Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Волгоградский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

view

.pdf

Скачиваний:

158

Добавлен:

14.03.2016

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 158 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

							0,		если x ≤ −2,
						x
						x
6.2.	1)	F(x) = A + B arcsin						,	если			− 2 < x ≤ 2,
6.2.	1)	F(x) = A + B arcsin				2		,	если			− 2 < x ≤ 2,
						2			если x > 2.
							1,		если x > 2.


				0,	если x ≤ 0,
												π
6.3.	1)				если 0 < x ≤							π	,
6.3.	1)	F(x) = A sin x,			если 0 < x ≤							3	,
										π		3
				1,	если x				>	π	.
				1,	если x				>	3	.
										3
					0,			если x ≤					π	,
					0,			если x ≤					6	,


											π				π
6.4.	1)							если			π	< x ≤			π	,
6.4.	1)	F(x) = A sin3x + B,						если			6	< x ≤			3	,
											6				3
					1,			если x > π.
													3
													3
				0,	если x ≤ −2,
6.5.	1)		2	+ B,	если − 2 < x ≤ 0,
6.5.	1)	F(x) = Ax		+ B,	если − 2 < x ≤ 0,
				1,	если x > 0.
				1,	если x > 0.

				0,	если x ≤ 0,
6.6.	1)		− x2,		если 0 < x ≤1,
6.6.	1)	F(x) = Ax	− x2,		если 0 < x ≤1,
				1,	если x >1.
				1,	если x >1.

				0,	если x ≤ 0,
6.7.	1)				если 0 < x ≤ 2,
6.7.	1)	F(x) = x + Ax2,			если 0 < x ≤ 2,
				1,	если x > 2.
				1,	если x > 2.

				0,	если x ≤ 0,
6.8.	1)		+ Ax2,		если 0 < x ≤1,
6.8.	1)	F(x) = 2x	+ Ax2,		если 0 < x ≤1,
				1,	если x >1.
				1,	если x >1.

				0,	если x ≤ 0,
6.9.	1)				если 0 < x ≤ 2,
6.9.	1)	F(x) = Ax2 + x,			если 0 < x ≤ 2,
				1,	если x > 2.
				1,	если x > 2.

2)X (−1; 1).

2)X π; π .6 4

2)		π	;	π
	X	4		3	.

2)X (−1; 0).

2)X (0,25; 0,75).

2) X (1; 1,5).

2)		1	;	1
2)	X	3	;	2	.
		3		2

2)		1	;	1
2)	X	4	;	3	.
		4		3

				0,	если x ≤ 0,
			x2
			x2
6.10.	1)	F(x) = A x −		,	если 0 < x ≤1,
6.10.	1)	F(x) = A x −	2	,	если 0 < x ≤1,
			2
				1,	если x >1.
				1,	если x >1.
				0,	если x ≤ 0,
6.11.	1)				если 0 < x ≤ 2,
6.11.	1)	F(x) = Ax2 + x + B,			если 0 < x ≤ 2,
				1,	если x > 2.
				1,	если x > 2.

2) X (0; 0,25).

2) X (1; 1,5).

				0,	если x < 0,
6.12.	1)		− cos x),		если 0 ≤ x ≤ π,
6.12.	1)	F(x) = A(1	− cos x),		если 0 ≤ x ≤ π,
				1,	если x > π.
				1,	если x > π.
			0,		если x < 2,
6.13.	1)		− 2)2,	если 2 ≤ x ≤ 3,
6.13.	1)	F(x) = A(x	− 2)2,	если 2 ≤ x ≤ 3,
			1,		если x > 3.
			1,		если x > 3.

			0,	если x ≤1,
6.14.	1)			если 1< x ≤ 2,
6.14.	1)	F(x) = A(x4 −1),		если 1< x ≤ 2,
			1,	если x > 2.
			1,	если x > 2.

			0,	если x < −			π		,
			0,	если x < −			4		,


						π				π
6.15.	1)				если −	π		≤ x ≤		π	,
6.15.	1)	F(x) = A + Bsin x,			если −	4		≤ x ≤		4	,
						4				4
			1,	если x > π.
						4
						4

2)		π	;	π
	X	3		2	.

2)X (2,5; 3,5).

2)X (1,5; 2,5).

2)		−	π	;	π
	X		2		2	.

В вариантах 6.1–6.30 задана функция плотности f (x) непрерывной случайной величины Х. Найти: 1) функцию распределения F(x), вычислив сначала неопределенные коэффициенты; построить графики f (x) и F(x); 2) вероятность того, что заданная случайная величина находится в интервале (a; b); 3) математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение случайной величины Х; 4) моду, медиану, асимметрию и эксцесс заданной случайной величины.

6.16.	1)				0,
6.16.	1)	f (x) =
		Ax3,
			0,
6.17.	1)
6.17.	1)	f (x) = A			,

				4
		x

если x ≤1 и x ≥ 2, если x (1; 2).

если x <1, если x ≥1.

6.18.	1)	f (x) =		A				, если x (−∞;					+ ∞)
6.18.	1)	f (x) =	ex	+ e−x				, если x (−∞;					+ ∞)
			ex	+ e−x
									если x ≤ 0 и x ≥					π
6.19.	1)	f (x) =			0,				если x ≤ 0 и x ≥					2 ,
6.19.	1)	f (x) =										π
									если x (0;			π	).

			Acos x,									2
												2
6.20.	1)	f (x) =			0,			если x ≤ 2 и x ≥ 4,
6.20.	1)	f (x) =
			Ax3,					если x (2; 4).
										π					x ≥	π
6.21.	1)	f (x) =			0,				если x ≤ − 2						x ≥	2	,
6.21.	1)	f (x) =									π		π
									если x (−		π	;	π		).

			Asin x,								2		2
											2		2
6.22.	1)	f (x) =							0,	если x ≤ 0 и x ≥1,
6.22.	1)	f (x) =
			A(x2 + 2x),							если x (0; 1).
6.23.	1)	f (x) =						0,	если x ≤ 0			x ≥ 5,
6.23.	1)	f (x) =
			A(5 − x),						если x (0; 5).
6.24.	1)	f (x) =						0, если x ≤1 и x ≥ 3,
6.24.	1)	f (x) =
			A(x −1),						если x (1; 3).
					0,				если x <1,
6.25.	1)	f (x) =			A
6.25.	1)	f (x) =			A		,		если x ≥1.

				2
				2
			x			x
6.26.	1)	f (x) =			0,			если x <1,
6.26.	1)	f (x) =
			Ax−4,					если x ≥1.

2)X (0,5; 1,5).

2)X (1; 3).

2)X (0; 1).

2)		0;	π
	X		4	.

2)X (2,5; 3).

2)X − π4 ; 0 .

2)X 1; 1 .3

2)X (3; 4).

2)X (1,5; 2,5).

2)X (1; 4).

2)X (2,5; 3).

							если x ≤ 0 и x ≥				π
6.27.	1)	f (x) =				0,	если x ≤ 0 и x ≥				4 ,
6.27.	1)	f (x) =							π
							если x (0;		π	).

			Acos2x,						4
									4
					0,		если x < 0,
6.28.	1)	f (x) =
6.28.	1)	f (x) =			2		если x ≥ 0.
			Axe−4x			,	если x ≥ 0.

6.29.	1)	f (x) =					0,	если x ≤ 2 x ≥ 4,
6.29.	1)	f (x) =
			Ax2 + Bx − 6,					если x (2; 4).
6.30.	1)	f (x) =		A	, если x (−∞; + ∞)
6.30.	1)	f (x) =	1	+ x2	, если x (−∞; + ∞)
			1	+ x2

2)X 0; 12π .

2)X (0; 2).

2) X (0; 3).

2)		−	π	;	π
	X		3		3	.

Примеры решения задачи

Пример 1. Проекция Х радиус – вектора случайной точки окружности радиуса a на диаметр имеет функцию распределения

		0,		если x ≤ −a,
		x
		x
F(x) = A + B	arcsin		,	если x (−a; a),
F(x) = A + B	arcsin	a	,	если x (−a; a),
		a		если x ≥ a.
		1,		если x ≥ a.

	Найти:
	1) значения неопределенных коэффициентов А и В; плотность распре-
деления				f (x) ; 2) вероятность того, что Х окажется в пределах промежутка
	a		a
−		;		; 3) моду и медиану распределения.
−	2	;	2	; 3) моду и медиану распределения.
	2		2
	Решение.
	1) Для нахождения неопределенных коэффициентов А и В воспользу-
емся свойством непрерывности функции F(x) = P(X < x):
		lim		F(x) =	lim F(x) = F(−a); lim F(x) = lim F(x) = F(a).
	x→−a−0				x→−a+0	x→a−0	x→a+0
	Так как lim				F(x) = 0 и	lim F(x) =1, то получаем:
				x→−a−0		x→a+0

F(−a) = 0, илиF(a) =1;


A + Barcsin(−1)		= 0,	A − B
	=1;
A + Barcsin(1)	=1;
			A + B

π	= 0,	1			1
2	=1. A =	1		B =	1
π	=1. A =	2	;	B =	π.
2

0, если x ≤ −a,

Следовательно, F(x) =

arcsin

если x (−a; a),

если x ≥ a.

Функция плотности

f (x) = F′(x), значит

если x ≤ −a x ≥ a,

f (x) =

если x (−a; a).

− x

2) вероятность того, что Х окажется в промежутке

−

;

, равна

P −

< X

= F

− F

−

arcsin

3) Модой непрерывной случайной величины Х называется то ее значение, при котором плотность распределения максимальна. Однако функция

f (x) =	1	не имеет максимума, т. к.	f ′(x) =		x	и при пе-


	π a2 − x2			π (a2 − x2 )3

реходе через х = 0 производная меняет знак с «–» на «+». Значит, х = 0 – точка минимума. Следовательно, заданное распределение моды не имеет.

Медианой непрерывной случайной величины Х называется такое ее значение Me , для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная

величина меньше или больше Me , то есть									P(X < Me ) = P(X > Me ) = 0,5.
Исходя из этого, решим уравнение:					1	+	1	arcsin		Me	= 0,5. Следовательно,
Исходя из этого, решим уравнение:					2	+		arcsin			= 0,5. Следовательно,
					2		π			a
	Me	= 0. Медиана M		= 0.
		= 0. Медиана M	e	= 0.
	a		e
	a

Пример 2. Дана плотность вероятности непрерывной случайной вели-

чины Х: f (x) = ae2x−x2 , где a > 0. Найти моду этой случайной величины.

Решение. Определим максимум функции y = f (x). Для этого найдем f ′(x) = (2 − 2x)ae2x−x2 . Далее, f ′(x) = 0 и x =1 – критическая точка, при пе-

реходе через которую f ′(x) меняет знак с «+» на «–». Следовательно, при x =1 функция f (x) имеет максимум. Итак, мода заданного распределения

M =1.

Пример 3. Плотность вероятности случайной величины Х равна

f (x) = Ax2e−kx , где k > 0 и 0 ≤ x < +∞.

Найти: 1) коэффициент А; 2) функцию F(x) распределения случайной

величины Х; 3) вероятность попадания случайной величины в интервал

+∞

Решение. 1)

Используя

свойство

функции

плотности ∫

f (x)dx =1,

−∞

+∞

получим ∫ ax2e−kxdx =1. Дважды

интегрируя

по частям,

получаем

+∞

∫ x2e−kxdx =

Следовательно,

=1 и a =

. Функция

плотности

примет вид: f (x) =

x2e−kx.

2) Функция распределения F(x)

определяется по формуле

+ 2kx + 2

F(x) = ∫ f (x)dx. Значит, найдем: F(x) = ∫

x2e−kxdx =1−

e−kx.

3) Вероятность P 0 < X < 1

попадания случайной величины Х в за-

данный промежуток вычислим по формулам:

P(a < X < b) = ∫ f (x)dx или P(a < X < b) = F(b) − F(a).

Значит, P

< X <

= F

− F(0)

= F

=1−

≈ 0,086.

Пример 4. На рис. 3.3 дана функция

0, если x < 0;

	ax2 ,	если 0 ≤ x <1;

f (x) =
a(2 − x)2 ,		если 1≤ x < 2;
	0,	если x ≥ 2.

При каком значении a функция f (x) является плотностью распределения случайной величины Х ? Определить начальные и центральные моменты первых четырех порядков, асимметрию и эксцесс.

f(x)

Рис. 3.3

Решение. Определяем a, используя основное свойство функции плот-

∞
ности: ∫	f (x)dx =1. Следовательно,
−∞
1	2		x	3	1		(2 − x)	3	2	a		a			3.
1	2			3	1			3	2
a∫x2dx + a∫(2 − x)2 dx =1,		a				− a			=1;		+		=1,	a =
a∫x2dx + a∫(2 − x)2 dx =1,		a				− a			=1;		+		=1,	a =
0	1		3		0		3		1	3	3				2
0	1		3		0				1

Находим начальные моменты:

	3		1				3			2							1							2
ν1 =	3		∫x3dx +				3			∫x(2 − x)2 dx =1.			ν2 =			3		∫x4dx +				3			∫x2 (2 − x)2 dx =1,1.
ν1 =	2		∫x3dx +				2			∫x(2 − x)2 dx =1.			ν2 =			2		∫x4dx +				2			∫x2 (2 − x)2 dx =1,1.
			0							1							0							1
		3	1					3		2					3		1				3			2		22
ν3 =		3	∫x5dx +					3		∫x3(2 − x)2 dx =1,3.			ν4 =		3		∫x6dx +				3		∫x4 (2 − x)2 dx =1			22	.
ν3 =		2	∫x5dx +					2		∫x3(2 − x)2 dx =1,3.			ν4 =		2		∫x6dx +				2		∫x4 (2 − x)2 dx =1			35	.
			0							1							0							1
Находим центральные моменты:
µ = 0;			µ	2	= ν	2			− ν2 =1,1−1= 0,1;		µ	3	= ν	3	− 3ν ν				2	+2ν3				=1,3 − 3 1,1+ 2 = 0.
1				2		2				1		3		3			1		2		1
Теперь определим асимметрию A(X ) =														µ3			= 0.
														σ3
Действительно,										кривая f (x) имеет				вертикальную ось симметрии

(см. рис. 3.3) и поэтому A(X ) = 0. Далее находим:

D(X ) = µ2 = 0,1 (дисперсия).

σ(X ) = D(X ) = 0,1 = 0,316 (среднее квадратическое отклонение). µ4 = ν4 − 4ν1 ν3 + 6ν12 ν2 − 3ν14 =13522 − 4 1,3+ 6 1,1− 3 = 351 .

Затем определим эксцесс: Эх = µσ44 − 3 = 1/350,01 − 3 = − 17.

Задача 7 . Некоторые законы распределения

иих числовые характеристики

7.1.Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию с интервалом 5 минут. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший

костановке, будет ожидать очередной автобус менее 3 минут.

7.2.Минутная стрелка электрических часов перемещается скачком в конце каждой минуты. Найти вероятность того, что в данное мгновение часы покажут время, которое отличается от истинного не более чем на 20 секунд.

7.3.Все значения равномерно распределенной случайной величины

лежат на отрезке [2;8]. Найти вероятность попадания случайной величины

впромежуток (3;5).

7.4.Из сосуда, содержащего 100 белых и 50 черных шаров извлекаются шары до тех пор, пока не появится белый шар. Найти математическое ожидание числа вынутых черных шаров и его дисперсию, если каждый шар после извлечения возвращался.

7.5.Автоматическая телефонная станция обслуживает 1000 телефонных точек. Вероятность того, что в течение 5 минут на АТС поступит вызов из телефонной точки равна 0,005. Найти закон распределения числа вызовов, поступивших на АТС в течение 5 минут, математическое ожидание и дисперсию.

7.6.Исправная работа прибора подчинена показательному закону рас-

пределения f (x) = 0,002e−0,002x , где x > 0. Каково среднее время исправной работы? Какова вероятность, что прибор проработает без поломок не менее 1500 часов?

7.7. Плотность вероятности нормально распределенной случайной вели-

−(x−2)2

чины Х имеет вид f (x) = Ce 18 . Найти коэффициент С и параметр σ. Оп-

ределить вероятность попадания случайной величины в промежуток [2;5]. 7.8. Найти математическое ожидание и среднеквадратическое отклоне-

ние случайной величины Х, имеющей плотность распределения вероятно-

1 −(x+2)2

сти f (x) = 3 2π e 18 . Указать интервал, симметричный относительно

математического ожидания, в который попадет случайная величина Х с вероятностью 0,9973.

7.9. Случайная величина Х подчинена закону нормального распределения с математическим ожиданием M (X ) = 0. Вероятность попадания величины Х в интервал (–2;2) равна 0,5. Найти среднеквадратическое отклонение и записать функцию плотности случайной величины Х.

7.10.Книга содержит 1000 страниц и имеет 100 опечаток. Какова вероятность того, что на случайно выбранной странице не менее 4 опечаток?

7.11.Среди семян ржи 0,4 % семян сорняков. Какова вероятность того, что при случайном отборе 5000 семян обнаружат 5 семян сорняков?

7.12.Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону, заданному следующей функцией плотности:

	0	при x < 0,
f (x) =		при x ≥ 0.
0,04e−0,04x		при x ≥ 0.

Найти вероятность того, что в результате испытания Х попадет в интервал (1;2).

7.13. Найти математическое ожидание и дисперсию показательного распределения, заданного функцией распределения F(x) =1− e−0,1x

при x ≥ 0.

7.14. Студент помнит, что плотность показательного распределения

имеет вид:	0	при x < 0,
имеет вид:	f (x) =	Однако он забыл, чему равна постоян-
	Ce−λx	при x ≥ 0.

ная С. Найдите С и запишите функцию распределения данной случайной величины.

7.15. Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределения F(t) =1− e−0,03t . Найти вероятность того, что за время длительностью t =100 часов элемент откажет.

7.16.Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием a = 25. Вероятность попадания Х в интервал (10;15) равна 0,2. Чему равна вероятность попадания Х в интервал (35;40)?

7.17.Случайная величина Х распределена нормально со среднеквадратическим отклонением σ = 5 мм. Найти длину интервала, симметричного относительно математического ожидания, в который с вероятностью 0,9544 попадет Х в результате испытания.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 158 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.03.2016168 Кб37Varianty_zadanii_s.r._po_tiemie_VIDY.pdf
#
14.03.2016146 Кб145Vexelnoe_obraschenie_v_banke.doc
#
14.03.20163 Мб40Vidy_razriezy_Aksonomietriia_5_semestrovaya.pdf
#
14.03.2016661 Кб67view-1.pdf
#
01.07.2025590 Кб5view.docx
#
14.03.20161 Мб158view.pdf
#
14.03.20161 Мб68view.pdf
#
14.03.2016939 Кб79Visio.pdf
#
01.03.20252 Мб2Vopr-trans-MEI1.doc
#
01.04.2025281 Кб3Vopros-otvet.docx
#
01.05.2025649 Кб3Voprosy_I_Otvety_K_Ekzamenu_Rso_Gis.doc