 0,433. Получаем оконча-

тельно P(19,7 < X < 20,3) = 2 0,433 = 0,866.

3) Поскольку искомый интервал симметричен относительно среднего значения а = 20, то его можно определить как множество значений Х, удовлетворяющих неравенству (20 − δ < X < 20 + δ) или X − 20 < δ. По условию задачи известно, что P( X − 20 < δ)= 0,9973.

С другой стороны, для нормального распределения имеет место так называемое «правило 3-σ»: P( X − a < 3σ)= 0,9973. Сравнивая это равенство с предыдущим, находим, что δ = 3σ = 0,6. Отсюда искомый интервал имеет вид (20 − 0,6; 20 + 0,6) или (19,4; 20,6).

41

Глава 3 ВАРИАНТЫ ТИПОВОГО РАСЧЕТА

Задача 1 . Элементы комбинаторики.

Подсчет вариантов с помощью графов

1.1.Сколько всех четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 5, 6, 7?

1.2.Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево?

1.3.Сколько всего семизначных телефонных номеров, в каждом из которых ни одна цифра не повторяется?

1.4.Каждый телефонный номер состоит из семи цифр. Сколько всего телефонных номеров, не содержащих других цифр, кроме 1, 3, 4 и 8?

1.5.Сколькими способами можно разместить восемь пассажиров в трех вагонах?

1.6.Сколькими способами можно расположить в ряд два яблока и четыре груши?

1.7.В розыгрыше первенства по шахматам принимают участие 16 команд, при этом любые две команды играют между собой только один матч. Сколько всего календарных игр?

1.8.В кондитерском отделе имеется шесть сортов шоколадных конфет. Каждый новогодний гостинец должен содержать четыре сорта конфет. Сколькими способами можно составить новогодний набор?

1.9.Сколько существует двузначных чисел, в которых цифра десятков

ицифра единиц разные и нечетные?

1.10.Сколькими способами можно расставить на полке шесть книг разных авторов?

1.11.Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5

без повторения цифр в каждом из них? Сколько среди них таких, которые

не кратны пяти?

1.12. Сколькими способами можно из 20 студентов группы выбрать

42

старосту, физорга и профорга?

1.13.10 книг – 7 книг различных авторов и трехтомник одного автора – помещены на книжной полке. Сколькими способами их можно расставить на полке так, чтобы книги автора трехтомника стояли рядом?

1.14.Сколько всего четырехзначных чисел, у которых все цифры не-

четные?

1.15.Сколькими способами можно рассадить на скамейке пять человек?

1.16.Сколькими способами можно составить список из семи учеников?

1.17.Сколько всего четырехзначных чисел, делящихся на 2?

1.18.В подразделении 30 солдат и три офицера. Сколькими способами можно выделить патруль, состоящий из трех солдат и одного офицера?

1.19.Из семи гвоздик и пяти тюльпанов надо составить букет, состоящий из трех гвоздик и двух тюльпанов. Сколькими способами можно это сделать?

1.20.Сколькими способами могут быть выбраны четыре делегата на профсоюзную конференцию, если в группе 20 человек?

1.21.В классе десять предметов и пять уроков в день. Сколькими способами можно составить расписание на один день?

1.22.Сколькими способами можно составить колонну из десяти автобусов и трех легковых автомобилей, считая, что все автобусы и все автомобили одинаковых марок?

1.23.Из восьми цветков (роза, астра, тюльпан, гвоздика, гладиолус, фиалка, ромашка, лилия) надо составить букет так, чтобы в него входило не менее двух цветков. Сколько способов существует для этого?

1.24.Сколькими способами можно выбрать три книги из четырех книг разных авторов?

1.25.По окончании деловой встречи специалисты обменялись визитными карточками (каждый вручил свою карточку каждому). Сколько всего визитных карточек было роздано, если во встрече участвовали 5 человек?

43

1.26.В кафе предлагают два первых блюда: борщ, рассольник, а также четыре вторых блюда: гуляш, котлеты, сосиски, пельмени. Укажите все обеды из двух блюд, которые может заказать посетитель. Проиллюстрируйте ответ, построив граф-дерево возможных вариантов.

1.27.Маше на день рождения подарили три букета цветов: из роз (р), астр (а), и гвоздик (г). В доме было две вазы: хрустальная (х) и керамическая (к). Маша пробовала устанавливать каждый букет в каждую вазу. Перечислить все полученные сочетания букета с вазой с помощью графдерева.

1.28.Перечислить все возможные варианты обедов из трех блюд (одного первого, одного второго и одного третьего блюда), если в меню столовой имеются два первых блюда: щи (щ) и борщ (б); три вторых блюда: рыба (р), гуляш (г) и плов (п); два третьих: компот (к) и чай (ч). Нарисуйте граф-дерево.

1.29.С помощью граф – дерева перечислить все возможные цветовые сочетания брюк, свитера и ботинок, если в гардеробе имеются брюки трех цветов: серые (с), бежевые (б) и зеленые (з); свитера двух расцветок: песочный (п) и малиновый (м); ботинки двух цветов: черные (ч) и коричневые (к).

1.30.У Аси есть любимый костюм, в котором она ходит. Она надевает

кнему белую, голубую, розовую или красную блузку, а в качестве «сменки» берет босоножки или туфли. Кроме того, у Аси есть три разных бантика (№ 1, 2, 3), подходящих ко всем блузкам.

1) Нарисуйте граф-дерево возможных вариантов Асиной одежды. 2) Сколько дней Ася сможет выглядеть по новому в этом костюме? 3) Сколько дней она будет ходить в туфлях?

4) Сколько дней она будет ходить в красной блузке и босоножках?

44

Примеры решения задачи

Пример 1. Сколько существует шестизначных чисел, которые делятся на 5?

Решение. Число, делящееся на 5, должно оканчиваться на 0 или на 5 (две возможности). Цифры десятков, сотен, тысяч и десятков тысяч могут быть любыми (по десять возможностей для каждого случая). Цифра разряда сотен тысяч шестизначного числа может быть любой, кроме 0 (9 воз-

Пример 2. Буквы азбуки Морзе состоят из символов – точка и тире. Сколько букв получим, если потребуем, чтобы каждая буква состояла не более чем из пяти указанных символов?

Решение. Число всех букв, записанных одним символом равно числу

размещений с повторениями из 2 по 1: А21 (п)=21 . Количество всех букв, записанных двумя символами равно числу размещений с повторениями из

писывается пятью символами, равно А25 (п)= 25 =32. Количество всех букв по условию задачи равно сумме всех рассмотренных вариантов: 2+4+8+16+32=62.

Задача 2 . События и операции над ними . Классическое и геометрическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность

2.1. Образуют ли полную систему события С1 и С2 , если С1 – не менее одного попадания при двух выстрелах; С2 – не менее одного промаха при двух выстрелах? Обоснуйте свой ответ.

45

2.2. Стохастический эксперимент состоит в бросании игральной кости. Рассматриваются события:

А1 – появление четного числа очков;

А2 – появление 2 очков;

А3 – появление 4 очков;

А4 – появление 6 очков.

Сформулировать события: 1) А1 А2 ; 2) А1А2 А3 ; 3) А1 А2 + А3 А4 .

2.3.Сформулировать события, противоположные данным: 1) все студенты нашей группы изучают английский язык; 2) среди пяти мячей нет ни одного красного; 3) из трех задач я решу хотя бы одну; 4) среди четырех карт все карты разной масти.

2.4.В коробке пять одинаковых изделий, причем три из них окрашены. Найти вероятность того, что среди двух извлеченных изделий хотя бы одно окрашенное.

2.5.В секцию магазина поступило 10 велосипедов, из которых четыре с дефектами. Наудачу взяты 3. Найти вероятность того, что среди взятых велосипедов будут все одинакового качества.

2.6.Брошено 10 игральных костей. Предполагается, что все комбинации выпавших очков равновероятны. Найти вероятности событий:

1) не выпало ни одной «6»;

2) выпало ровно три «6»;

3) выпала хотя бы одна «6»;

4) выпало хотя бы две «6».

2.7.Из колоды в 52 карты извлекаются 4 карты. Найти вероятности следующих событий:

1) в полученной выборке все карты трефовой масти;

2) в полученной выборке окажется хотя бы один валет.

46

2.8.Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачет считается сданным, если студент ответит не менее, чем на 3вопроса билета из 4. Взглянув на первый вопрос билета, студент обнаружил, что он его знает. Какова вероятность того, что:

1) студент сдаст зачет;

2) студент не сдаст зачет.

2.9.На понедельник в институте запланировано 3 лекции по различным предметам из 10 изучаемых на данном курсе. Какова вероятность того, что студент, не успевший ознакомиться с расписанием, его угадает, если любое расписание из 3 предметов равновозможно?

2.10.Из колоды в 52 карты извлекаются 4 карты. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы один король?

2.11.Быстро вращающийся диск разделен на четное число равных секторов, попеременно окрашенных в белый и черный цвет. По диску произведен выстрел. Найти вероятность того, что пуля попадет в один из белых секторов.

2.12.Точка «брошена» в круг радиуса R. Какова вероятность того, что она не попадет внутрь вписанного в этот круг квадрата?

2.13.На отрезке АВ длиной 12 см наугад ставят точку М. Найти вероятность того, что площадь квадрата, построенного на отрезке АМ как на стороне, будет не меньше 36 см2 и не больше 81 см2.

2.14.В одном ящике 5 белых и 10 красных шаров, а в другом ящике 10 белых и 5 красных шаров. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика будет вынут белый шар, если из каждого ящика берется один шар?

2.15.Вероятность того, что в течении одной смены возникнет неполадка станка, равна 0.05. Какова вероятность того, что не произойдет ни одной неполадки за три смены?

2.16.В ящике 10 белых и 6 красных карандашей. Вынимается наудачу два карандаша. Какова вероятность того, что оба карандаша одного цвета?

47

2.17.Вероятность выигрыша по одному билету равна 0,1. Какова вероятность того, что на 5 купленных билетов можно выиграть:

1) по всем пяти билетам;

2) хотя бы по одному билету?

2.18.Десять спортсменов разыгрывают золотую, серебряную и бронзовую медали. Сколькими способами эти медали могут быть распределены между спортсменами?

2.19.Номер в автоматической камере хранения состоит из 4 цифр. Сколько различных способов набора номера? Сколько способов в случае, если все цифры различны? Сколько способов в случае, если цифры четные? Сколько способов в случае, если одна цифра четная, а остальные нечетные?

2.20.Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в слове «экономика»?

2.21.Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг, если имеется материал пяти различных цветов? Если одна из полос должна быть красной?

2.22.Сколько ожерелий можно составить из семи бусинок разных раз-

меров?

2.23.В розыгрыше лотереи участвуют 3 человека. Каждому из них присвоен порядковый номер. Участники лотереи должны вытащить карточку из корзины, где находится три карточки с номерами 1, 2, 3. Призы выдаются тем, кто вытащит карточку со своим порядковым номером. Каково число вариантов, в которых выигрыш только у одного участника лотереи? В которых ни один не выигрывает?

2.24.Рассмотрите предыдущую задачу для случая, когда число участников лотереи равно пяти. Каково в этом случае число вариантов, когда выигрыш только у одного участника лотереи? Каково число вариантов, в которых нет выигравших?

48

2.25.Имеется колода из 36 карт. Одна за другой вынимаются две карты. Какова вероятность, что это будут:

1) два туза;

2) две карты крестовой масти?

2.26.В урне 3 белых и 7 черных шаров. Один за другим вынимаются три шара. Найти вероятность того, что все вынутые шары одного цвета?

2.27.Охотник выстрелил по удаляющейся мишени 3 раза. Вероятность попасть в цель в начале стрельбы равна 0,9, а после каждого выстрела уменьшается на 0,2. Найти вероятность того, что охотник попадет хотя бы один раз.

2.28.Три орудия ведут огонь по цели, стреляя по одному разу. Вероятность попадания при одном выстреле для первого орудия равна 0,8, для второго – 0,4, для третьего – 0,7. Найти вероятность поражения цели, если для этого достаточно двух попаданий.

2.29.Трое поочередно бросают монету. Выигрывает тот, у кого раньше выпадет герб. Определить вероятность выигрыша для каждого из игроков.

2.30.Рабочий производит с вероятностью 0,9 годное изделие, с вероятностью 0,09 – изделие с устранимым дефектом, с вероятностью 0,01 – с неустранимым дефектом. Произведено 4 изделия. Найти вероятность того, что среди них 2 годных и хотя бы одно изделие с устранимым дефектом.

Примеры решения задачи

Пример 1. В урне 4 красных, 6 зеленых и 5 синих шаров. Одновременно вынимаются два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут:

1)одного (любого) цвета;

2)разных цветов.

Решение. Вероятность события по классической формуле определяется

так: Р(А)= m , где n – число всех элементарных исходов, m – число эле- n

49

ментарных исходов, благоприятствующих наступлению события А. Число всех шаров 15. Одновременно вынимают два шара (по условию). Таким образом, элементарным исходом является любой набор двух шаров из 15. Любые два элементарных исхода отличаются хотя бы одним шаром, значит, элементарный исход является сочетанием. Следовательно, число всех элементарных исходов равно числу сочетаний из 15 по 2. Итак,

1) Рассмотрим случай, когда оба шара одного цвета: m = m1 + m2 + m3, где m1 – число элементарных исходов, когда оба шара красные; m2 – оба шара зеленые; m3 – оба шара синие.

Найдем значения этих чисел:

m1 = C42 = 2!4!2! = 423 = 6; m2 = C62 = 4!6!2! = 625 =15; m3 = C52 = 3!5!2! = 524 =10 Итак, m = 6 +15 +10 = 31 и P(A1) = 31/105.

2) Рассмотрим случай, когда оба шара разных цветов:

m1 – число элементарных исходов, когда один шар красный, другой – зеленый; m2 – когда один шар красный, другой – синий; m3 – когда один шар зеленый, другой – синий.

Найдем значения этих чисел:

m1 = 4 6 = 24; m2 = 4 5 = 20; .m3 = 6 5 = 30

Таким образом, m = 24 + 20 + 30 = 74 и P(A2 ) = 74/105. Ответ: а) 31/105; б) 74/105.

Замечание. Если найдена вероятность того, что оба шара одного цвета

(P(A1) = 31/105), то вероятность того, что оба шара будут разных цветов, можно найти проще, так как события A1 и A2 противоположные:

P(A2 ) =1− 31/105 = 74/105.

Пример 2. На числовой оси расположен отрезок [−1; 5], на который

50