view

2.2. Условная вероятность. Независимость событий. Операции над событиями

Задача 1. Из урны, содержащей 3 белых и 1 красный шар, наудачу последовательно и без возвращения извлекаются два шара. Пусть будет А – событие, заключающееся в том, что первый шар – белый; В – событие, заключающееся в том, что второй шар – белый; С – по крайней мере один из вынутых шаров – белый.

Вычислить условные вероятности P(B/ A) и P(C / A) .

Задача 2. Из 20 студентов 8 знают формулу полной вероятности, а 12 – формулу Байеса. При этом 6 человек знают обе формулы. Наудачу вызван студент. Выяснить, будут ли зависимы следующие два события: А – этот студент знает формулу полной вероятности; В – студент знает формулу Байеса.

Задача 3. Первый магазин может выполнить план с вероятностью 0,5, втоpoй – c вероятностью 0,8, а третий – с вероятностью 0,7. Найти вероятность того, что план выполнят: не менее двух магазинов; не более одного магазина.

Задача 4. Самолет выходит из строя, если у него повреждены оба мотора или система управления, или то и другое. Вероятность повреждения каждого из моторов pавнa 0,4, а системы управления – 0,3. Найти вероятность того, что самолет выйдет из строя.

Задача 5. Блюда на раздачу подаются по трем транспортерам. Вероятности остановки транспортеров равны 0,1; 0,05; 0,15 соответственно. Найти вероятность бесперебойной работы раздачи, если для этого достаточно работы хотя бы двух транспортеров.

Задача 6. В заводскую столовую зашли рабочий, бухгалтер и сотрудник планового отдела. Известно, что соответствующие категории работников завода пользуются буфетом при столовой с вероятностью 0,6; 0,8; 0,9. Какова вероятность того, что буфетом воспользуются: ровно двое из вошедших; хотя бы один из вошедших?

11

Задача 7. Студент знает 25 вопросов из 50. Ему наудачу задали два вопроса. Какова вероятность того, что он ответит на оба из них?

Задача 8. Три прибора эксплуатируются в течение некоторого времени. Beроятность того, что первый прибор не выйдет из строя за время эксплуатации, равна 0,1; для второго и третьего приборов эти вероятности равны соответственно 0,2 и 0,15. Вычислить вероятность того, что: ни один прибор не выйдет из строя; из строя выйдет не менее двух приборов.

Задача 9. Мини-ЭВМ включает в себя следующие основные блоки: процессор, дисплей, устройство ввода, печатающее устройство. ЭВМ можно использовать, если процессор и устройство ввода, а также дисплей или печатающее устройство не вышли из строя. При данных условиях эксплуатации вероятности выхода этих блоков из строя соответственно равны 0,95; 0,9; 0,8; 0,6. Определить вероятности выхода мини-ЭВМ из строя, если поломки указанных блоков происходят независимо друг от друга.

Задача 10. В урне находятся 3 красных, 2 синих и 6 белых шаров. Найти вероятность двукратного извлечения из yрны одноцветного шара: если вынутый шар возвращается обратно в урну; если вынутый шар в урну не возвращается.

Пример решения задачи

Пример. В ящике 100 деталей, из ник 60 деталей первого сорта и 40 – второго. Наудачу взято 3 детали. Найти вероятность того, что все детали одного и тoгo же сорта.

Решение. Обозначим событие, заключающее в том, что вынутая первая деталь: первого сорта П1, второго сорта П2; соответственно, В1 и В2 – вторая вынутая деталь первого и второго сорта; Т1 и Т2 – третья вынутая деталь первого и второго сорта. Тогда в условиях задачи интересующее нас событие A = П1В1Т1+П2В2Т2. Отметим, что (П1В1Т1) и (П2В2Т2 ) – два не-

12

совместимых события, поэтому

P(A) = P(П1В1Т1+П2В2Т2 ) = P(П1В1Т1) + P(П2В2Т2 ).

Однако если первоначальное состояние: всего 100 деталей, а среди них 60 первого сорта, то после извлечения первой детали осталось 99, среди которых деталей первого сорта либо 60, либо 59. Аналогично, после второго извлечения осталось 98 деталей, среди которых количество деталей первого сорта обусловлено результатом извлечения в первый и во второй раз. В этой ситуации вероятность того, что второй раз была извлечена деталь первого сорта при условии того, что и первая деталь первого сорта равна

P(B1 /П1) = 5999. Аналогично, вероятность вынуть третью деталь первого

сорта равна P(Т1 /П1В1) = 5898.

Итак, P(A) = P(П1В1Т1) + P(П2В2Т2 ) =

=P(П1) P(B1 /П1) P(Т1 /П1В1) + P(П2) P(B2 /П2) P(Т2 /П2В2) =

=10060 5999 5898 + 10040 3999 3898.

2.3. Формулы полной вероятности. Формула Байеса

Задача 1. Первый товаровед проверяет 40 % всех изделий и в 99 % случаев он обнаруживает имеющийся брак. Второй товаровед проверяет всю остальную продукцию, но имеющийся брак он обнаруживает только в 97 % случаев. Бракованное изделие оказалось незабракованным, какова вероятность, что его проверял первый товаровед?

Задача 2. В столовой имеется 2 емкости с фаршем, причем в первой емкости фарша вчетверо больше, чем во второй. Из всего фарша были изготовлены котлеты. После этого выяснилось, что в первую емкость попало 5 % фарша с повышенным содержанием специй, а во второй – 10 % такого

13

фарша. Найти вероятность того, что наудачу взятая котлета содержит фарш с содержанием специй не выше нормы (предполагается, что некачественный фарш не перемешивается с качественным).

Задача 3. В двух кастрюлях находятся помидоры: в одной – 10 красных, среди них 4 нестандартных (мятых), в другой – 16 бурых, среди них также 4 мятых. На приготовление салата идет 2 помидора, которые вынимаются из одной и той же наудачу выбранной кастрюли. Салат бракуется, если оба помидора, из которых он приготовлен, мятые или оба бурые. Найти вероятность того, что наудачу взятая порция салата будет признана годной.

Задача 4. В первой коробке 3 зеленых яблока и 2 красных, а во второй – 4 зеленых и 3 красных. Из каждой коробки наудачу взято по яблоку, а из этих двух наудачу выбрано одно. Какова вероятность того, что оно красное?

Задача 5. На контроль поступают одинаковые блюда, изготовленные двумя поварами. Производительность первого повара вдвое больше, чем второго. Процент брака у первого 0,8 %, у второго – 0,6 %. Проверенное блюдо не удовлетворяет требованиям контроля. Найти вероятность того, что блюдо приготовлено первым поваром?

Задача 6. Сборщик получил 6 коробок .деталей, изготовленных заводом № 1 и 4 коробки деталей, изготовленных заводом № 2. Вероятность того, что деталь завода № 1 стандартна, равна 0,8, а завода № 2 – 0,9. Сборщик наудачу извлек деталь из наудачу взятой коробки. Деталь оказалась стандартной. Определить вероятность того, что она изготовлена на заводе № 1.

Задача 7. Брак в продукции завода вследствие дефекта А составляет 8 %, причем среди забракованной по признаку А продукции в 20 % случаев встречается дефект В, а в продукции, свободной от дефекта А, дефект В встречается в 2 % случаев. Найти вероятность встречи дефекта В во всей продукции.

14

Задача 8. В сборочный цех завода поступают детали с трех автоматов. Вероятность поступления бракованной продукции с первого автомата составляет 0,03; для второго и третьего автоматов эти вероятности равны соответственно 0,01; 0,02. Определить вероятность попадания на сборке не бракованной детали, если с каждого автомата в цех поступило соответственно 500, 200 и 300 деталей.

Задача 9. Партия транзисторов, среди которых I6 % дефектных, поступила на проверку. Вероятность того, что имеющийся дефект будет обнаружен, равна 0,95, а вероятность того, что исправный транзистор будет признан негодным, равна 0,03. Некоторый транзистор признан негодным. Какова вероятность того, что он действительно является таковым?

Задача 10. В ящике лежат 20 теннисных мячей, в том числе 15 новых и 5 игранных. Для игры наудачу выбирают 2 мяча, которые после игры возвращаются обратно. Затем для второй игры также наудачу извлекаются еще 2 мяча. Какова вероятность, что вторая игра будет производиться новыми мячами.

Пример решения задачи

Пример. В пирамиде 10 винтовок, из них 6 с оптическим прицелом. Вероятность попадания в цель из винтовки с оптическим прицелом равна 0,9, а из винтовки без оптического прицела – 0,7. Наудачу выдана винтовка

ииз нее произведен выстрел.

1)Haйти вероятность того, что цель будет поражена.

2)Известно, что цель поражена. Найти вероятность того, что выстрел был произведен из винтовки с оптическим прицелом.

Решение. Введем обозначения: Н1 – событие, заключающееся в том, что была выдана винтовка с оптическим прицелом; Н2 – событие, заключающееся в том, что была выдана винтовка без оптического прицела; А –

15

событие, заключающееся в том, что цель оказалась поражена. Из условия задачи следует, что P(H1) = 6/10; P(H2 ) = 4/10;

P(A/ H1) = 0,9; P(A/ H2 ) = 0,7.

1) P(A) = P(H1) P(A/ H1) + P(H2) P(A/H2) = = 0,6 0,9 + 0,4 0,7 = 0,82;

2.4. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.

Предельные теоремы теории вероятностей

Задача 1. Институтом для студенческих общежитий приобретено 5 телевизоров. Для каждого из них вероятность невыхода из строя в течение гарантийного срока равна 0,8. Определить вероятность того, что в течение гарантийного срока не выйдут из строя: три; пять телевизоров.

Задача 2. При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 1/100. В предположении независимости искажения знаков найти вероятность того, что сообщение из пяти знаков:

1) не будет искажено; 2) содержит ровно одно искажение; 3) содержит хотя бы одно искажение.

Задача 3. В результате систематически проводимого контроля качества изготовляемых предприятием деталей установлено, что в среднем брак составляет 5 %. Сколько изготовленных деталей нужно взять, чтобы наиболее вероятноe число годных среди них было бы равно 60?

Задача 4. Завод выпускает персональные ЭВМ, из которых в среднем 96 % без дефектов. Обследуется 400 деталей готовой продукции. Найти вероятность того, что: 1) среди них окажутся 10 изделий с дефектами; 2) среди них окажется 6–18 изделий с дефектами.

16

Задача 5. В среднем левши составляют 1 % от общей численности населения. Какова вероятность того, что среди 200 человек окажется ровно четверо левшей.

Задача 6. За один цикл автомат изготовляет 10 деталей. За какое количество циклов вероятность изготовления хотя бы одной бракованной детали будет не менее 0,8, если вероятность того, что любая деталь бракованная, равна 0,01?

Задача 7. Корректура в 500 страниц содержит I300 опечаток. Считая применимой формулу Пуассона, найти наиболее вероятное число опечаток на одной странице текста и вероятность этого числа.

Задача 8. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в минуту, равно 120. Найти вероятности следующих событий: А – «за две секунды на ATС не поступит ни одного вызова»; В – «за две секунды на АТС поступит менее двух вызовов»; С – «за одну секунду на АТС поступит хотя бы один вызов»; Д – «за три секунды на АТС поступит не менее 6 вызовов».

Задача 9. Вероятность получения с конвейера изделия высшего качества равна 0,6. Оцените вероятность того, что среди 800 изделий, полученных с конвейера, содержится от 450 до 510 изделий высшего качества.

Задача 10. Среднее потребление электроэнергии за май населением одного из микрорайонов г. Волгограда равно 36000 кВт/ч. Оценить вероятность того, что потребление электроэнергии в мае будущего года превзойдет 100000 кВт/ч. Оценить ту же вероятность, если известно, что среднее квадратическое отклонение потребления электроэнергии в данном микрорайоне за май равно 4000 кВт/ч.

Пример решения задачи

Пример. Вероятность того, что покупателю нужна обувь 36-го размера, равна 0,3. Найти вероятность того, что среди 2000 покупателей 1) таких будет не менее 580; 2) таких будет от 570 до 630.

17

Решение. Условия задачи определяют схему повторных независимых испытаний: n = 2000; р = 0,3; q = 0,7.Так как n велико и р не мало, а npq = 2000 0,3 0,7 = 420, то искомые вероятности будем вычислять сле-

дующим образом.

1) «Покупателей будет не менее 580» – это выражение в данном случае означает, что их будет от 580 до 2000 включительно. Используем формулу Муавра-Лапласа:

По таблице функции Φ(x) находим:

Φ(68) = 0,5; Φ(−0,976) = −Φ(0,976) = −0,3354.

Искомая вероятность равна

P2000(580 ≤ m ≤ 2000) = Φ(68) − Φ(−0,976) = 0,5 + 0,3354 = 0,8354.

2) Вычисления вероятности P2000 (570 ≤ m ≤ 630) можно провести аналогично:

3. ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Вариант 1

1.Второго сентября на первом курсе университета запланировано по расписанию три лекции по разным предметам. Всего на первом курсе изучаются 10 предметов. Студент, не успевший ознакомиться с расписанием, пытается его угадать. Какова вероятность успеха, если любое расписание из трех предметов равновозможно?

2.Спортсмен стреляет по удаляющейся цели. Вероятность попадания

18

внее в начале стрельбы равна 0,7, а после каждого выстрела уменьшается на 0,2. Найти вероятность того, что он попадет в цепь подряд три раза.

3.В типографии имеется 4 плоскопечатных машины. Для каждой машины вероятность того, что она в данный момент работает, равна 0,95. Найти вероятность того, что в данный момент работает хотя бы одна машина.

4.В трех урнах имеются белые и черные шары. В первой урне – 4 белых шара и 1 черный, во второй – 6 белых и 5 черных, в третьей – 10 белых и 2 черных. Из выбранной наугад урны случайно вынимают шар. Найти вероятность того, что он черный.

5.В партии 900 лампочек: 200 лампочек изготовлены на заводе № 1, 250 – на заводе № 2, а остальные – на заводе № 3. Вероятность того, что лампочка стандартна, для завода № 1 равна 0,95, для завода № 2 – 0,8 и для завода № 3 – 0,9. Наудачу взятая лампочка оказалась стандартной. Найти вероятность того, что она изготовлена на заводе № 2.

6.В магазин вошли 10 покупателей. Найти вероятность того, что трое из них совершат покупки, если для каждого вошедшего вероятность совершить покупку равна 0,5.

7.Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,8. Произведено 100 выстрелов. Найти вероятность того, что цель будет поражена ровно 85 раз.

8.На некотором предприятии доля брака составляет в среднем 0,1 %. Найти вероятность того, что в партии, состоящей из 5000 изделий этого предприятия, окажется не более трех бракованных изделий.

9.Вероятность того, что река Волга у г. Волгограда вскроется ото льда

впервую декаду апреля, равна 0,85. Найти вероятность того, что в ближайшие 20 лет Волга вскроется ото льда в первую декаду апреля не менее пяти и не более 10 раз.

10.Из винтовки производят 19 выстрелов. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,8. Найти наивероятнейшее число попаданий в цель.

19

Вариант 2

1.Среди семян ржи 0,2 % семян сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 1000 семян обнаружить 15 семян сорняков?

2.Полная колода из 52 карт делится наугад на две равные пачки по 26 листов. Найти вероятность того, что в одной пачке будет один туз,

ав другой – три туза.

3.Три стрелки независимо друг от друга стреляют по цели. Вероятность попадания первого стрелка равна 0,4, второго – 0,5 и третьего – 0,6. Найти вероятность того, что все три стрелка попадут в цель.

4.В двух ящиках имеются радиолампы. В первом ящике содержится 15 ламп, из них одна нестандартная, а во втором – 10 ламп, из них две нестандартные. Из первого ящика наугад взята лампа и переложена во второй. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная из второго ящика лампа будет нестандартной.

5.Вероятность прорастания семян данного сорта равна 0,75. Сколько нужно взять семян, чтобы наиболее вероятное число семян, давших всходы, было равно 225?

6.Вероятность попадания в цель р = 0,25. Сбрасывается по очереди восемь бомб. Найти вероятность того, что будет не меньше 7 попаданий.

7.При массовом производстве полупроводниковых диодов вероятность брака при формовке 0,1. Найти вероятность того, что из 400 взятых наугад диодов 50 будут бракованными.

8.В студенческий совет факультета входят 3 первокурсника, 5 второкурсников и 7 третьекурсников. Из этого состава наудачу выбирают пять человек на предстоящую конференцию. Найти вероятность того, что будет выбран следующий состав: 1 первокурсник, 2 второкурсника, 2 третьекурсника.

9.Процент всхожести семян кукурузы равен 95. Найти вероятность то-

20